Radioaktives Zerfallsgesetz


Wir nehmen im folgenden an, dass wir eine radioaktive Probe modellieren, bei der die Wahrscheinlichkeit für den radioaktiven Zerfall sich nicht ändert. Im folgenden soll das Zerfallsgesetz für den radioaktiven Zerfall hergeleitet werden. Vorher werden noch einige Begriffe geklärt.

Die durchschnittliche Aktivität der radioaktiven Probe ist die Änderung der Anzahl vorhandener Atome des Isotops während des Intervalls \(\Delta t\):

\[ A = - \frac{\Delta N}{\Delta t}\]

Die Aktivität soll einen positiven Zahlenwert haben, denn sie beschreibt die Anzahl der Zerfälle pro Sekunde. Da die Anzahl der Atome kleiner wird, ist \(\Delta N\) negativ. Mit dem Minuszeichen wird die Aktivität wieder zu einer positiven Zahl. Wenn man immer kleinere Zeitintervalle betrachtet, geht die durchschnittliche Aktivität in die Momentanaktivität über:

\[ A = - \frac{d N}{d t}\]

In einem bestimmten Moment \(d t\) verringert sich die Anzahl der vorhandenen Atome des Isotops um \(d N\).

Da sich die Wahrscheinlichkeit für einen Zerfall nicht verändert, zerfällt pro Zeiteinheit in guter Näherung der gleiche Anteil der noch vorhandenen Atome. Die Aktivität ist damit proportional zur Anzahl der noch vorhandenen Atome.

\[ A \sim N(t)\]

Da \(A\) proportional zu \(N(t)\) ist, ist der Quotient von \(A\) und \(N(t)\) konstant.

\[ \frac{A}{N(t)} = const. = \lambda\]

Die Proportionalitätskonstante wird oft mit dem Buchstaben \(\lambda\) bezeichnet. Verwechseln Sie diese Konstante bitte nicht mit der Wellenlänge \(\lambda\). Hier wird der gleiche Buchstabe für zwei völlig verschiedene Größen verwendet. Die Konstante \(\lambda\) wird als Zerfallskonstante bezeichnet und gibt den pro Sekunde zerfallenden Bruchteil der noch vorhandenen Atomanzahl \(N\) an. Es gilt damit:

\[ A = \lambda \cdot N(t)\]


Beispiel: Wir betrachten eine radioaktive Probe mit der Zerfallskonstante \(\lambda = 0,07 \frac{1}{s}\). Mit Hilfe der Zerfallskonstanten kann die Aktivität berechnet werden. Wir betrachten eine Probe zu dem Zeitpunkt, zu dem noch 150 000 radioaktive Atome vorhanden sind.

\[ A = 0,07 \tfrac{1}{s} \cdot 150 000 = 10 500 \tfrac{1}{s}\]

In der Sekunde, die auf den gewählten Zeitpunkt folgt, zerfallen also 10 500 Atome radioaktiv. Danach ändert sich die Aktivität, denn es sind weniger Atome vorhanden, nämlich \(150 000 - 10 500 = 139 500\). Also gilt für die zweite Sekunde:

\[ A = 0,07 \tfrac{1}{s} \cdot 139 500 = 9765 \tfrac{1}{s}\]

Die Aktivität verändert sich mit der Anzahl noch vorhandener radioaktiver Atome. Die Zerfallskonstante, also wie viel Prozent pro Sekunde zerfallen, bleibt konstant. Da der Bestand, also die Anzahl radioaktiver Atome abnimmt, muss die Zerfallskonstante eine Zahl zwischen 0 und 1 sein. Je größer die Zerfallskonstante ist (z.B. \(\lambda = 0,95 \tfrac{1}{s}\)), desto schneller zerfällt die Probe, je kleiner die Zerfallskonstante ist (z.B. \(\lambda = 0,00021 \tfrac{1}{s}\)), desto langsamer zerfällt die radioaktive Probe.


Es wäre mühsam, den Zerfall von Sekunde zu Sekunde zu berechnen. Mit Hilfe der Mathematik soll eine Funktionsvorschrift gefunden werden, mit welcher der Zerfall einer radioaktiven Probe modelliert werden kann. Im Abitur könnte folgende Aufgabe denkbar sein:

Aufgabe:

Leiten Sie begründet das Zerfallsgesetz für einen radioaktiven Zerfall her.

Für die Aktivität einer radioaktiven Probe gilt, dass die Aktivität proportional zum Bestand ist: \(A \sim N(t)\) mit \(A = - \frac{d N}{d t}\). Also gilt:

\[ - \frac{d N}{d t} = \lambda \cdot N(t)\]

Diese Gleichung ist eine Differentialgleichung, denn in der Gleichung steht die Funktion \(N(t)\) und gleichzeitig die Ableitung dieser Funktion \(\frac{d N}{d t} = N'(t)\).

\[ N'(t) = - \lambda \cdot N(t)\]

Eine Lösung dieser Gleichung ist eine Funktion, deren Ableitung bis auf einen konstanten Faktor gleich der Funktion selbst ist. Eine passende Funktion ist:

\[ (e^{k \cdot x})' = k \cdot e^{k \cdot x}\]

Damit haben wir eine geeignete Funktion für \(N(t)\) gefunden:

\[ N(t) = e^{- \lambda \cdot t}\]

denn

\[ N'(t) = - \lambda \cdot e^{- \lambda \cdot t}\]

Die gesuchte Funktion modelliert den Zerfall bereits richtig, gibt aber den Bestand der noch vorhandenen Atome relativ zum Startwert 1 an. Für einen beliebigen Startwert \(N_0\) gilt:

\[ N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t}\]

Der Test, ob die Differentialgleichung \(N'(t) = - \lambda \cdot N(t)\) erfüllt ist, gelingt mit dieser Funktion:

\[ N'(t) = - \lambda \cdot N_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t}\]

Damit ist \(N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t}\) eine geeignete Funktion, um den Zerfall eines radioaktiven Isotops zu modellieren, mit der Annahme, dass sich die Wahrscheinlichkeit für den Zerfall nicht ändert.


Die Halbwertszeit \(T_{ 1/2 }\)

Beim radioaktiven Zerfall interessieren sich Physiker für den Zeitraum, in dem genau die Hälfte der zu einem Zeitpunkt noch vorhandenen radioaktiven Atome zerfallen ist. Dieser Zeitraum wird Halbwertszeit \(T_{ 1/2 }\) genannt.

Aufgabe:

Leiten Sie begründet aus dem Zerfallsgesetz eine Formel für die Halbwertszeit \(T_{ 1/2 }\) her.

Nach der Halbwertszeit \(T_{ 1/2 }\) ist noch die Hälfte des ursprünglichen Bestands nicht zerfallen:

\[ N(t) = N_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t} \quad \text{mit} \quad N(T_{1/2}) = \tfrac{1}{2} \cdot N_0\]

Damit folgt:

\[ \begin{align} \tfrac{1}{2} \cdot N_0 &= N_0 \cdot e^{- \lambda \cdot t} \quad | : N_0 \\ \tfrac{1}{2} &= e^{- \lambda \cdot t} \quad | \, \ln \\ \ln(\tfrac{1}{2}) &= \ln(e^{- \lambda \cdot t})\\ \ln(2^{-1}) &= - \lambda \cdot t \cdot \ln(e) \quad | \, \ln(e) = 1\\ -1 \ln(2) &= - \lambda \cdot t \\ t &= \frac{\ln(2)}{\lambda} \end{align}\]

Damit hat ein radioaktiver Zerfall mit der Zerfallskonstanten \(\lambda\) die Halbwertszeit \(T_{ 1/2 }\):

\[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}\]