Rutherford-Atommodell


Bezug zum Kerncurriculum:

Ich kann die Quantisierung der Gesamtenergie von Elektronen in der Atomhülle erläutern und die Gleichung für die Gesamtenergie eines Elektrons in diesem Modell nennen.


Rutherford-Streuversuch

In den folgenden beiden Kapiteln blenden Sie bitte wieder alles aus, was Sie im Thema "Quantenobjekte" gelernt haben. Ihnen wird das Rutherfordsche und das Bohrsche Atommodell vorgestellt, damit Sie nachvollziehen können, wie sich die Vorstellung vom Atom geändert hat, nachdem immer umfangreichere experimentelle Mesßdaten vorlagen.

Als Rutherford sein Atommodell entwickelte, dachte er noch rein klassisch: Elektronen sind kleine elektrisch negativ geladene Kugeln, die sich auf definierten Bahnen um ein positiv geladenes Proton bewegen, so wie die Planeten um die Sonne kreisen. Die folgenden Überlegungen sind also rein klassische Überlegungen. Erst im übernächsten Kapitel "Quantenmechanisches Modell" werden Sie das quantentheoretische Atommodell kennenlernen, bei dem die Erkenntnisse aus dem Kapitel "Quantenobjekte" berücksichtigt werden.

Thomson entdeckte 1897 das Elektron. Er stellte fest, dass die Masse des Elektrons fast 2000 Mal kleiner ist, als die Masse eines Wasserstoffatoms. Er nahm daher an, dass die Masse des Atoms über das Volumen eines Atoms verteilt ist. Da ein nicht ionisiertes Atom elektrisch neutral ist, folgerte Thomson, dass es neben der negativen Ladung des Elektrons im Atom auch eine positive Ladung geben muss. Er nahm an, dass die positive Ladung gleichmäßig über das Atom verteilt ist und dass sich das Elektron im Zentrum des Atoms befindet.

Diese Vorstellung wurde in einem Versuch getestet, beim dem positiv geladene Alpha-Teilchen auf eine Goldfolie geschickt wurden. Die Erwartung war die folgende:

  • wenn die positive Ladung gleichmäßig über das Atom verteilt ist und die Elektronen wie Rosinen gleichmäßig in der positiven Ladung verteilt sind, dann heben sich die elektrisch positiven und elektrisch negativen Kräfte gegenseitig auf und alle Alphateilchen sollte die Goldfolie geradlinig durchfliegen.
  • wenn die positive Ladung in einem kleinen Volumen konzentriert ist, z.B. dem Atomkern dann sollten manche Alphteilchen dem positiv geladenen Kern nahe kommen und von diesem abgelenkt werden.

Ein solcher Versuch wurde 1913 von H. Geiger und E. Marsden durchgeführt. In der folgenden Simulation können Sie das Verhalten der Alpha-Teilchen in einem gedachten Thomsonschen Rosinenkuchen-Atom und in einem Rutherford-Atom nachvollziehen.

Quelle: PhET

Der Physiker Rutherford beobachtete, dass nur sehr wenige Alpha-Teilchen sehr stark abgelenkt werden (manche um Winkel von mehr als 90°, einzelne bis zu 180°), während die meisten von Ihnen die Goldfolie ungehindert passieren können. Rutherford folgerte daraus, dass die elektrisch positive Ladung im Atomkern konzentriert ist. In der Atomhülle befinden sich negativ geladene Elektronen. Da diese sehr klein sind und wenig Masse haben, ist die Atomhülle weitgehend leer. Die Alpha-Teilchen können diesen nahezu leeren Raum weitgehend ungehindert durchfliegen. Die negativ geladenen Elektronen schirmen die positive Ladung des Kerns nach außen hin ab, so dass das Atom elektrisch neutral erscheint.

Zwischen dem zweifach positiv geladenen Alpha-Teilchen und einem positiv geladenen Gold-Atomkern wirkt die Coulombsche Abstoßungskraft. Diese ist um so größer, je näher sich das Alpha-Teilchen und der Kern kommen und nimmt mit wachsender Entfernung sehr schnell ab. Moderne Streuversuche zeigen, dass das Coulomb-Gesetz nur dann gilt, wenn die Alpha-Teilchen einen Mindestabstand zum Kern haben. Wenn die Annäherung kleiner als \(10^{-14} \, \text{m}\) beträgt, kann die Ablenkung nicht mehr durch die Coulomb-Kraft allein erklärt werden. Im Kern zwischen den Protonen und Neutronen muss noch eine weitere anziehende Kraft wirken: die starke Kernkraft, die auch starke Wechselwirkung genannt wird. Mit der Modellierung des Atomkerns beschäftigt sich die Kernphysik, die Sie im letzten Thema des Leistungskurses kennenlernen werden.


Coulomb-Kraft

Aufbauend auf seinen Erkenntnissen über das Verhalten von Alpha-Teilchen beim Durchfliegen einer Goldfolie entwickelte Rutherford sein Atommodell. Um die Modellierung leichter nachvollziehen zu können, betrachten wir im folgenden das Wasserstoffatom als einfachstes denkbares Atom. Ein elektrisch positiv geladenes Proton bildet den Atomkern, ein einzelnes elektrisch negativ geladenes Elektron bildet die Atomhülle. Nach dem Coulombschen Gesetz wirkt zwischen dem Proton und dem Elektron eine anziehende Kraft, die wie folgt beschrieben werden kann:

\[ F_{\text{el}} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\]

Dabei ist:

  • \(F_{\text{el}}\) = die zwischen dem Proton und Elektron wirkende Kraft
  • \(\varepsilon_0\) = die elektrische Feldkonstante
  • \(q_1 = 1,602 \cdot 10^{-19} \, \text{C}\) = Ladung des Protons (positive Elementarladung) und \(q_1 = 1,602 \cdot 10^{-19} \, \text{C}\) = Ladung des Elektrons (negative Elementarladung)
  • \(r\) = Abstand zwischen Elektron und Proton

Die Kraft, die zwischen dem Proton und dem Elektron wirkt, ist abhängig vom Abstand zwischen den beiden Ladungen, wie Sie in der folgenden Simulation nachvollziehen können.

In einem neuen Fenster starten: Kraft im E-Feld

Rutherford hat sich den Atomkern als Ort der positiven Ladung und Masse des Atoms vorgestellt. Das Proton zieht das Elektron wegen der elektrostatischen Coulombkraft an. Ausgehend von diesen einfachen Annahmen entwickelte er mit den klassischen Modellen seiner Zeit ein einfaches Atommodell. Damit Sie die Überlegungen Rutherfords nachvollziehen können, werden im folgenden die Begriffe "potentielle Energie" und "Kreisbewegung" wiederholt und vertieft, die Sie aus Klasse 11 kennen.


Potentielle Energie

Denken wir uns für einen Moment das Elektron "auf" dem Proton "sitzend" (so wie Sie auf einem Stuhl auf der Erde sitzen). Wenn das Elektron vom Proton entfernt werden soll, muss eine Kraft aufgewendet werden, um gegen die elektrische Anziehungskraft das Elektron vom Proton zu entfernen. Wenn eine Kraft \(F\) auf das Elektron wirkt und das Elektron damit eine Strecke \(s\) radial vom Proton entfernt wird, muss dazu eine Energie \(W = F \cdot s\) aufgebracht werden. Diese Energiemenge wird auch "Arbeit" genannt, die geleistet werden muss, um das Elektron vom Proton zu entfernen.

Im Gravitationsfeld der Erde entspricht diese Arbeit der Hubarbeit, wenn ein Körper gegen die Anziehungskraft der Erde auf eine bestimmte Höhe angehoben wird. Wenn Sie die Leiter beim Dreimeter-Sprungbrett hochgehen, müssen Sie gegen die Anziehungskraft der Erde eine Arbeit leisten. Die geleistete Arbeit wird im System Erde-Mensch als potentielle Energie (Lageenergie) gespeichert. Sobald Sie vom Dreimeter-Brett springen, wird die potentielle Energie in kinetische Energie (Bewegungsenergie) umgewandelt.

Bei den Aufgaben zur Lageenergie sind wir in den letzten Schuljahren davon ausgegangen, dass die Gravitationskraft sich nicht ändert, wenn man einen Körper nur einige wenige Meter anhebt. Damit hat sich die Formel für die Berechnung der Energie, die notwendig ist, um einen Körper einen bestimmten Höhenunterschied anzuheben vereinfacht zu:

\[ \text{Hubarbeit} = m \cdot g \cdot h\]

mit \(m\) = Masse des anzuhebenden Körpers, \(g\) = Ortsfaktor (\(9,81 \frac{N}{kg}\)), \(h\) = radialer Höhenunterschied. Beim Sprung vom Dreimeter-Brett wurde die Lageenergie für die Wasseroberfläche als Null festgelegt. Der Springer auf dem Dreimeter-Brett hat dann gegenüber der Wasseroberfläche die potentielle Energie: \(E_\text{pot} = m \cdot g \cdot h\).

Überträgt man diese Überlegungen auf das Elektron und Proton, dann stellt man fest: wenn man das Elektron vom Proton radial um eine Strecke \(x\) entfernt, muss man eine Arbeit \(W_\text{el}\) leisten und die potentielle Energie \(E_\text{pot}\) des Elektrons relativ zum Proton nimmt zu. Lässt man das Elektron los, fällt es in Richtung des Protons, so dass seine potentielle Energie relativ zum Proton abnimmt und seine kinetische Energie \(E_\text{kin}\) zunimmt.

\[ W_\text{el} = F_\text{el} \cdot x = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \frac{e \cdot e}{r^2} \cdot x\]

Die elektrische Kraft ist sehr viel stärker als die Gravitationskraft (ca. \(10^{39}\) mal). Bei der weiteren Betrachtung können wir also die Gravitationskraft vernachlässigen. Die Näherung, dass sich die Kraft nur vernachlässigbar ändert, wenn man das Elektron vom Proton entfernt, kann wegen der Stärke der elektrostatischen Kraft nicht angewendet werden. Die Kraft ändert sich deutlich, auch wenn man das Elektron nur eine kleine Wegstrecke radial vom Proton entfernt. Diese Überlegung führt zur Anwendung der Integralrechnung, die Sie in Klasse 12 kennengelernt haben.

Um die Arbeit zu berechnen, die aufgewendet werden muss, um ein Elektron um eine Strecke \(x\) von der Entfernung \(r_1\) zur Entfernung \(r_2\) in einer Bewegung radial vom Proton weg zu bewegen, muss die notwendige Energie für eine beliebig kleine Teilstrecke berechnet werden und dann alle so berechneten Energiebeträge summiert werden. Diese Summenbildung für unendlich viele beliebig kleine Teilstrecken führt zum Integral. Aus dem Ausdruck

\[ W_\text{el} = F_\text{el} \cdot x \]

wird das Integral (anschaulich also die Summe aus unendlich vielen Rechtecken):

\[ W_\text{el} = \int F_\text{el}(x) \,\,\mathrm{d}x\]

Integriert man von der Entfernung \(r_1\) bis zur Entfernung \(r_2\), dann folgt für die zu leistende Arbeit:

\[ \begin{align} W_\text{el} &= \int \limits_{r_1}^{r_2} F_\text{el}(x) \,\,\mathrm{d}x \\ &= \int \limits_{r_1}^{r_2} \frac{e^2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \frac{1}{x^2} \,\,\mathrm{d}x \\ \end{align} \]

Die konstanten Faktoren können vor das Integral gezogen werden, also:

\[ \begin{align} W_\text{el} &= \int \limits_{r_1}^{r_2} \frac{e^2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \frac{1}{x^2} \,\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{e^2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \int \limits_{r_1}^{r_2} \frac{1}{x^2} \,\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{e^2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \int \limits_{r_1}^{r_2}x^{-2} \,\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{e^2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left[ - x^{-1} \right]_{r_1}^{r_2} \\ &= \frac{e^2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left[ - r_2^{-1} - (- r_1^{-1}) \right] \\ &= \frac{e^2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left[ r_1^{-1} - r_2^{-1} \right] \\ &= \frac{e^2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left[ \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right] \\ \end{align} \]

Bewegt man ein Elektron der Ladung \(q_2 = e\) von der Entfernung \(r_1\) zur Entfernung \(r_2\) radial vom Proton der Ladung \(q_1 = e\) weg, dann muss man dafür folgende Arbeit leisten bzw. Energie aufwenden:

\[ W_\text{el} = \frac{e^2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left[ \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right]\]

Man legt dann weiter allgemein fest: Wenn eine elektrische Ladung \(q_2\) von der Entfernung \(r_1\) zur Entfernung \(r_2\) radial von der Zentralladung \(q_1\) wegbewegt wurde, dann hat die wegbewegte elektrische Ladung \(q_2\) in der Entfernung \(r_2\) relativ zur Entfernung \(r_1\) die potentielle Energie:

\[ E_\text{pot, 2} = E_\text{pot, 1} + W_\text{el}\]

Damit kann man die potentielle Energie relativ zu einer anderen potentiellen Energie angeben, indem man die Energie addiert, die aufgewendet werden muss oder die frei wird, wenn das Elektron von Position 1 zur Position 2 bewegt wird. Im Graviationsfeld wurde z.B. dem Boden im Physiksaal die potentielle Energie Null zugeordnet. In der Atomphysik definiert man das anders. Wie Sie aus dem Chemie-Unterricht wissen, kann ein Elektron aus einem Atom entfernt werden. Das Atom ist dann ionisiert und das entfernte Elektron ist nicht mehr im Einfluss des Protons.

Deswegen legt man fest, dass die potentielle Energie eines Elektrons an einem Ort ausserhalb des Atoms Null ist. Das erscheint unlogisch, denn ein Elektron kann ja beim freien Fall auf das Proton eine um so größere Geschwindigkeit erreichen, je weiter das Elektron vom Proton entfernt ist. Die potentielle Energie müsste also größer werden, je weiter das Elektron vom Proton entfernt ist. Wenn man die potentielle Energie außerhalb des Atoms mit Null festlegt, würde die Energie ja immer kleiner werden, je weiter sich das Elektron vom Proton entfernt.

Mit einem kleinen mathematischen Trick lässt sich das Problem elegant lösen. Wenn man die potentielle Energie \(E_\text{pot, 2}\) im Unendlichen gleich Null setzt, dann folgt:

\[ 0 = E_\text{pot, 1} + W_\text{el}\]

Und damit wird einer Ladung \(q_2\) im Abstand \(r_1\) von der Ladung \(q_1\) die negative potentielle Energie \(E_\text{pot, 1} = - W_\text{el}\) zugeordnet. Die Lösung ist also, dass einem Ort in der Atomhülle eine negative potentielle Energie zugeordnet wird. Diese Energie ist umso negativer, je näher man dem Proton kommt. Entfernt man das Elektron vom Proton, dann wird die potentielle Energie weniger negativ. Weniger negativ werden bedeutet mathematisch, dass die potentielle Energie zunimmt, also genau das Verhalten, was dazu passt, dass ein weiter entferntes Elektron auf eine höhere Energie beschleunigt wird, wenn es in Richtung eines Protons fällt.

Die unendliche Entfernung kann jetzt in die Formel der zu leistenden Arbeit eingesetzt werden. Es gilt, dass \(\frac{1}{\infty} = 0\) ist. Das können Sie leicht einsehen, wenn Sie sich vorstellen, dass eine Pizza an unendlich viele Personen verteilt werden soll. Damit man eine Pizza an unendlich viele Personen verteilen kann, muss jedes Stück genau 0 groß sein. Wären die Stücke sehr klein, aber nicht Null, dann wäre die Pizza bei einer bestimmten endlichen Anzahl Pizzaesser irgendwann verteilt. Wenn man also für den Radius \(r_2\) in die Formel der potentiellen Energie den Wert unendlich (\(= \infty\)) einsetzt, dann folgt:

\[ \begin{align} E_\text{pot} &= - \frac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left[ \frac{1}{r_1} - \frac{1}{\infty} \right] \\ &= - \frac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \left[ \frac{1}{r_1} - 0 \right] \\ &= - \frac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r_1} \\ \end{align}\]

Wenn sich eine Ladung \(q_2\) im Abstand \(r_1\) von der Ladung \(q_1\) befindet, dann kann man mit der Formel \(E_\text{pot} = - \frac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r_1}\) berechnen, wie viel Energie man aufwenden muss, um die Ladung \(q_2\) unendlich weit von der Ladung \(q_1\) zu entfernen. Da die Coulombkraft mit \(\frac{1}{r^2}\) abnimmt, ist dieser Wert bereits nach einer endlichen Strecke in guter Näherung erreicht worden.

Damit kann man auch die Brücke zu den Experimenten spannen. Man kann messen, wie viel Energie man einem Wasserstoff-Atom zuführen muss, damit es ionisiert wird (13,6 eV). Damit kann man festlegen, dass ein Elektron im Wasserstoffatom eine potentielle Energie von -13,6 eV hat. Führt man dem Elektron eine Energie von 2 eV zu, dann wird seine potentielle Energie größer, denn -11,6 > -13,6.

Teilt man die potentielle Energie \(E_\text{pot} = - \frac{q_1 \cdot q_2}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{1}{r_1}\) an einem bestimmten Ort relativ zum Nullpotential im Unendlichen durch die Ladung des Elektrons, dann nennt man die dadurch festgelegte Größe das Potential \(\phi\) an diesem Ort.

\[ \phi = \dfrac{E_{pot}}{q}\]

Im inhomogenen elektrischen Feld einer Ladung \(q_1\) gilt für die potentielle Energie relativ zum Nullpotential im Unendlichen:

\[ E_{pot} = - \dfrac{q_1 \cdot q_2}{4 \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \dfrac{1}{r}\]

Für das vom Proton erzeugte Potential \(\phi\) relativ zum Nullpotential im Unendlichen gilt:

\[ \phi = - \dfrac{1}{4 \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \dfrac{q_1}{r}\]

Das Potential ist ein Begriff, den wir auch für das quantentheoretische Atommodell benötigen werden. Dort wird ein Atom mit Hilfe eines Potentialtopfs modelliert. Wie Sie sehen, wird die klassische Bedeutung eines Potentials aus der Kraft zwischen Elektron und Proton abgeleitet.


Kreisbewegung

Rutherford hat sich vorgestellt, dass ein Elektron um den Atomkern kreist. Das Elektron kann als ein Körper aufgefasst werden, der sich mit einer bestimmten Bahngeschwindigkeit um das Proton auf einer Kreisbahn bewegt. Für das Elektron muss jetzt die gleiche Frage gestellt werden, wie beim berühmten Newtonschen Gedankenexperiment: Wie groß muss die Geschwindigkeit eines Satelliten sein, damit er die Erde auf einer Kreisbahn umrunden kann ohne auf die Erde zu fallen?

Ein Satellit wird von der Gravitationskraft der Erde angezogen. Diese Kraft kann als Zentripetalkraft \(F_\rm{ZP}\) aufgefasst werden, die einen Satelliten auf einer Bahn um die Erde hält:

\[ F_\text{ZP} = \frac{m \cdot v^2}{r}\]

In der folgenden Simulation können Sie die Flugbahn von Satelliten in der Nähe der Erde näherungsweise simulieren. Wenn Sie - ohne die Parameter zu ändern - auf Animation starten klicken, fällt der Satellit aufgrund der Beschleunigung durch die Gravitation geradlinig auf die Erde. Die Bewegung im freien Fall muss kombiniert werden mit einer Bewegung tangential zur Erdoberfläche am Startpunkt, so dass der Satellit gleichzeitig fällt und der Erde zur Seite ausweicht. Erst durch diese Kombination kann er die Erde umrunden.

In einem neuen Fenster starten: G-Simulation 2

Diese Erkenntnis kann man auf das klassische Modell übertragen, wenn ein Elektron ein Proton umrunden soll. Das Elektron muss neben seiner potentiellen Energie auch hinreichend viel kinetische Energie besitzen, damit es nicht im freien Fall auf das Proton fällt.

Die Gesamtenergie des Elektrons ist die Summe seiner potentiellen und seiner kinetischen Energie.


Energie eines Elektrons im klassischen Rutherford-Atom

Das einfachste vorstellbare Atom ist das Wasserstoffatom mit einem Elektron als Hülle und einem Proton als Kern. Für die kinetische Energie des Elektrons gilt \(E_{\text{kin}} = \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_e}^2\). Ein Elektron wird, wie Sie in der letzten Simulation gesehen haben, nur bei einer einzigen Geschwindigkeit \(v_e\) auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\) gehalten. Diese Geschwindigkeit kann klassisch bestimmt werden, indem man die Coulombkraft \(F_{\text{el}} = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \frac{e \cdot e}{r^2}\) als Zentripetalkraft \(F_\text{ZP} = \frac{m \cdot v^2}{r}\) auffasst, welche das Elektron auf seiner Bahn hält. Also gilt:

\[ \begin{align} F_{\text{ZP}} &= F_{\text{el}} \\ \frac{m_e \cdot v_e^2}{r} &= \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \frac{e \cdot e}{r^2}\\ v_e^2 &= \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \frac{e \cdot e}{r \cdot m_e}\\ \end{align}\]

Setzt man die rechte Seite von \(v_e^2\) in die Formel der kinetischen Energie ein, folgt:

\[ \begin{align} E_{\text{kin}} &= \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot {v_e}^2 \\ &= \frac{1}{2} \cdot {m_e} \cdot \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \frac{e \cdot e}{r \cdot m_e} \\ &= \frac{1}{8 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \frac{e^2}{r} \\ \end{align}\]

Die Gesamtenergie des Elektrons ist also \(E_{\text{ges}} = E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}}\):

\[ \begin{align} E_{\text{ges}} &= \frac{1}{8 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r} - \dfrac{e^2}{4 \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \dfrac{1}{r} \\ &= \frac{1}{8 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \frac{e^2}{r} - \dfrac{e^2}{4 \pi \cdot \varepsilon_0} \cdot \dfrac{1}{r} \\ &= \frac{e^2}{\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r} \cdot \left( \frac{1}{8} - \frac{1}{4} \right) \\ &= \frac{e^2}{\pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r} \cdot \left( - \frac{1}{8} \right) \\ &= - \frac{e^2}{8 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r} \end{align}\]

Damit ein Elektron auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\) das Proton umkreisen kann, muss es im klassischen Rutherford-Wasserstoff-Atom genau die Gesamtenergie \(E_{\text{ges}}(r)\) in Abhängigkeit vom Radius \(r\) der Kreisbahn besitzen:

\[ E_{\text{ges}}(r) = - \frac{e^2}{8 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0 \cdot r}\]

Im Rutherford-Atommodell sind für das Elektron alle möglichen Bahnradien erlaubt. Damit kann ein Elektron im Rutherford-Atommodell alle möglichen Energien besitzen.


Kritik am Modell von Rutherford

Problem 1: Atomkollaps

Wenn die Elektronen in einer Kreisbewegung den Atomkern umkreisen, werden sie dazu ständig von der wirkenden Zentralkraft (elektrische Anziehungskraft zwischen positiver und negativer elektrischer Ladung) beschleunigt. Nach den Erkenntnissen der Funktechnik am Ende des 19. Jahrhunderts ging man davon aus, dass beschleunigte Elektronen elektromagnetische Wellen aussenden und dabei Energie verlieren. Auch ein Elektron, das ein Proton umkreist, wird ständig beschleunigt und müsste ständig Energie verlieren. Man kann berechnen, dass bei dieser ständigen Energieabgabe das Elektron nach etwa \(10^{-8} \, \text{s}\) den Kern erreicht und sich mit diesem vereint. Wenn ein Elektron als kleine geladene Kugel ein Proton umrunden würde, wäre ein Atom instabil und die Welt wurde sofort in sich zusammenstürzen!

Problem 2: Gasentladungsspektrum

Anfang des 20. Jahrhunderts wurden systematische Untersuchungen von Licht durchgeführt, das von Gasentladungsröhren ausgesendet wurde, die Wasserstoffgas enthielten. Eine Gasentladungsröhre ist eine Glasröhre, an deren Enden sich Elektroden befinden, die an eine Gleichspannungsquelle mit Hochspannung angeschlossen sind. Kosmische Strahlen oder natürliche radioaktive Strahlen ionisieren ständig spontan Wasserstoffatome, so dass sich jederzeit einige freie Elektronen und einige freie Protonen im Gas befinden. Die freien Elektronen werden bei angelegter Hochspannung in Richtung der positiven Anode beschleunigt, die freien Protonen in Richtung der negativen Kathode.

Die beschleunigten Elektronen können weitere Atome ionisieren, so dass sich die Zahl der freien Ladungen stark vergrößert. An der Anode werden Elektronen aufgenommen und fließen durch die Spannungsquelle zur Kathode. An der Kathode können die beschleunigten Protonen Elektronen herauslösen, so dass wieder freie Elektronen verfügbar sind. Sobald dieser Kreislauf in Gang gesetzt wurde, hat die Gasentladungsröhre gezündet. Die freien Elektronen können jetzt mit Wasserstoffatomen wechselwirken, die noch nicht ionisiert worden sind. Das an das Proton gebundene Elektron nimmt Energie auf und sendet nach kurzer Zeit diese Energie wieder als Licht aus.

Schickt man das emittierte Licht durch ein Prisma oder durch ein optisches Gitter, können die Wellenlängen voneinander getrennt untersucht und bestimmt werden. Zwischen 1885 und 1924 konnten die Wellenlängen der von einer Wasserstoffgasentladungsröhre ausgesandten Photonen gemessen werden. Dabei stellten die PhysikerInnen fest, dass die Wasserstoffatome kein kontinuierliches Spektrum aussenden, sondern nur Licht mit wenigen bestimmten Wellenlängen. Ein solches Spektrum wird Linienspektrum genannt.

Ein Photon hat eine Energie von \(E = h \cdot f = \frac{h \cdot c}{\lambda}\). Wenn nur ganz bestimmte Photonen beobachtet werden, muss es in der Gasentladungsröhre Elektronen geben, die nur ganz bestimmte Energiewerte haben und zwischen diesen Energiewerten durch Energieaufnahme und Energieabnahme hin- und herwechseln.

In der folgenden Simulation werden die beobachteten Photonen angezeigt. Benannt nach den ersten Entdeckern, werden die Photonen zu Serien zusammengefasst. Die Balmer-Serie wurde 1885 erstmals beschrieben und liegt im Bereich des sichtbaren Lichts. Die anderen Serien konnten erst beobachtet werden, nachdem auch Lichtdetektoren verfügbar waren, die UV- und Infrarotlicht detektieren konnten.

Simulation in neuem Fenster öffnen: Wasserstoff-Serien

Im Energieniveauschema sind die Energienveaus mit negtiven Werten notiert. -13,6 eV steht für die Energie, die einem Elektron zugeführt werden muss, damit es das Wasserstoffatom verlassen kann (Ionisierungsenergie). Die Energiemenge 1 Elektronenvolt (1 eV) ist die Energie, die ein Elektron als kinetische Energie gewinnt, wenn es von einer Beschleunigungsspannung von 1 Volt beschleunigt wurde. Es gilt:

\[ 1 \, \text{eV} = 1,602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \cdot 1 \, \text{V} = 1,602 \cdot 10^{-19} \, \text{J}\]

Die Beobachtung, dass nur bestimmtes Licht von einer Gasentladungsröhre ausgesendet wird, passt nicht zum Rutherfordmodell, welches beliebige Energien und damit beliebige Wellenlängen erlauben würde. Nur ein quantisiertes Atommodell kann die Beobachtung von Linienspektren zutreffend modellieren.

Johann Balmer suchte heuristisch eine Formel, mit welcher sich die Wellenlängen der nach ihm benannten Serie berechnen lässt. Er fand 1885 eine geeignete Formel, ohne jedoch den inneren Aufbau eines Wasserstoffatoms zu verstehen. Die Balmer-Formel lautet:

\[ \frac{1}{\lambda} = R_\infty \cdot \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)\]

mit \(\lambda\) = Wellenlänge des emittierten Lichts, \(R_\infty = 1,09737 \cdot 10^7 \, \frac{1}{\text{m}}\) = Rydberg-Konstante, \(n\) = 3, 4, 5, ...

Eine Formulierung dieser Formel mit der Frequenz \(f\) der emittierten Photonen lautet mit \(c = \lambda \cdot f\):

\[ f = R \cdot \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{n^2} \right)\]

mit \(f\) = Frequenz des emittierten Lichts, \(R = 3,28964 \cdot 10^{15} \, \text{Hz}\) = Rydberg-Frequenz, \(n\) = 3, 4, 5, ...

Problem 3:

Wenn Elektronen auf einer Kreisbahn das Proton umkreisen, dann wäre ein Wasserstoffatom flach wie eine Scheibe. Experimente haben aber gezeigt, dass auch einzelnen Atomen ein Volumen zugeordnet werden muss.