Gravitation

Modulautor: Matthias Perenthaler


Astronomen beobachten Objekte im Kosmos und messen deren Zeit und Ort, also wann welches Objekt wo war. Ein Planetarium visualisiert diese Messdaten, z.B. das Online-Planetarium Stellarium von Alexander Wolf (Altai State Pedagogical University): https://stellarium-web.org/ (Quellcode verfügbar unter: https://github.com/Stellarium/stellarium-web).

Neben der Sammlung von Daten zu Sternen, Planeten, Galaxien,... beschäftigen sich Astronomen auch mit weiteren Fragen: Wie entstand das Universum? Wie entwickelt es sich? Wird das Universum ein Ende haben und wenn ja, wie wird das Ende sein? Welche physikalischen Formeln beschreiben den Kosmos in guter Näherung? Gibt es neben unserem Universum noch weitere Universen? Die Suche nach Antworten auf diese Frage führte zur Entwicklung einer Teilwissenschaft der Astronomie, nämlich der Kosmologie.

Kosmologie

Die Kosmologie beschäftigt sich mit der Entstehung, der Entwicklung und den Strukturen des Universums.


Sir Isaac Newton und der Apfelbaum

Der Beginn der modernen Kosmologie kann bei einer der wohl bekanntesten Legenden der Wissenschaftsgeschichte verortet werden. Überliefert wurde diese Geschichte von William Stukeley der 1752 in MEMOIRS OF Sr. ISAAC NEWTON'S by life folgendes schrieb:

on 15 April 1726 I paid a visit to Sr. Isaac, at his lodgings in Orbels buildings, Kensington: din'd with him, & spent the whole day with him, alone. I acquainted him with my intentions of retiring into the country; & had pitchd on Grantham. I had a brother there in business, who had a family. he had been apprentice to Mr Chrichloe apothecary there, a great acquaintance, & schoolfellow of Sr. Isaacs.

Sr. Isaac expressed an approbation of my purpose: & especially for Grantham, wh is near the place of his nativity: & where he went to the grammar school. he said, he had frequently thought of spending the last of his days, in that very place: and charg'd me, that if that house to the east of the ch, cd now be purchasd at any reasonable price, that I shd do it immediately in his name, & he wd answer the demand. that house had belong'd to the family of the Skipwith's. he said his old acquaintance Mrs Vincent lived <15r> there & a few more, whom he knew.

after dinner, the weather being warm, we went into the garden, & drank thea under the shade of some appletrees, only he, & myself. amidst other discourse, he told me, he was just in the same situation, as when formerly, the notion of gravitation came into his mind. "why shd that apple always descend perpendicularly to the ground," thought he to him self: occasion'd by the fall of an apple, as he sat in a comtemplative mood: "why shd it not go sideways, or upwards? but constantly to the earths centre? assuredly, the reason is, that the earth draws it. there must be a drawing power in matter. & the sum of the drawing power in the matter of the earth must be in the earths center, not in any side of the earth. therefore dos this earth|apple| fall perpendicularly, or toward the center. if matter thus draws matter; it must be in proportion of its quantity. therefore the apple draws the earth, as well as the earth draws the apple."

That there is a power like that we here call gravity wh extends its self thro' the universe < text from f 15r resumes > & thus by degrees, he began to apply this property of gravitation to the motion of the earth, & of the heavenly bodys: to consider thir distances, their magnitudes, thir periodical revolutions: to find out, that this property, conjointly <16r> with a progressive motion impressed on them in the beginning, perfectly solv'd thir circular courses; kept the planets from falling upon one another, or dropping all together into one center. & thus he unfolded the Universe. this was the birth of those amazing discoverys, whereby he built philosophy on a solid foundation, to the astonishmt. of all Europe.

Quelle: The Newton Project. Hervorhebungen hinzugefügt.

Aufgabe

Übersetzen Sie die hervorgehobenen Textteile in die deutsche Sprache. Lassen Sie Ihrer Lehrkraft die Übersetzung zukommen.

(5 XP)


Das Gravitationsgesetz von Newton

Die Frage, warum der Apfel auf die Erde fällt, beantwortete Newton damit, dass die Erde eine Gravitationskraft auf den Apfel ausübt. Isaac Newton verallgemeinerte diese Aussage zu:

Alle Körper, die eine Masse haben, ziehen sich gegenseitig an.

Diese Idee formulierte Newton in mathematischer Sprache, dem

Gravitationsgesetz:

\[ F_{G} = G \, \cfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

\(F_{G} = \text{Kraft zwischen zwei Massen in Newton (N)}\)
\(G = \text{Gravitationskonstante}\)
\(m_1, m_2 = \text{Masse der beiden Körper in Kilogramm (kg)}\)
\(r = \text{Abstand der beiden Körper in Meter (m)}\)

Die Erde zieht den Apfel mit einer Kraft an und genauso zieht der Apfel die Erde mit einer Kraft an. Isaac Newton erkannte, dass beide Kräfte gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet sind. Auch ein Kürbis zieht eine Erbse an, die neben ihm auf dem Feld liegt und umgekehrt. Die Frage war, wie groß ist diese Kraft. Um diese Frage beantworten zu können, muss die Gravitationskonstante bekannt sein.

Diese Messung gelang erstmals Henry Cavendish im Jahr 1797. Er bestimmte für die Gravitationskonstante einen Wert von \(G = 6,74 \cdot 10^{-11} \tfrac{m^3}{kg \, s^2}\).

Aufgabe

Recherchieren Sie, wie Henry Cavendish im Jahr 1797 erstmals die Gravitationskonstante \(G\) gemessen hatte und vergleichen Sie den damals bestimmten Wert mit dem heute gültigen Wert. Erstellen Sie eine Präsentation mit Ihren Erkenntnissen und lassen Sie diese Ihrer Lehrkraft zukommen.

(10 XP)


Mit Hilfe der Gravitationskonstanten kann das Gravitationsgesetz auf beliebige Körper angewendet und bei bekannter Masse die Kraft zwischen zwei Körpern berechnet werden. Im Gravitationsgesetz steht der Abstand zwischen beiden Körpern im Nenner und wird quadriert. Was bedeutet das anschaulich?

Aufgaben

A01: Stellen Sie in der folgenden App die Masse beider Körper auf 1000 kg und setzen Sie den Abstand auf 8 m. Merken Sie sich die Länge der Kraftpfeile. Verändern Sie dann den Abstand zwischen den Körpern auf 4 m. Wie verändert sich die wirkende Kraft?

A02: Gehen Sie wieder auf einen Abstand von 8 m und halbieren Sie die Masse eines der beiden Körper von 1000 kg auf 500 kg. Wie verändert sich jetzt die Gravitationskraft?

(Quelle: PhET)

Gravitationskraft

Die Gravitationskraft verhält sich umgekehrt quadratisch zum Abstand zwischen den Körpern. Das bedeutet, wenn sich der Abstand zwischen den Körpern verdoppelt, dann wirkt nur noch ein Viertel der Gravitationskraft. Anders herum: wenn man den Abstand zwischen den Körpern halbiert, wirkt die vierfache Gravitationskraft.

Die Gravitationskraft verhält sich proportional zur Masse eines der Körper. Halbiert man die Masse eines der Körper, dann halbiert sich die Gravitationskraft. Verdreifacht man die Masse eines der Körper, dann verdreifacht sich die Gravitationskraft.


Die Masse der Erde

Im folgenden soll mit Hilfe des Gravitationsgesetzes die Masse der Erde berechnet werden. Newton formulierte einen weiteren Grundsatz:

Ein Körper, auf den von aussen eine Kraft \(F\) wirkt, verändert seinen Bewegungszustand. Er wird beschleunigt.

Die wirkende Kraft ist proportional zur bewirkten Beschleunigung: \(F \sim a\). Die Masse des Körpers bestimmt, wie groß die Beschleunigung ist: \(F = m \cdot a\).

Übertragen auf den Apfel bedeutet das: wenn auf den Apfel die Gravitationskraft \(F_G\) wirkt, dann fällt der Apfel beschleunigt.

\[ F_G = m_{\text{Apfel}} \cdot a_{\text{Apfel}}\]

\(F_G = \text{auf den Apfel wirkende Gravitationskraft}\)
\(m_{\text{Apfel}} = \text{Masse des Apfels}\)
\(a_{\text{Apfel}} = \text{Beschleunigung des Apfels}\)

Daraus folgt:

\[ a_{\text{Apfel}} = \frac{F_G}{m_{\text{Apfel}}}\]

Setzt man für die beschleunigende Kraft das Gravitationsgesetz \(F_{G} = G \cdot \cfrac{m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Apfel}}{r^2}\) ein, folgt:

\[ a_{\text{Apfel}} = \frac{G \cdot \cfrac{m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Apfel}}{r^2}}{m_{\text{Apfel}}} = \frac{G \cdot m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Apfel}}{m_{\text{Apfel}} \cdot r^2} = \frac{G \cdot m_{\text{Erde}}}{r^2}\]

Diese Formel kann nach der Erdmasse \(m_{\text{Erde}}\) aufgelöst werden:

\[ m_{\text{Erde}} = \frac{a_{\text{Apfel}} \cdot r^2}{G}\]

Die Beschleunigung des Apfels kann man messen und sie beträgt in Nordeuropa \(a_{\text{Apfel}} = 9,81 \frac{m}{s^2}\). Der Erdradius war schon zur Zeit von Newton bekannt und beträgt im Mittel \(6371000 \, m\). Mit der von Cavendish bestimmten Gravitationskonstanten \(G = 6,74 \cdot 10^{-11} \tfrac{m^3}{kg \, s^2}\), folgt für die Masse der Erde:

\[ m_{\text{Erde}} = \frac{9,81 \frac{m}{s²} \cdot (6371000 \, m)^2}{6,74 \cdot 10^{-11} \tfrac{m^3}{kg \, s^2}} = 5,91 \cdot 10^{24} kg = 5.910.000.000.000.000.000.000.000 \, kg\]

Dieser Wert ist bereits in der Größenordnung des heute gültigen Werts von \(m_{\text{Erde}} =5,9722 \cdot 10^{24} kg\).


Simulation des fallenden Apfels

Mit dem Newtonschen Gravitationsgesetz und der Einsicht, dass eine Kraft den Bewegungszustand eines Körpers ändert, kann man das Verhalten der Himmelskörper vorhersagen. Vor der Zeit moderner Computer war dieses Unterfangen unsäglich aufwändig. Berechnungen mussten monatelang von Hand durchgeführt werden. Computer verkürzen heute die Zeit für notwendige Berechnungen auf einen Bruchteil.

In den folgenden Übungen lernen Sie, wie man die Fallbewegung eines Apfels und später eines Kometen auf der Basis des Newtonschen Gravitationsgesetzes mit Hilfe eines Computers simulieren kann. Zur Programmierung verwenden wir die p5.js-Javaskriptbibliothek, die Sie im Informatik-Modul kennengelernt haben.


Schritt 1: Szene für die Simulation.

Die Erde wird als Rechteck dargestellt und der Apfel durch einen Kreis.


Schritt 2: Animation

Der Apfel soll sich in Richtung Boden bewegen. Wie Sie aus dem ersten Halbjahr Informatik wissen, benötigen wir dazu Variablen, damit die Position des Apfels dynamisch verändert werden kann. Die Variable frameCount (also die Anzahl Frames, die nach dem Programmstart dargestellt werden) liefert uns eine Größe, die sich gleichmäßig ändert. Diese können wir als Zeitgeber verwenden. Die Framerate misst nicht die "wirkliche" Zeit, sondern ist ein Maß dafür, wie oft der Computer in jeder Sekunde den Zeichenbereich neu zeichnen kann. Je nach Leistungsfähigkeit des PCs und Komplexität der Simulation kann dieser Wert schwanken.


Schritt 3: Beschleunigung

Der simulierte Apfel soll im nächsten Schritt beschleunigt in Richung Erde fallen. Bei einer konstanten Beschleunigung kann die zurückgelegte Strecke mit Hilfe folgender Formel berechnet werden:

\[ s = \cfrac{1}{2} a \cdot t^2\]

\(s = \text{beim freien Fall zurückgelegte Strecke}\)
\(a = \text{Fallbeschleunigung auf der Erde} = 9,81 \frac{m}{s^2}\)
\(t = \text{die während des Falls verstreichende Zeit}\)

In Javaskript wird ein Quadrat \(t^2\) mit folgender Funktion berechnet:

Math.pow(zeit,2);

In der Klammer steht als erstes Argument die Basis und als zweites Argument der Exponent. Die Gleichung, für die beim freien Fall zurückgelegten Strecke, kann in Javaskript wie folgt geschrieben werden:

  weg_s = start_y + 0.5 * beschl_erde * Math.pow(zeit,2);

Diskutieren Sie diese Zeile mit Ihren NachbarInnen, bis Sie den Aufbau restlos verstanden haben. Klären Sie in der Diskussion, welche Bedeutung der Summand start_y in dieser Zeile hat.

Ein erster Simulationsversuch:

Der Apfel fällt für eine Beobachtung zu schnell.


Schritt 4: Anpassung der Simulation

Wir bauen eine Zeitlupe ein. Dazu wird die Variable frameCount mit einem Zeitlupen-Faktor multipliziert, der kleiner als 1 ist. Dadurch verläuft die "Zeit" in der Simulation langsamer und der Weg, den der Apfel pro Frame zurücklegt, wird wesentlich kürzer. Die Bewegung des Apfels kann von uns dadurch wie in einer Zeitlupe beobachtet werden. Die Zeit wird in der Simulation gedehnt und der Raum geschrumpft, damit wir uns das Verhalten eines frei fallenden Apfels in wenigen Sekunden und auf einer Strecke von wenigen Pixeln vorstellen können.

Diskutieren Sie diesen Quellcode mit Ihren NachbarInnen, bis Sie jede Zeile restlos verstanden haben. Danach sind Sie an der Reihe.


Schritt 5: Erweiterung der Simulation
Aufgabe

Bilden Sie ein Team mit mindestens 2 und maximal 3 Teammitgliedern.

Erweitern Sie die Simulation so, dass im direkten Vergleich nebeneinander der freie Fall simuliert wird, wie dieser bei gleichem Zeitraffer auf mind. 5 Himmelskörpern unseres Sonnensystems beobachtet werden könnte.
Beschriften Sie jeden Apfel mit dem Namen des solaren Himmelskörpers und der dortigen Fallbeschleunigung. Die Daten können Sie der Formelsammlung entnehmen oder im Internet finden.

Verwenden Sie den p5js-Webeditor als Programmierumgebung und senden Sie Ihre Lösung in der vereinbarten Weise an die Kursleitung.

(15 XP)


Simulation des "freien Falls" aus großer Entfernung

In der von Ihnen erstellten Simulation haben wir angenommen, dass die Fallbeschleunigung beim freien Fall konstant ist. In der Nähe von Himmelskörpern und bei kurzen Fallstrecken ist das eine sinnvolle Näherung. Wenn man jedoch einen Himmelskörper beobachtet, der weite Strecken in der Nähe von Planeten und Sternen zurücklegt, wird das anders sein.

Kometen sind Objekte, die sich durch das Sonnensystem bewegen und dabei große Entfernungen zurücklegen. Während seiner Bewegung ändert sich die Entfernung zwischen einem Kometen und den Planeten und der Sonne ständig. Die Auswirkung davon wollen wir jetzt untersuchen. Zuerst sollen Sie sich mit einigen Kometen beschäftigen.

Aufgabe

Erstellen Sie eine Präsentation zum Thema "Kometen im Sonnensystem". In Ihrer Präsentation sollen folgende Kometen berücksichtigt werden: Halleyscher Komet, Shoemaker-Levy 9, Hale-Bopp, Tschurjumow-Gerassimenko.

Bauen Sie für jeden der genannten Kometen folgende Daten in Ihre Präsentation ein: Namensgebung, Größe, Aufbau, Flugbahn, Besonderheiten und geeignete Bilder.

Senden Sie Ihre Lösung in der vereinbarten Weise an die Kursleitung.

(10 XP)


Ein Komet, der frei fällt

Im folgenden soll die Bewegung eines Kometen simuliert werden, der geradlinig auf einen Planeten zurast, um mit diesem zu kollidieren. Der Komet fällt also aus großer Entfernung auf den Planeten.

Aufgabe

Suchen Sie sich eine/n Diskussionspartner*in und überlegen Sie gemeinsam, wie sich die Bewegung des Kometen von der Bewegung des frei fallenden Apfels, den Sie in der ersten Simulation modelliert haben, unterscheidet.


In der ersten Simulation wurde von uns vorausgesetzt, dass sich die Fallbeschleunigung nicht ändert, was auf den paar Metern, die ein Ball fällt, sicherlich in guter Näherung angenommen werden kann. Bei der Bewegung des Kometen werden aber Millionen von Kilometern zurückgelegt, so dass die Änderung der Gravitationskraft berücksichtigt werden muss.

Vorbereitende Aufgabe

Verändern Sie den folgenden Code so, dass der Komet beim Aufprall auf der Erde anhält.

Ergänzen Sie das Programm so, dass die aktuelle Zeit und die aktuelle Position des Kometen angezeigt wird. Suchen Sie mit Hilfe des Internets nach einer Funktion, mit deren Hilfe die angezeigten Zahlen auf 2 Stellen nach dem Komma gerundet werden können.


Mögliche Lösung:


Die Beschleunigung des Kometen ändert sich

Die Gravitationskraft, die zwischen der Erde und dem Kometen wirkt, ändert sich in Abhängigkeit von der Entfernung:

\[ F_{G} = G \cdot \cfrac{m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Komet}}{r^2}\]

Für die Beschleunigung, die der Komet wegen der Gravitationskraft erfährt, gilt: \(F_G = m_{\text{Komet}} \cdot a_{\text{Komet}}\) und damit:

\[ a_{\text{Komet}} = \frac{F_G}{m_{\text{Komet}}}\]

Für \(F_G\) kann das Gravitationsgesetz eingesetzt werden:

\[ a_{\text{Komet}} = \frac{G \cdot \cfrac{m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Komet}}{r^2}}{m_{\text{Komet}}} = \frac{G \cdot m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Komet}}{m_{\text{Komet}} \cdot r^2} = G \cdot m_{\text{Erde}} \cdot \frac{1}{r^2}\]

Die Beschleunigung des Kometen ist von der Masse des Kometen unabhängig und da die Masse der Erde und die Gravitationskonstante sich nicht verändern, ist die Beschleunigung des Kometen allein von der Entfernung des Kometen zur Erde abhängig. Setzt man \(G \cdot m_{\text{Erde}} = k\) gilt:

\[ a_{\text{Komet}} = G \cdot m_{\text{Erde}} \cdot \frac{1}{r^2} = k \cdot \frac{1}{r^2}\]

Setzt man für die Gravitationskonstante und die Masse der Erde die Werte aus der Formelsammlung ein, folgt:

\[ a = \frac{6,674 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kg \, s^2} \cdot 5,972 \cdot 10^{24} kg}{r^2} = 3,9857128 \cdot 10^{14} \tfrac{m^3}{s^2} \cdot \frac{1}{r^2} \]

Um diese Formel zu testen, kann für \(r\) der Erdradius in Nordeuropa (6371 km) eingesetzt werden.

\[ a = 3,9857128 \cdot 10^{14} \tfrac{m^3}{s^2} \cdot \frac{1}{(6371000 \, m)^2} = 9,81 \frac{m}{s^2}\]

Das Ergebnis entspricht den Erwartungen, denn der Wert für die Fallbeschleunigung ist der bekannte Wert für Nordeuropa.


Anpassung von Zeit und Raum

Der Faktor \(3,9857128 \cdot 10^{14} \tfrac{m^3}{s^2}\) vor dem Ausdruck \(\frac{1}{r^2}\) ist eine ziemlich große Zahl, die zu den realen Größenverhältnisse im Sonnensystem passt, wo die Planeten hunderte Millionen Kilometer von der Sonne entfernt sind. In der Realität würde es Monate oder Jahre dauern, bis ein Komet die Erde erreicht und in dieser Zeit würde der Komet Millionen von Kilometern zurücklegen. In der Computersimulation soll die Reise des Kometen in wenigen Sekunden beobachtet werden können und dabei legt der virtuelle Komet (also der Kreis auf dem Bildschirm) nur wenige Pixel zurück.

Im Vergleich zur Realität verkürzt die Simulation die Zeitspanne, in welcher der Komet unterwegs ist und schrumpft gleichzeitig den Raum, durch welchen der Komet fliegt.

Diese Zeitraffung und Raumschrumpfung bauen wir in die Simulation ein, indem das Produkt aus der Gravitationskonstanten und der Masse der Erde angepasst wird. Folgender Faktor liefert auf wenigen Pixeln Bildschirmentfernung und einigen Sekunden Flugzeit gut beobachtbare Simulationen:

\[ \text{Gravitationsfaktor} = 400 \, 000 \frac{\text{Pixel}^3}{\text{Zeitintervall}^2}\]

Damit setzen wir für die Beschleunigung des Modellkometen in unserem virtuellen Raum der Simulation:

\[ a = 400 \, 000 \cdot \frac{1}{r^2}\]


Simulation mit dem Computer

Da sich die Beschleunigung des Kometen mit dem Abstand des Kometen von der Erde ändert, kann die Formel \(s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\) für den insgesamt zurückgelegten Weg nicht mehr verwendet werden, denn diese Formel setzt eine konstante Beschleunigung für den gesamten Flug voraus.

Die Entfernung des Kometen zur Erde ändert sich in jedem auch noch so kurzen Zeitintervall, also verändert sich auch die Beschleunigung des Kometen ständig. Um die Realität zu simulieren, müsste der PC diese ständige Änderung rechnerisch nachvollziehen. Dafür müsste der Computer pro Sekunde unendlich viele Rechenschritte durchführen. Das ist technisch nicht möglich. Moderne CPUs schaffen zwar einige Milliarde Rechenoperationen pro Sekunde, aber das sind eben nicht unendlich viele.

Damit sind Computersimulationen grundsätzlich Annäherungen an die Realität. Eine möglichst genaue Simulation, der sich ständig verändernden Beschleunigung des Kometen, könnte erreicht werden, indem die Zeit verlangsamt wird, um mehr Rechenoperationen pro simulierter Sekunde durchführen zu können. Wenn ein Komet in der Realität z.B. 10 Jahre benötigen würde, um die Erde zu erreichen, dann müsste ein PC z.B. 1000 Jahre rechnen, um die Bewegung des Kometen genauer zu simulieren, denn er kann ja nur endlich viele Rechenschritte pro Sekunde durchführen, der Komet ändert seine Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort aber kontinuierlich.

Das Ziel unserer Simulation soll es sein, dass wir die Bewegung des Kometen "beobachten" können. Also wird alles sehr viel schneller ablaufen müssen, als in der Realität. Mit den endlich vielen Rechenschritten des Computers pro Sekunde bedeutet das aber, dass die Simulation um so unrealistischer wird, je größer die Zeitschritte in der Simulation sind.

Der Preis dafür, die Realität mit einem Computer, der nur endlich viele Rechenschritte pro Sekunde schafft, zu simulieren ist, dass die Realität grundsätzlich ungenau simuliert wird.

Die Güte der Simulationen wurde in den letzten Jahrzehnten durch optimierte Algorithmen und schnellere Rechenzentren ständig verbessert. Beispielsweise gibt es Simulationen, welche die Kollision unserer Heimatgalaxie der Milchstrasse und unserer Nachbargalaxie der Andromedagalaxie angenähert berechnen, die in 4 Milliarden Jahren stattfinden soll: Animation der Verschmelzung von Milchstrasse und Andromedagalaxie.

Die Simulation, mit der wir hier arbeiten, ist darauf ausgelegt, dass pro Sekunde 60 Rechnungen vom Computer durchgeführt werden. Pro Sekunde wird also 60 Mal die Beschleunigung neu berechnet und daraus bestimmt wird, wo sich der Komet auf dem Bildschirm befindet. Die Simulation schafft somit 60 Bilder pro Sekunde (60 Frames Per Second = 60 FPS). Ein Rechenschritt in unserer Simulation entspricht in der Realität einer Zeit von vielen Stunden und einer Strecke von vielen Kilometern. Das bedeutet, dass der Komet in unserer Simulation die meiste Zeit mit einer konstanten Geschwindigkeit unterwegs wäre und währenddessen auf den nächsten Rechenschritt wartet.

Für den Preis einer Simulation, welche das realistische Verhalten nur angenähert berechnen kann, bekommen wir ein Werkzeug, mit dem wir das Verhalten der Himmelskörper unter der Einwirkung der Gravitationskraft veranschaulichen können. Die Anschauung hilft, den Kosmos besser zu verstehen.


Algorithmus zur Berechnung der Bewegung des Kometen
Schritt 1:

Die Gravitationskraft ändert sich abhängig von der Entfernung zwischen Erde und Komet. Also muss die Entfernung zwischen dem Mittelpunkt der Erde und dem Kometen vom Computer berechnet werden: \(r = \text{ort}_{\text{erde}} - \text{ort}_{\text{komet}}\). Die physikalische Einheit für die Entfernung in der Simulation ist: Pixel (Ein Pixel ist ein Bildpunkt auf dem Monitor).

entf_erde_komet = erdzentrum_y - komet_y;
Schritt 2:

Abhängig von der gerade berechneten Entfernung wird die Beschleunigung \(a = 400 \, 000 \cdot \frac{1}{r^2}\) des Kometen berechnet:

beschl_komet = 400000 / Math.pow(entf_erde_komet,2);
Schritt 3:

Die Beschleunigung hat eine Änderung der Geschwindigkeit zur Folge. Während eines Zeitschritts bis zur nächsten Berechnung ist die Beschleunigung konstant. Für die Änderung der Geschwindigkeit gilt dann: \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) und damit \(\Delta v = a \cdot \Delta t\). Während eines Zeitschritts ändert sich die Geschwindigkeit wie folgt: \(v_2 = v_1 + \Delta v = v_1 + a \cdot \Delta t\). Die Änderung der Geschwindigkeit wird zur bisherigen Geschwindigkeit addiert.

v_2 = v_1 + beschl_komet * delta_t;
Schritt 4:

Während eines Zeitschritts ändert sich der zurückgelegte Weg bei einer konstanten Beschleunigung wie folgt: mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_1\) legt der Komet den Weg \(s_1 = v_1 \cdot \Delta t\) zurück. Während des Beschleunigungsvorgangs legt er zusätzlich die Strecke \(s_B = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\) zurück.

delta_s = v_1 * delta_t + beschl_komet / 2 * Math.pow(delta_t,2);
Schritt 5:

Die neue Position wird berechnet, indem zur alten Position der im Zeitschritt \(\Delta t\) zurückgelegte Weg addiert wird:

komet_y = komet_y + delta_s;
Schritt 5:

Schließlich wird die neue Geschwindigkeit zur alten Geschwindigkeit gemacht: \(v_1 = v_2\) und der nächste Zeitschritt wird berechnet:

v_1 = v_2;
zeitschritt = frameCount*delta_t;

Die Bewegung des Kometen kann damit simuliert werden.


Aufgabe

Kopieren Sie den Codeabschnitt aus dem vorherigen Programm, mit dem die Bewegung des Kometen berechnet wird, in ein Textverarbeitungsprogramm ihrer Wahl. Erklären Sie schriftlich die Bedeutung und Funktionsweise jeder Zeile.

Berechnen Sie bei einer anfänglichen Entfernung von 500 Pixeln per Hand die neue Position des Kometen für die nächsten 3 Frames und dokumentieren Sie diese Rechnung.

Begründen Sie, warum unsere Simulation die Bewegung eines echten Kometen, der auf die Erde zurasen würde, nicht realistisch simuliert.

Senden Sie der Lehrkraft das Dokument in der vereinbarten Weise zu.

(10 XP)