Elektronenstrahl im Kondensator

Eine Elektronenstrahlröhre ist wie folgt aufgebaut:

Abbildung 1

Nach der Erzeugung, Beschleunigung und Fokussierung wird der Elektronenstrahl in einem Ablenkkondensator in y-Richtung abgelenkt. Folgende Aufgaben sind in diesem Zusammenhang denkbar.


Aufgabe

Die Flugbahn eines Elektronenstrahls in einem Ablenkkondensator (siehe Abbildung 2), kann beschrieben werden durch die Formel

\[ y(x) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2\]

  • \(y(x)\) = \(y\)-Koordinate des Elektronenstrahls an der Stelle \(x\) im Ablenkkondensator
  • \(d\) = Abstand der Kondensatorplatten
  • \(U_y\) = Spannung zwischen den Platten des Ablenkkondensators
  • \(U_B\) = Beschleunigungsspannung zwischen Glühdraht und Lochanode in \(x\)-Richtung
  • \(x\) = \(x\)-Koordinate des Elektronenstrahls im Ablenkkondensator

Leiten Sie diese Formel begründet her.

Abbildung 2

Bewegung des Elektrons in x-Richtung:

Der Elektronenstrahl erreicht den Ablenkkondensator mit der Geschwindigkeit

\[ v_x = \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}}\]

im Punkt \(O(0/0)\) (Herleitung siehe Elektronenstrahlerzeugung). In \(x\)-Richtung wirkt auf das Elektron keine Kraft. Daher bewegt sich das Elektron in \(x\)-Richtung mit der konstanten Geschwindigkeit

\[ v_x = \frac{x}{t}\]

Zum Zeitpunkt \(t\) befindet sich das Elektron dann am Ort \(x = v_x \cdot t\).

Kraftwirkung auf das Elektron im Ablenkkondensator:

Innerhalb des Ablenkkondensators wird ein Elektron von der negativ geladenen Platte abgestossen und von der positiv geladenen Platte angezogen. In \(y\)-Richtung wirkt also die Kraft \(F_{el}\). Für die elektrische Feldstärke \(E\) gilt:

\[ E = \frac{F_{el}}{q}\]

mit \(q\) = Ladung eines Elektrons und damit

\[ F_{el} = q \cdot E\]

Die elektrische Feldstärke \(E\) kann mit Hilfe der Spannung \(U_y\) beschrieben werden:

\[ E = \frac{U_y}{d}\]

Also gilt insgesamt für die auf das Elektron wirkende elektrische Kraft \(F_{el}\) im Ablenkkondensator:

\[ F_{el} = q \cdot E = q \cdot \frac{U_y}{d}\]

oder

\[ F_{el} = \frac{U_y \cdot q}{d}\]

Bewegung in y-Richtung:

Aufgrund der in \(y\)-Richtung wirkenden Kraft \(F_{el}\), wird das Elektron in \(y\)-Richtung beschleunigt. Da sich die beschleunigende Kraft \(F_{el}\) innerhalb des Plattenkondensators nicht ändert, ist die Beschleunigung \(a_y\) des Elektrons in \(y\)-Richtung konstant und es gilt das Newtonsche Grundgesetz:

\[ F = m \cdot a\]

und hier speziell

\[ F_{el} = m_e \cdot a_y\]

Für die Beschleunigung \(a_y\) gilt also mit \(F_{el} = \frac{U_y \cdot q}{d}\):

\[ a_y = \frac{F_{el}}{m_e} = \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d}\]

Bei einer beschleunigten Bewegung in \(y\)-Richtung gilt für den Ort \(y\) (siehe Formelsammlung):

\[ y = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot t^2\]

ersetzt man \(a_y\) mit \(a_y = \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d}\), folgt:

\[ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot t^2\]

\(y\)-Ablenkung in Abhängigkeit vom Ort \(x\):

Aus \(v_x = \frac{x}{t}\) folgt

\[ t = \frac{x}{v_x}\]

Damit ersetzt man \(t\) in der Formel für die Auslenkung \(y\):

\[ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot \left( \frac{x}{v_x} \right) ^2 = \frac{U_y \cdot q}{2 \cdot m_e \cdot d \cdot v_x^2} \cdot x^2\]

Für die Geschwindkeit \(v_x\) wissen wir, dass gilt:

\[ v_x = \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}}\]

Damit wird das \(v_x\) in der Formel für die Auslenkung \(y\) ersetzt:

\[ \begin{align} \require{cancel} y &= \frac{U_y \cdot q}{2 \cdot m_e \cdot d \cdot \left( \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}} \right) ^2} \cdot x^2 \\ y &= \frac{U_y \cdot q}{2 \cdot m_e \cdot d \cdot \frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e} } \cdot x^2 \\ y &= \frac{U_y \cdot \cancel{q} \cdot \cancel{m_e}}{4 \cdot \cancel{m_e} \cdot d \cdot U_B \cdot \cancel{q}} \cdot x^2 \\ \end{align}\]

und schließlich:

\[ y(x) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.


Aufgabe

Es sei \(U_y\) als Spannung zwischen den Kondensatorplatten fest eingestellt. Bei einer hinreichend geringen Geschwindigkeit \(v_x\) in x-Richtung treffen die Elektronen auf eine der Kondensatorplatten, bevor sie den Kondensator verlassen können. Dabei ist \(x\) die x-Koordinate des Auftreffpunktes auf die Platte. Die Geschwindigkeit \(v_x\) ist abhängig von der Beschleunigungsspannung \(U_B\) zwischen der Glühkathode und der Lochanode. Für den Zusammenhang zwischen \(U_B\) und \(x\) gilt:

\[ U_B = \frac{U_y}{2 \cdot d^2} \cdot x^2\]

Leiten Sie diese Formel begründet her.

(Abi 2006 EA AI)

Im ersten Schritt muss folgende Formel hergeleitet werden (siehe oben).

\[ y(x) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2\]

Im zweiten Schritt setzt man für \(y\) den Wert \(y = \frac{d}{2}\) ein, da ein Elektron von der Mitte des Kondensators aus in y-Richtung die Strecke \(\frac{d}{2}\) fliegen muss, bevor es auf die Kondensatorplatte trifft.

Also gilt:

\[ \begin{align} \require{cancel} y(x) &= \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2 \\ \frac{d}{2} &= \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2 \\ U_B &= \frac{U_y \cdot 2}{4 \cdot d^2} \cdot x^2 \\ U_B &= \frac{U_y}{2 \cdot d^2} \cdot x^2 \\ \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.


Aufgabe

In einer Elektronenstrahlröhre liegt zwischen zwei Kondensatorplatten die Spannung \(U_y\) an. Der Elektronenstrahl wird zwischen den Kondensatorplatten so abgelenkt, dass er im Abstand \(s\) zur Kondensatormitte den Kondensator verlässt. Für die Ablenkung der Elektronen im elektrischen Feld des Plattenkondensators gilt dann:

\[ s = 0,5 \cdot \frac{e \cdot U_y \cdot l^2}{m_e \cdot d \cdot {v_x}^2} \]

mit
\(s\): Abstand des Austrittspunkts von der Mittelachse
\(e\): Elementarladung
\(m_e\): Elektronenmasse
\(U_y\): Spannung zwischen den Kondensatorplatten
\(l\): Länge der Kondensatorplatten
\(d\): Abstand der Kondensatorplatten
\(v_x\): Eintrittsgeschwindigkeit der Elektronen

Leiten Sie diese Formel begründet her.

(Abi 2015 eA AII)

Abbildung 4

Bewegung des Elektrons in x-Richtung:

In \(x\)-Richtung wirkt auf das Elektron keine Kraft. Daher bewegt sich das Elektron in \(x\)-Richtung mit der konstanten Geschwindigkeit

\[ v_x = \frac{x}{t}\]

Zum Durchfliegen des Plattenkondensators der Länge \(l\) benötigt das Elektron die Zeit \(t = \frac{l}{v_x}\).

Kraftwirkung auf das Elektron im Ablenkkondensator:

Innerhalb des Ablenkkondensators wird ein Elektron von der negativ geladenen Platte abgestossen und von der positiv geladenen Platte angezogen. In \(y\)-Richtung wirkt also die Kraft \(F_{el}\). Für die elektrische Feldstärke \(E\) gilt:

\[ E = \frac{F_{el}}{e}\]

mit \(e\) = Ladung eines Elektrons und damit

\[ F_{el} = e \cdot E\]

Die elektrische Feldstärke \(E\) zwischen den Kondensatorplatten kann mit Hilfe der am Kondensator anliegenden Spannung \(U_y\) beschrieben werden:

\[ E = \frac{U_y}{d}\]

Also gilt insgesamt für die auf das Elektron wirkende elektrische Kraft \(F_{el}\) im Ablenkkondensator:

\[ F_{el} = e \cdot E = e \cdot \frac{U_y}{d}\]

oder

\[ F_{el} = \frac{U_y \cdot e}{d}\]

Bewegung in y-Richtung:

Aufgrund der in \(y\)-Richtung wirkenden Kraft \(F_{el}\), wird das Elektron in \(y\)-Richtung beschleunigt. Da sich die beschleunigende Kraft \(F_{el}\) innerhalb des Plattenkondensators nicht ändert, ist die Beschleunigung \(a_y\) des Elektrons in \(y\)-Richtung konstant und es gilt das Newtonsche Grundgesetz:

\[ F = m \cdot a\]

und hier speziell

\[ F_{el} = m_e \cdot a_y\]

Für die Beschleunigung \(a_y\) gilt also mit \(F_{el} = \frac{U_y \cdot e}{d}\):

\[ a_y = \frac{F_{el}}{m_e} = \frac{U_y \cdot e}{m_e \cdot d}\]

Bei einer beschleunigten Bewegung in \(y\)-Richtung gilt für den Ort \(y\) (siehe Formelsammlung):

\[ y = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot t^2\]

ersetzt man \(a_y\) mit \(a_y = \frac{U_y \cdot e}{m_e \cdot d}\), folgt:

\[ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot e}{m_e \cdot d} \cdot t^2\]

In der Zeit \(t = \frac{l}{v_x}\) legt das Elektron in y-Richtung den Weg \(s\) zurück, also:

\[ \begin{align} s &= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot e}{m_e \cdot d} \cdot \left(\frac{l}{v_x} \right)^2 \\ s &= 0,5 \cdot \frac{U_y \cdot e \cdot l^2}{m_e \cdot d \cdot {v_x}^2} \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.


Aufgabe

Ein Elektronenstrahl durchfliegt einen Ablenkkondensator der Länge \(l\) mit dem Plattenabstand \(d\). Nachdem ein Elektron den Kondensator verlassen hat, fliegt es kräftefrei weiter, bis es auf einen Schirm im Punkt \(Q(x_Q/y_Q)\) auftrifft (siehe Abbildung 3). Für die \(x\)-Koordinate des Auftreffpunkts \(Q\) gilt offensichtlich \(x_Q = l + s\). Für die \(y\)-Koordinate von \(Q\) gilt:

\[ y_Q = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot (l^2 + 2 \cdot l \cdot s)\]

  • \(U_y\) = Spannung zwischen den Platten des Ablenkkondensators
  • \(U_B\) = Beschleunigungsspannung zwischen Glühdraht und Lochanode in \(x\)-Richtung
  • \(s\) = Abstand des Schirms vom Ablenkkondensator

Leiten Sie diese Formel begründet her.

Abbildung 3

Das Elektron erreicht den Ablenkkondensator im Punkt \(O(0/0)\). Nachdem es den Ablenkkondensator im Punkt \(R\) verlassen hat, fliegt es geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit weiter, denn es wirkt auf das Elektron keine Kraft mehr (idealisiert).

Es trifft im Punkt \(Q(x_Q/y_Q)\) auf den Schirm. Dabei ist \(x_Q = l + s\).

Auf dem Weg vom Ablenkkondensator zum Schirm (vom Kondensator zum Schirm = KS) legt das Elektron den Weg \(y_{\text{KS}}\) zurück. Insgesamt hat es also folgenden Weg in y-Richtung zurückgelegt:

\[ y_Q = y(l) + y_{\text{KS}}\]

Bestimmung von \(y_{KS}\):

Zwischen Ablenkkondensator und Schirm bewegt sich das Elektron mit der Geschwindigkeit \(v_x\) fort, da es zu keinem Zeitpunkt nach Verlassen der Lochanode in \(x\)-Richtung beschleunigt wurde. Bis zum Auftreffen auf den Schirm vergeht also die Zeit

\[ t_{\text{KS}} = \frac{s}{v_x}\]

Im Ablenkkondensator (Kondensator = K) wird das Elektron für die Zeit

\[ t_{\text{K}} = \frac{l}{v_x}\]

mit der Beschleunigung \(a_y\) beschleunigt (siehe obige Herleitung):

\[ a_y = \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d}\]

Beim Verlassen des Ablenkkondensators hat das Elektron also in \(y\)-Richtung die Geschwindigkeit \(v_y\):

\[ v_y = a_y \cdot t_{\text{K}} = \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot \frac{l}{v_x}\]

Auf dem Weg vom Ablenkkondensator zum Schirm legt das Elektron in \(y\)-Richtung also folgenden Weg zurück:

\[ y_{\text{KS}} = v_y \cdot t_{\text{KS}} = \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot \frac{l}{v_x} \cdot \frac{s}{v_x}\]

Setzt man jetzt für die Geschwindigkeit \(v_x = \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}}\) ein (siehe Herleitung zur Elektronenstrahlerzeugung), dann folgt:

\[ \begin{align} \require{cancel} y_{\text{KS}} &= \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot \frac{l}{v_x} \cdot \frac{s}{v_x} \\ &= \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d \cdot v_x^2} \cdot l \cdot s \\ &= \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d \cdot \left( \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}} \right)^2} \cdot l \cdot s \\ &= \frac{U_y \cdot \cancel{q}}{\cancel{m_e} \cdot d \cdot \left( \frac{2 \cdot U_B \cdot \cancel{q}}{\cancel{m_e}} \right) } \cdot l \cdot s \end{align}\]

Also legt das Elektron auf dem Weg vom Ablenkkondensator zum Schirm in \(y\)-Richtung folgenden Weg zurück:

\[ y_{\text{KS}} = \frac{U_y}{2 \cdot d \cdot U_B} \cdot l \cdot s\]

Bestimmung von \(y(l)\):

Innerhalb des Ablenkkondensators bewegt sich das Elektron beschleunigt in \(y\)-Richtung. Dabei gilt für die \(y\)-Koordinate in Abhängigkeit vom Ort \(x\) (Herleitung siehe oben):

\[ y(x) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2\]

Wenn die Ablenkspannung \(U_y\) so eingestellt wird, dass ein Elektron den Ablenkkondensator verlassen kann ohne auf einer der Kondensatorplatten aufzutreffen, gilt für die \(y\)-Koordinate an der Stelle \(x = l\):

\[ y(l) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot l^2\]

  • \(d\) = Abstand der Kondensatorplatten
  • \(U_y\) = Spannung zwischen den Platten des Ablenkkondensators
  • \(U_B\) = Beschleunigungsspannung zwischen Glühdraht und Lochanode in \(x\)-Richtung
  • \(l\) = Länge des Ablenkkondensators

Bestimmung des insgesamt zurückgelegten Wegs \(y_Q\) in \(y\)-Richtung:

Der insgesamt in \(y\)-Richtung zurückgelegte Weg \(y_Q\) ist die Summe aus \(y(l)\) und \(y_{\text{KS}}\):

\[ y_Q = y(l) + y_{\text{KS}}\]

mit

\[ y(l) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot l^2\]

und

\[ y_{\text{KS}} = \frac{U_y}{2 \cdot d \cdot U_B} \cdot l \cdot s\]

Setzt man diese Ausdrücke in die Summe \(y_Q = y(l) + y_{\text{KS}}\) ein, folgt:

\[ \begin{align} y_Q &= \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot l^2 + \frac{U_y}{2 \cdot d \cdot U_B} \cdot l \cdot s \\ &= \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot \left(l^2 + 2 \cdot l \cdot s \right) \end{align}\]

Also

\[ y_Q = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot \left(l^2 + 2 \cdot l \cdot s \right)\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.