Radioaktiver Zerfall


Angeregte Atome

Aus der Atomphysik wissen Sie, dass ein Atom angeregt werden kann, indem ein Elektron ein Photon absorbiert und die Atomhülle dadurch einen höheren Energiezustand einnimmt. Ein so angeregtes Atom verbleibt etwa \(10^{-8} \, \text{s}\) im angeregten Zustand, bis es durch Aussendung eines Photons wieder in den Grundzustand übergeht.

Auch ein Atomkern kann angeregt werden. Es erfordert aber wesentlich mehr Energie, um einen Atomkern anregen zu können, als Energie benötigt wird, um ein Elektron in der Atomhülle anzuregen. Ein Atomkern kann auch wesentlich kürzer oder wesentlich länger in einem angeregten Zustand verbleiben als Elektronen in der Atomhülle:

Die mittlere Zeit, bis ein instabiler Kern spontan zerfällt, kann zwischen \(10^{-14}\) Sekunden und \(10^{11}\) Jahren liegen.

Eine angeregte Atomhülle sendet beim Übergang in den Grundzustand Photonen aus. Angeregte instabile Atomkerne senden Photonen, Elektronen, Protonen, Neutronen, Neutrinos,... also eine große Vielfalt an Quantenobjekten aus. Dabei gelten folgende Erhaltungssätze:

Erhaltungssätze für Kernumwandlungen:

  • die Summe aus Masse und Energie aller beteiligten Quantenobjekte muss konstant sein
  • der Impuls und Drehimpuls aller beteiligten Quantenobjekte muss konstant sein
  • die elektrische Gesamtladung aller beteiligten Quantenobjekte muss konstant sein
  • die Gesamtzahl aller beteiligten Protonen und Neutronen muss konstant sein

Radioaktiver Zerfall und Aktivität

Ein angeregter Atomkern verwandelt sich spontan in einen anderen Atomkern und sendet dabei Quantenobjekte aus. Diesen Vorgang nennt man radioaktiven Zerfall. Man kann nicht vorhersagen, wann ein angeregter Atomkern radioaktiv zerfällt. Der Zerfall eines bestimmten angeregten Atomkerns geschieht völlig zufällig. Beobachtungen bei radioaktiven Substanzen haben aber gezeigt, dass man eine Halbwertszeit für den Zerfallsvorgang angeben kann.

Die Halbwertszeit eines radioaktiven Zerfalls ist das Zeitintervall, in welchem etwa die Hälfte der Ausgangsatomkerne zerfallen sind.

Wenn bei einem Zerfallsvorgang mit einem bestimmten radioaktiven Nuklid zum Zeitpunkt 0 z.B. 1000 Atomkerne der Atomsorte 1 vorhanden sind und die Halbwertszeit 1 Stunde beträgt, dann wären nach 1 Stunde noch etwa 500 Atomkerne der Sorte 1 vorhanden und es hätten sich etwa 500 Atomkerne der Sorte 2 gebildet. Die Summe aus der Anzahl der Atomkerne der Sorte 1 und der Anzahl der Atomkerne der Sorte 2 muss dabei zu jedem Zeitpunkt 1000 sein.

Die Atomkerne der Sorte 2 (Zerfallsnuklid) können selbst wieder radioaktiv sein und mit einer eigenen Halbwertszeit zerfallen, die anders ist, als die Halbwertszeit der Atomsorte 1 (Ausgangsnuklid). Dieser Vorgang kann sich mehrmals wiederholen, so dass eine Zerfallsreihe entsteht. Die Zerfallsreihe endet, wenn eines der Zerfallsnuklide einen stabilen Atomkern hat, der nicht weiter zerfällt.

In der folgenden Animation können Sie dieses Verhalten studieren. Vom Ausgangsnuklid sind 1200 Atomkerne vorhanden, die mit der Halbwertszeit 1 zerfallen. Das Zerfallsnuklid (Atomsorte 2) zerfällt mit der Halbwertszeit 2 und dessen Zerfallsnuklid (Atomsorte 3) zerfällt mit der Halbwertszeit 3. Die Atomsorte 4 als Zerfallsnuklid der Atomsorte 3 ist stabil und zerfällt nicht weiter radioaktiv.

In der linken Hälfte der Animation können Sie die Anzahl der vorhandenen Atome der Sorten 1-4 mit Hilfe der unterschiedlichen Farben beobachten. Atomkerne haben natürlich keine Farbe, sondern die Farbgebung hilft, die Atomkerne zuordnen zu können. Im rechts stehenden Koordinatensystem werden die Anzahlen der Atomsorten geplottet:

  • die Anzahl des Ausgangsnuklids nimmt ständig ab (blau)
  • die Anzahl des stabilen Nuklids nimmt ständig zu (gelb)
  • die Anzahlen der Zwischennuklide nehmen dynamisch zu und ab.

Sie können beobachten, dass sich die Anzahlen zufällig ändern, denn der Zeitpunkt des Zerfalls eines bestimmten Atomkerns ist völlig zufällig. Wir können nur davon ausgehen, dass sich innerhalb eines Zeitintervalls der Halbwertszeit etwa 50 % der Atomkerne umwandeln. Zu welchem Zeitpunkt das geschieht, können wir nicht voraussagen. Daher bekommen Sie auch keine glatten Kurven, wie diese von einer mathematischen Funktion erzeugt werden würden, sondern Kurven, wie von einer zitternden Hand gemalt.

Nach einem Zeitintervall der Halbwertszeit 1 sind noch etwa 50 % Atomkerne der Atomsorte 1 vorhanden. Nach einer weiteren Halbwertszeit sind noch 50 % von 50 % also 25 % Atomkerne der Atomsorte 1 vorhanden. Nach einer weiteren Halbwertszeit sind noch 50 % von 50 % von 50 % also 12,5 % Atomkerne der Atomsorte 1 vorhanden, und so weiter. Die Zeitintervalle schwanken etwas, da der Zerfall zufällig geschieht, aber im Mittel zerfallen etwa 50 % der Atomkerne in einem Intervall der Halbwertszeit.

Animation zum radioaktiven Zerfall:

  • Klicken Sie auf "Zeit starten" und beobachten Sie die Anzahlen der Atomkerne. Wie lautet der Name der Funktionsklasse, die durch die blaue Kurve angenähert wird?
  • Klicken Sie auf "Halbwertszeitlinie plotten" und sehen Sie sich den Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und 50 % Bestand in Ruhe an. Variieren Sie die Halbwertszeit von Atomsorte 1, indem Sie die Halbwertszeit verändern, dann auf "Alles zurücksetzen" und auf "Zeit starten" klicken.
  • Aktivieren Sie die Graphen der Atomsorten 2-4 und variieren Sie die Halbwertszeiten.
  • An welche Funktionsklasse erinnert Sie der Graph von Atomsorte 4?

In einem neuen Fenster starten: Radioaktiver Zerfall

Mögliche Antworten: hier klicken... Frage 1: Die blaue Kurve sieht aus wie der Graph einer Exponentialfunktion.
Frage 2: Die gelbe Kurve sieht aus wie der Graph einer Funktion bei logistischem Wachstum.

Die Anzahl von Zerfällen während eines Zeitintervalls nennt man die radioaktive Aktivität. Die radioaktive Aktivität kann man messen, indem man mit geeigneten Detektoren die Quantenobjekte zählt, die beim Zerfall eines Atomkerns pro Zeiteinheit ausgesendet werden. In der Animation können Sie beobachten, dass sich die Aktivität der Probe ständig ändert.


Mathematische Modellierung des radioaktiven Zerfalls

Sie haben inzwischen genügend Erfahrung zur Arbeit von PhysikerInnen gesammelt, dass klar sein müsste, was jetzt kommt: mathematische Modellierung.

In der folgenden Herleitung soll davon ausgegangen werden, dass es keine Möglichkeit gibt vorherzusagen, wann ein bestimmter ausgewählter instabiler Atomkern radioaktiv zerfällt. Selbst wenn die Halbwertszeit nur 1 Sekunde beträgt, könnte es sein, dass ein bestimmter Atomkern der radioaktiven Substanz, die wir beobachten, 1000 Jahre lang nicht zerfällt. Trotzdem werden in einem Intervall der Halbwertszeit etwa 50 % der Atomkerne zerfallen, wir wissen nur nicht welche!

Wenn man ein Zeitintervall \(t_1\) festlegt, das genau eine Halbwertszeit lang ist, dann können wir für einen bestimmten Atomkern vorhersagen, dass er in diesem Zeitintervall mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % zerfallen wird. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % wird er im Zeitintervall \(t_1\) nicht zerfallen.

In einem Zeitintervall \(t_2\), das eine halbe Halbwertszeit lang ist, wird ein Atomkern mit einer Wahrscheinlichkeit von 25 % zerfallen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % wird der Kern im Zeitintervall \(t_2\) nicht zerfallen.

Man kann also sagen, dass die Zerfallswahrscheinlichkeit von einem Atomkern direkt proportional zur Länge des Zeitintervalls ist. Je kürzer das Zeitintervall ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass der Atomkern zerfällt, je länger das Zeitintervall ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Atomkern zerfällt. Es gilt insbesondere, dass die Wahrscheinlichkeit des Zerfalls in einem Zeitintervall \(\Delta t\) proportional zur Länge des Zeitintervalls \(\Delta t\) ist:

\[ P(\text{zerfällt in} \, \Delta t) \sim \Delta t\]

Bei einer Proportionalität gilt, dass der Quotient zweier zueinander gehörenden Werte konstant ist:

\[ \frac{P(\text{zerfällt in} \, \Delta t)}{\Delta t} = \text{const.}\]

Diese Konstante nennen wir passend "Zerfallskonstante". Für die Zerfallskonstante haben die PhysikerInnen den griechischen Buchstaben Lambda (\(\lambda\)) gewählt, was zur Verwechslung mit der Wellenlänge führen kann. Also denken Sie daran: beim radioaktiven Zerfall steht \(\lambda\) für die Zerfallskonstante, sonst für die Wellenlänge.

Es gilt also:

\[ \frac{P(\text{zerfällt in} \, \Delta t)}{\Delta t} = \lambda\]

und damit

\[ P(\text{zerfällt in} \, \Delta t) = \lambda \cdot \Delta t\]

Wenn \(P(\text{zerfällt in} \, \Delta t)\) die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein instabiler Kern im Zeitintervall \(\Delta t\) zerfällt, dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass er nicht zerfällt:

\[ P(\text{zerfällt nicht in} \, \Delta t) = 1 - \lambda \cdot \Delta t\]

Wir suchen jetzt einen mathematischen Ausdruck, der uns für jeden beliebigen Zeitpunkt berechnen kann, wie viele Atomkerne noch nicht zerfallen sind. Dazu verändern wir die Zeitintervalle. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kern im Zeitintervall \(2 \cdot \Delta t\) nicht zerfallen ist, beträgt nach der Pfadregel:

\[ P(\text{zerfällt nicht in} \, 2 \cdot \Delta t) = (1 - \lambda \cdot \Delta t) \cdot (1 - \lambda \cdot \Delta t) = (1 - \lambda \cdot \Delta t)^2\]

Für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kern im Zeitintervall \(n \cdot \Delta t\) nicht zerfallen ist, folgt also:

\[ P(\text{zerfällt nicht in} \, n \cdot \Delta t) = (1 - \lambda \cdot \Delta t)^n\]

Mit Hilfe eines Zeitintervalls \(\Delta t\), das eine bestimmte Größe hat, können wir nicht jeden beliebigen Zeitpunkt erreichen. Es wird also Zeitpunkte geben, die etwas vor oder etwas nach einem Zeitpunkt liegen, die ich durch die Aufsummierung des Intervalls \(\Delta t\) erreichen kann. Wenn man mehr Zeitpunkte erreichen möchte, muss man das Intervall \(\Delta t\) kleiner machen.

Diesen Vorgang kennen Sie bereits aus der Differenzialrechnung, als Sie die Steigung einer Sekante der Steigung einer Tangente angenähert haben. Damit eine Sekante die Steigung einer Tangente genügend genau annähert, wurde das Intervall \(\Delta x\) immer kleiner gemacht. Für kleine Intervall nähert sich die Sekante der Tangente ziemlich gut an, aber erst wenn das Intervall \(\Delta x\) beliebig klein ist (infinitesimal klein), stimmt die Steigung der Sekante beliebig genau mit der Steigung der Tangente überein. Dieser Übergang zu beliebig (im Extremfall unendlich) kleinen Intervallen wurde dadurch symbolisiert, dass das \(\Delta x\) durch ein \(dx\) ersetzt wurde. Das können wir auf die Zeitintervalle übertragen.

Wenn man die Wahrscheinlichkeit für jeden beliebigen Zeitpunkt modellieren möchte, müssen die Zeitintervalle \(\Delta t\) beliebig klein werden. Wir ersetzen \(\Delta t\) mit einem beliebig kleinen Intervall \(dt\):

\[ P(\text{zerfällt nicht in} \, n \cdot dt) = (1 - \lambda \cdot dt)^n\]

Mit einem beliebig kleinen Zeitintervall \(dt\) kann man durch Aufsummierung von hinreichend vielen Zeitintervallen jeden beliebigen Zeitpunkt \(t\) in der Zukunft erreichen. Wenn das Zeitintervall \(dt\) so klein wird, dass es gegen Null geht, muss man aber auch unglaublich viele Intervalle \(dt\) addieren, um einen bestimmten Zeitpunkt \(t\) zu erreichen. Die Anzahl \(n\) der Intervalle \(dt\) wird also beliebig groß werden, wenn \(dt\) beliebig klein wird. Das ist die Idee der Infinitesimalrechnung, die Sie bereits bei der Bestimmung von Ableitungen und der Berechnung von Integralen kennengelernt haben.

Wenn ich mich also dafür interessiere, wie viele Atomkerne zu einem Zeitpunkt \(t\) noch nicht zerfallen sind, muss ich vom Start der Messung aus unendlich viele Zeitintervalle \(dt\) addieren, um den Zeitpunkt \(t\) zu erreichen. Es gilt also \(t = n \cdot dt\) für \(n \to \infty\) und \(dt \to 0\). Aufgelöst nach \(dt\) folgt \(dt = \frac{t}{n}\). Insgesamt folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atomkern zu einem Zeitpunkt \(t\) noch nicht zerfallen ist, wenn das Zeitintervall \(dt\) beliebig klein wird:

\[ \begin{align} P(\text{zum Zeitpunkt} \, t \, \text{noch nicht zerfallen}) &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( 1 - \lambda \cdot dt \right)^n} \\ &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( 1 - \lambda \cdot \frac{t}{n} \right)^n} \\ &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( 1 - \frac{\lambda \cdot t}{n} \right)^n} \\ \end{align}\]

Aus dem Wunsch der PhysikerInnen, den Bestand der noch nicht zerfallenen Atomkerne zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnen zu können, folgt die Notwendigkeit unendlich viele, beliebig kleine Zeitintervalle zu betrachten. Wenn man diesen Ausdruck auf ein Baumdiagramm übertragen, folgt, dass wir einen Pfad haben, der unendlich lang ist, denn wir haben ja unendlich viele Zeitintervalle, für welche wir einzeln die Wahrscheinlichkeit angeben. Um die Gesamtwahrscheinlichkeit dieses Pfades zu berechnen, müssen unendlich viele Einzelwahrscheinlichkeiten multipliziert werden.

Ein solcher Ansatz wird natürlich nur gewählt, wenn vorher klar ist, dass das Ergebnis dieses unendlich langen Produkts ein bestimmter Ausdruck ist. Und tatsächlich kannten die MathematikerInnen bereits Vorgänge die aus einem unendlichen Produkt einen bestimmten Ausdruck lieferten: z.B. die Zinseszinsrechnung. Auf folgender Seite können Sie die Idee dazu nachvollziehen: die Eulersche Zahl und der Zinseszins.

Im folgenden setzen wir für einen Ausdruck wie:

\[ y = \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n\]

immer größere Werte für n ein und sehen, was passiert.

  • \(\left( 1 - \frac{1}{2} \right)^2 = 0,25\)
  • \(\left( 1 - \frac{1}{3} \right)^3 = 0,296296...\)
  • \(\left( 1 - \frac{1}{10} \right)^{10} = 0,3486784401\)
  • \(\left( 1 - \frac{1}{100} \right)^{100} = 0,3660323412...\)
  • \(\left( 1 - \frac{1}{1000} \right)^{1000} = 0,3676954247...\)
  • \(\left( 1 - \frac{1}{1000000} \right)^{1000000} = 0,36787925722106646...\)
  • \(\left( 1 - \frac{1}{1000000000} \right)^{1000000000} = 0,3678794409875026009...\) -
  • ...

Sie können beobachten, dass sich der Rechenausdruck für große \(n\) gegen eine Zahl annähert. Diese Zahl ist der Kehrwert der berühmten Eulerschen Zahl \(e\).

\[ \begin{align} 1/e &= 0,367879441171442321595523770161460867445811131031767834507... \\ e &= 2,718281828459045235360287471352662497757247093699959574966... \end{align} \]

Ersetzt man die Zahl 1 im Zähler mit einer Variablen x, kann man zeigen, dass gilt:

\[ \frac{1}{e^x} = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( 1 - \frac{x}{n} \right)^n}\]

Wir ersetzen \(x\) mit \(\lambda \cdot t\) und es folgt:

\[ \begin{align} P(\text{zum Zeitpunkt} \, t \, \text{noch nicht zerfallen}) &= \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( 1 - \frac{\lambda \cdot t}{n} \right)^n} = \frac{1}{e^{\lambda t}} = e^{-\lambda t} \end{align}\]

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Atomkern zum Zeitpunkt \(t\) noch nicht zerfallen ist, beträgt \(e^{-\lambda t}\). Sie kennen die e-Funktion bereits aus dem Unterricht und wissen, dass für positive Werte von \(\lambda \cdot t\) für den Wert von \(e^{-\lambda t}\) gilt:

\[ 0 \leq e^{-\lambda t} \leq 1 \]

Da Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 liegen, eignet sich die Funktion \(e^{-\lambda t}\) zur Modellierung einer Wahrscheinlichkeit. Wie wir gezeigt haben, folgt die Gleichung

\[ \begin{align} P(\text{zum Zeitpunkt} \, t \, \text{noch nicht zerfallen}) &= e^{-\lambda t} \end{align}\]

aus der Annahme, dass der Zerfall eines instabilen Atomkerns unabhängig von seiner Geschichte rein zufällig passiert. Bei vielen gleichartigen Kernen können wir also nicht sagen, welcher Kern wann zerfallen wird, es ist aber möglich vorherzusagen, dass in einer bestimmten Zeit ein bestimmter Anteil zerfallen sein wird.

Die Anzahl \(N\) der Atomkerne, die zu einem Zeitpunkt \(t\) noch vorhanden sind, ist also das Produkt aus der Anzahl \(N_0\) der Kerne, die zu Beginn vorhanden waren und der Wahrscheinlichkeit \(e^{-\lambda t}\), dass ein Kern zum Zeitpunkt \(t\) noch vorhanden ist (gerechnet von einem bestimmten Startzeitpunkt aus):

\[ N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}\]

Die Zerfallskonstante lässt sich experimentell bestimmen, indem man die Anfangsanzahl \(N_0\) zum Zeitpunkt \(t_0\) mit der Anzahl \(N\) der nicht zerfallenen Atomkerne zum Zeitpunkt t vergleicht. Aus

\[ N = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}\]

folgt mit Hilfe der Logarithmengesetze für den natürlichen Logarithmus (siehe Formelsammlung):

\[ \begin{align} \frac{N}{N_0} &= e^{-\lambda \cdot t} \,\,\, | \, ln \\ ln \left( \frac{N}{N_0} \right) &= ln \left( e^{-\lambda \cdot t} \right) \\ ln \left( \frac{N}{N_0} \right) &= -\lambda \cdot t \\ -\lambda &= \frac{ln \left( \frac{N}{N_0} \right)}{t} \\ \lambda &= - \frac{ln \left( \frac{N}{N_0} \right)}{t} \\ \end{align} \]


Ein Beispiel: Es seien \(N_0 = 1200\) radioaktive Atome zum Zeitpunkt \(t_0 = 0 \, \text{s}\) vorhanden. Nach 10 Minuten sind noch \(N = 550\) Atome vorhanden. Für die Zerfallskonstante \(\lambda\) gilt dann:

\[ \begin{align} \lambda &= - \frac{ln \left( \frac{N}{N_0} \right)}{t} \\ &= - \frac{ln \left( \frac{550}{1200} \right)}{600 \, \text{s}} \\ &= 0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \\ \end{align} \]

Was bedeutet die Zerfallskonstante \(\lambda = 0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}}\) anschaulich? Bei der Herleitung wurde die Zerfallskonstante als Quotient aus der Zerfallswahrscheinlichkeit und dem Zeitintervall definiert:

\[ \frac{P(\text{zerfällt in} \, \Delta t)}{\Delta t} = \lambda\]

Für unser Beispiel bedeutet das also, dass bei einer Zerfallskonstanten von \(\lambda = 0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}}\) die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Atom in einem Zeitintervall von 1 s zerfällt, 0,0013 = 0,13 % beträgt. Übertragt man das auf alle vorhandenen Atome des Ausgangsnuklids, folgt, dass pro Sekunde 0,13 % aller vorhandenen Atome zerfallen.

Um in diesem Beispiel den Bestand zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnen zu können kann man folgende Formel verwenden:

\[ \begin{align} N(t) &= N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \\ N(t) &= 1200 \cdot e^{-0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot t} \end{align} \]

Nach 15 Minuten (\(= 15 \cdot 60 \, \text{s} = 900 \, \text{s}\)) wären also noch:

\[ \begin{align} N(900 \, \text{s}) &= 1200 \cdot e^{-0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot 900 \, \text{s}} \\ &= 372 \end{align} \]

etwa 372 Atomkerne des Ausgangsnuklids vorhanden. In einem realen Experiment wird die Anzahl natürlich vom Wert 372 abweichen, aber in der Nähe von 372 sein, da der radiaoaktive Zerfall zufällig erfolgt.

Bei gegebener Zerfallskonstante kann man die Halbwertszeit berechnen. Nach der Halbwertszeit \(T_\text{0,5}\) ist die Hälfte der Atomkerne noch nicht zerfallen:

\[ \begin{align} N(T_\text{0,5}) &= 0,5 \cdot N_0 \\ 0,5 \cdot N_0 &= N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot T_\text{0,5}} \\ 0,5 &= e^{-\lambda \cdot T_\text{0,5}} \,\,\, | \, ln \\ ln(0,5) &= ln \left( e^{-\lambda \cdot T_\text{0,5}} \right) \\ ln(0,5) &= -\lambda \cdot T_\text{0,5} \\ ln(2^{-1}) &= -\lambda \cdot T_\text{0,5} \\ -1 \cdot ln(2) &= -\lambda \cdot T_\text{0,5} \\ ln(2) &= \lambda \cdot T_\text{0,5} \\ T_\text{0,5} &= \frac{ln(2)}{\lambda} \end{align} \]

Bei der Zerfallskonstanten \(\lambda = 0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}}\) ist die Halbwertszeit \(T_\text{0,5}\):

\[ T_\text{0,5} = \frac{ln(2)}{\lambda} = \frac{ln(2)}{0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}}} = 533 \, \text{s}\]


Aktivität einer radioaktiven Probe

Die Aktivität \(A(t)\) einer radioaktiven Probe ist festgelegt als die Anzahl der Zerfälle pro Zeiteinheit. Sobald Atomkerne zerfallen, ändert sich die Anzahl der noch vorhandenen Atomkerne des Ausgangsnuklids. Mathematisch kann die Änderung damit als zeitliche Ableitung des Zerfallsgesetzes beschrieben werden:

Für die Ableitung des Zerfallsgesetzes gilt:

\[ \frac{d N(t)}{dt} = \frac{d \, (N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t})}{dt}\]

Wie Sie wissen, ist die Ableitung von \(e^x\) gleich \(e^x\):

\[ \frac{d e^x}{dx} = e^x\]

Mit Hilfe der Kettenregel (innere Ableitung mal äußere Ableitung) folgt für die Ableitung des Zerfallsgesetzes:

\[ \frac{d \, (N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t})}{dt} = - \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}\]

Die Ableitung des Zerfallsgesetzes liefert einen negativen Wert, da der Bestand beim Zerfall ja abnimmt. Die Aktivität gibt die Anzahl der Zerfälle pro Zeiteinheit an, also möchte man einen positiven Wert für die Aktivität haben. Dafür multipliziert man die Ableitung mit \(-1\):

\[ A(t) = - (- \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}) = \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}\]


Zurück zum Beispiel:

Im letzten Beispiel wurde der radioaktive Zerfall mit folgendem Zerfallsgesetz modelliert:

\[ \begin{align} N(t) &= N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \\ N(t) &= 1200 \cdot e^{-0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot t} \end{align} \]

Für die Aktivität der Probe zum Zeitpunkt \(t\) gilt dann:

\[ \begin{align} A(t) &= \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} \\ &= 0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot 1200 \cdot e^{-0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot t} \\ &= 1,56 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot e^{-0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot t} \\ \end{align} \]

Die Aktivität der radioaktiven Probe zum Zeitpunkt \(t\) ist also:

\[ A(t) = 1,56 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot e^{-0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot t}\]

Als Einheit der Aktivität wird heute Becquerel verwendet: \([A(t)] = \tfrac{1}{\text{s}} = 1 \, \text{Bq}\)

Nach 1 Sekunde zerfallen im Mittel 1,557 Atome pro Sekunde:

\[ A(1 \, \text{s}) = 1,56 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot e^{-0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot 1 \, \text{s}} = 1,557 \tfrac{1}{\text{s}} = 1,557 \, \text{Bq}\]

Nach 1 Minute zerfallen im Mittel 1,443 Atome pro Sekunde:

\[ A(60 \, \text{s}) = 1,56 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot e^{-0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot 60 \, \text{s}} = 1,443 \tfrac{1}{\text{s}} = 1,443 \, \text{Bq}\]

Nach 30 Minuten zerfallen im Mittel 0,150 Atome pro Sekunde:

\[ A(1800 \, \text{s}) = 1,56 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot e^{-0,0013 \, \tfrac{1}{\text{s}} \cdot 1800 \, \text{s}} = 0,150 \tfrac{1}{\text{s}} = 0,150 \, \text{Bq}\]


Kleine Formelsammlung

Zerfallskonstante:

  • Die Zerfallskonstante \(\lambda\) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass in einer Sekunde ein bestimmtes Atom zerfällt.
  • Alternative Formulierung: Die Zerfallskonstante \(\lambda\) gibt an, welcher Anteil an allen vorhanden Atomen pro Sekunde zerfällt.

Halbwertszeit:

Die Halbwertszeit \(T_\text{0,5}\) gibt das Zeitintervall an, in welchem die Hälfte der zu Beginn des Intervalls noch vorhandenen Atomkerne zerfallen ist.

Berechnung der Halbwertszeit aus der Zerfallskonstanten:

\[ T_\text{0,5} = \frac{ln(2)}{\lambda} \]

Berechnung der Zerfallskonstanten aus der Halbwertszeit:

\[ \lambda = \frac{ln(2)}{T_\text{0,5}} \]

Mittlere Lebensdauer eines instabilen Atomkerns:

Die mittlere Lebensdauer \(\tau\) eines instabilen Atomkerns ist der Kehrwert der Zerfallskonstanten \(\lambda\):

\[ \tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_\text{0,5}}{ln(2)}\]

Zerfallsgesetz:

Mit Hilfe des Zerfallsgesetzes kann die Anzahl \(N(t)\) der noch nicht zerfallenen Atomkerne zum Zeitpunkt \(t\) berechnet werden, wobei \(N_0\) die Anzahl der vorhandenen Atomkerne zum Zeitpunkt 0 ist.

\[ N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}\]

Aktivität einer radioaktiven Probe:

Die Aktivität \(A(t)\) einer radioaktiven Probe ist festgelegt als die Anzahl der Zerfälle pro Zeiteinheit.

\[ A(t) = \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}\]

Als Einheit der Aktivität wird heute Becquerel verwendet: \([A(t)] = \tfrac{1}{\text{s}} = 1 \, \text{Bq}\)


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