Potentialtopf

Im Modell eines linearen unendlich tiefen Potentialtopfs der Länge \(L\) können die erlaubten Energieniveaus mit folgender Gleichung modelliert werden:

\[ E_n = \frac{h^2}{8 \cdot m_e \cdot L^2} \cdot n^2\]

dabei ist \(h\) = Planck-Konstante, \(m_e\): Masse eines Elektrons, \(n\) = Hauptquantenzahl

Leiten Sie diese Formel begründet her.

Herleitung:

Für den Impuls eines Elektrons gilt nach de-Broglie: \(p = \frac{h}{\lambda}\), wobei \(\lambda\) die de-Broglie-Wellenlänge des Elektrons ist. Im linearen Potentialtopf sind nur die Wellenlängen erlaubt, bei der sich eine stehende Welle ausbilden kann, wobei die Amplitude an der Potentialtopfbegrenzung Null ist.

Klicken Sie auf die Energieniveaus \(\rm{E}_1\) bis \(\rm{E}_{10}\). Alle Energieniveaus sind zulässig, bei welchen sich stehende Sinuswellen zwischen 0 und \(L\) einbauen lassen.

Quelle: QuVis - University of St Andrews

Stehende Wellen bilden sich dann, wenn die Breite des Potentialtopfs ein Vielfaches der halben Wellenlänge ist. Es gilt damit \(L = n \cdot \frac{\lambda}{2}\). Löst man diesen Ausdruck nach \(\lambda\) auf und setzt den resultierenden Term in die Impulsgleichung \(p = \frac{h}{\lambda}\) ein, folgt für die erlaubten Impulswerte:

\[ p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h \cdot n}{2 \cdot L}\]

Wenn man die potentielle Energie im linearen Potentialtopf mit Null annimmt, ist die Gesamtenergie des Elektrons nur seine kinetische Energie. Mit \(p = m \cdot v\) gilt dann weiter:

\[ \begin{align} E_\rm{kin} &= \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 \\ &= \frac{p^2}{2 \cdot m_e} \\ &= \frac{\left( \frac{h \cdot n}{2 \cdot L} \right)^2}{2 \cdot m_e} \end{align} \]

Vereinfacht man den Ausdruck, dann folgt:

\[ E_{n} = \frac{h^2}{8 \cdot m_e \cdot L^2} \cdot n^2\]

Mit \(h\) = Plancksches Wirkungsquantum, \(m_e\) = Elektronenmasse, \(L\) = Breite des Potentialtopfs, \(n\) = Hauptquantenzahl.

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.