Elektronenstrahlerzeugung


Aufgabe:

Um in einer Elektronenstrahlröhre Experimente durchführen zu können, benötigt man einen gebündelten Elektronenstrahl.

Erklären Sie mit Hilfe geeigneter Skizzen, wie man einen gebündelten Elektronenstrahl erzeugen kann.

An einen dünnen Draht wird eine Heizspannung \(U_H\) von einigen Volt (z.B. \(6 \: V\)) angelegt, so dass dieser von einem Elektronenstrom der Stärke \(I_H\) durchströmt wird.

Abbildung 1

Die strömenden Elektronen geben durch Wechselwirkung Energie an die Drahtatome ab, die deswegen mit immer höherer Geschwindigkeit um ihre Ruhelage schwingen. Der Draht ist aus einem speziellen Material gebaut (z.B. Wolfram), so dass er in der evakuierten Elektronenstrahlröhre bei sehr hohen Temperaturen (\(> 2000 °C\)) zu glühen beginnt, ohne dabei zerstört zu werden.

In dem glühenden Draht wechselwirken einige der strömenden Elektronen zufällig so mit den Atomen, dass ihre kinetische Energie immer weiter zunimmt. Irgendwann haben diese Elektronen dann zufällig genügend Energie, um die Bindungskräfte des Metalls zu überwinden und den Draht zu verlassen. Da um den Glühdraht herum Vakuum herrscht, können sich die freien Elektronen bewegen ohne mit Luftatomen zu wechselwirken.

Die freien Elektronen sollen mit Hilfe einer Beschleunigungsspannung \(U_B\) nach rechts beschleunigt werden. Dazu legt man an den Glühdraht den negativen Pol der Beschleunigungsspannung und an eine weiter rechts angebrachte Metallscheibe den positiven Pol der Beschleunigungsspannung an. In der Metallscheibe ist mittig ein Loch, damit der Elektronenstrahl weiter nach rechts fliegen kann. Die mit einem Loch versehene positiv geladene Metallscheibe nennt man Lochanode.

Abbildung 2

Damit ein gebündelter Elektronenstrahl entsteht, umgibt man den Raum zwischen Glühdraht und Lochanode mit einem Metallzylinder, der negativ geladen wird und so die Elektronen von allen Seiten in Richtung Mitte abstößt. Damit konzentrieren sich die Elektronen in der Mitte und es entsteht ein gebündelter Elektronenstrahl.


Geschwindigkeit des Elektronenstrahls

Aufgabe:

Leiten Sie begründet eine Formel her, mit deren Hilfe die Beschleunigungsspannung \(U_B\) ermittelt werden kann, die notwendig ist, um die Elektronen im gebündelten Elektronenstrahl auf die Geschwindigkeit \(v\) zu beschleunigen.

(Abi 2008 eA NAI, 2009 eA NAI, 2010 eA AI, 2011 eA AII, 2011 eA NAII, 2012 eA AII, 2016 eA AI)

Beim Durchlaufen des elektrischen Felds, das durch die Beschleunigungsspannung \(U_B\) erzeugt wird, gewinnt das Elektron die kinetische Energie \(E_{kin}\). Diese Energie wird aus der Energie des elektrischen Felds \(E_{el}\) umgewandelt.

Es gilt also

\[ E_{el} = E_{kin}\]

mit \(E_{el} = U_B \cdot q\) und \(E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2\).

Einsetzen liefert:

\[ U_B \cdot q = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2\]

also

\[ U_B = \frac{m_e \cdot v^2}{2 \cdot q}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.


Aufgabe:

Für Elektronen, die mit einer Beschleunigungsspannung \(U_B\) beschleunigt wurden, gilt für deren Geschwindigkeit \(v\):

\[ v = \sqrt { \frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e} }\]

mit \(q\) = Ladung eines Elektrons, \(m_e\) = Masse eines Elektrons

Leiten Sie die Gleichung für die Geschwindigkeit \(v\) begründet her.

Beim Durchlaufen des elektrischen Felds, das durch die Beschleunigungsspannung \(U_B\) erzeugt wird, gewinnt das Elektron die kinetische Energie \(E_{kin}\). Diese Energie wird aus der Energie des elektrischen Felds \(E_{el}\) umgewandelt.

Es gilt also

\[ E_{kin} = E_{el}\]

mit \(E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2\) und \(E_{el} = U_B \cdot q\).

Einsetzen liefert:

\[ \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = U_B \cdot q \]

also

\[ \begin{align} \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 &= U_B \cdot q \\ v^2 &= \frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e} \\ v &= \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}} \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.