Kapazität

Aufgabe:

In einem Kondensator ist die eine Hälfte mit einem Material der Materialkonstante \(\epsilon_1\) und die andere Hälfte mit einem Material der Materialkonstante \(\epsilon_2\) gefüllt ist. Für die beiden Materialkonstanten gilt bei dieser Versuchsanordnung folgender Zusammenhang:

\[ \epsilon_1 = \frac{2 \cdot C \cdot d}{A \cdot \epsilon_0} - \epsilon_2\]

Leiten Sie diese Gleichung begründet her. Sie können dabei verwenden, dass für die Parallelschaltung zweier Kondensatoren gilt: \(C = C_1 + C_2\).

(Abi 2016 eA AI)

Abbildung 1

Der jeweils zur Hälfte mit einem anderen Material gefüllte Kondensator kann als Parallelschaltung zweier Kondensatoren aufgefasst werde. Für die Gesamtkapazität zweier parallelgeschalteter Kondensatoren gilt: \(C = C_1 + C_2\).

Für die Kapazität eines Kondensators der Fläche \(A\) mit dem Plattenabstand \(d\) gilt:

\[ C = \epsilon_0 \cdot \epsilon_r \cdot \frac{A}{d}\]

Die beiden Teilkondensatoren haben jeweils den Flächeninhalt \(\tfrac{A}{2}\), so dass für die Gesamtkapazität \(C\) gilt:

\[ \begin{align} C &= C_1 + C_2 = \epsilon_0 \cdot \epsilon_1 \cdot \frac{\tfrac{A}{2}}{d} + \epsilon_0 \cdot \epsilon_2 \cdot \frac{\tfrac{A}{2}}{d} \\ C &= \frac{\epsilon_0 \cdot \epsilon_1 \cdot A}{2 \cdot d} + \frac{\epsilon_0 \cdot \epsilon_2 \cdot A}{2 \cdot d} \\ C &= \frac{\epsilon_0 \cdot A}{2 \cdot d} \cdot (\epsilon_1 + \epsilon_2) \\ \epsilon_1 &= \frac{2 \cdot C \cdot d}{A \cdot \epsilon_0} - \epsilon_2 \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.