Ladung im Kondensator


Aufgabe:

Der Aufladevorgang eines Kondensators kann mit folgenden Formeln beschrieben werden:

Ladung \(Q(t)\) auf den Kondensatorplatten:

\[ Q(t) = Q_0 \cdot \left(1 - e^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \right)\]

Stromstärke \(I(t)\) im Stromkreis:

\[ I(t) = I_{0} \cdot e^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Spannung \(U_C(t)\) am Kondensator:

\[ U_C(t) = U_0 \cdot \left(1 - e^{-\frac{1}{R \cdot C}\cdot t} \right)\]

Leiten Sie diese Formeln begründet her.

Abbildung 1

An eine Spannungsquelle mit der Spannung \(U_0\) sind ein Kondensator mit der Kapazität \(C\) und ein ohmscher Widerstand mit dem Widerstandswert \(R\) wie in obenstehender Skizze angeschlossen.

Erläuterung des physikalischen Vorgangs

Kondensator-Aufladung
Die Kondensatorplatte, welche am negativen Pol der Gleichspannungsquelle angeschlossen ist, ist zu Beginn des Aufladevorgangs elektrisch neutral. Nachdem der Schalter geschlossen wurde, stößt der negative Pol der Ladungsquelle Elektronen ab und "pumpt" diese auf die angeschlossene Kondensatorplatte. Je mehr Elektronen auf der zunehmend negativeren Platte vorhanden sind, desto mehr stoßen sich diese voneinander ab. Irgendwann sind dann so viele Elektronen auf der negativ geladenen Platte, dass die abstoßenden Kräfte der Elektronen auf der Kondensatorplatte gleich groß sind, wie die abstoßenden Kräfte der Spannungsquelle. Sobald dieses Kräftegleichgewicht erreicht ist, ist die maximale Kondensator-Ladung \(Q_0\) und die maximale Kondensator-Spannung \(U_0\), die der von aussen anliegenden Spannung entspricht, erreicht. Die Stromstärke \(I\) ist am Anfang des Aufladevorgangs am größten, da die Elektronen maximal von der Spannungsquelle abgestoßen werden, aber noch keine Gegenkraft von der noch neutralen Kondensatorplatte erfahren. Je größer die Anzahl der Elektronen auf der Kondensatorplatte wird, desto größer wird die abstoßende Kraft und die Stromstärke des Aufladestroms sinkt.

Für die am positiven Pol der Spannungsquelle angeschlossene Kondensatorplatte kann die Argumentation analog erfolgen, mit dem Unterschied, dass jetzt Anziehungskräfte auf die Elektronen wirken.

Der Widerstand \(R\) begrenzt die Stromstärke \(I\) des Aufladestroms wegen \(U = R \cdot I\), also \(I = \frac{U}{R}\).

Kondensator-Entladung
Die Kondensatorplatte, welche am negativen Pol der Gleichspannungsquelle angeschlossen ist, ist zu Beginn des Entladevorgangs mit der Ladung \(Q_0\) maximal geladen. Die angeschlossene Spannungsquelle verhindert einen Ladungsausgleich. Legt man den Schalter so um, dass der Kondensator von der Spannungsquelle getrennt wird (Abbildung zur Kondensator-Entladung) und die beiden Kondensator-Platten leitend verbunden sind, beginnt der Entladungsvorgang. Die Elektronen der negativen Kondensatorplatte stossen sich gegenseitig ab und werden von den Protonen der positiv geladenen Kondensatorplatte angezogen. Die Elektronen fließen solange von der negativ geladenen Kondensatorplatte zur positiv geladenen, bis beide Platten elektrisch neutral sind und die resultierenden abstoßenden und anziehenden Kräfte auf die Elektronen verschwinden.

Die Stromstärke \(I\) ist am Anfang des Entladungsvorgangs am größten, da die Elektronen maximal von der negativ geladenen Kondensatorplatte abgestoßen und maximal von der positiv geladenen Kondensatorplatte angezogen werden. Je geringer die Anzahl der überschüssigen Elektronen auf der negativ geladenen Kondensatorplatte wird und je geringer die Anzahl der fehlenden Elektronen auf der positiv geladenen Kondensatorplatte ist, desto geringer wird die Stromstärke \(I\) des Entladestroms.

Auch hier begrenzt der Widerstand \(R\) die Stromstärke \(I\) des Entladestroms wegen \(U = R \cdot I\), also \(I = \frac{U}{R}\).

Mathematische Herleitung der Formeln

Die konstante Spannung \(U_0\) des Spannungsgeräts teilt sich auf in die Kondensatorspannung \(U_C\) (die wegen der Ladungstrennung entsteht) und die über dem ohmschen Widerstand abfallende Spannung \(U_R\) (Spannung = Energie pro Ladung. Solange ein Strom \(I\) durch den ohmschen Widerstand fließt, wandelt dieser elektrische Energie in Wärmeenergie um, daher misst man während der Kondensatoraufladung und Kondensatorentladung einen Spannungsabfall über dem Widerstand):

\[ U_C + U_R = U_0\]

Spannung am Kondensator
Für die Kapazität eines Kondensators gilt: \(C = \frac{Q}{U_C}\), also gilt für die Spannung \(U_C\) am Kondensator: \(U_C = \frac{Q}{C}\). Die Kapazität des Kondensators ist eine Konstante, beim Auflade- bzw. Entladevorgang ändert sich die Spannung und die Ladung in jedem Moment. Daher beschreibt man den zeitlichen Verlauf der Spannung \(U_C(t)\) am Kondensator wie folgt:

\[ U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}\]

Spannungsabfall über dem Widerstand
Der Widerstand wandelt elektrische Energie in Wärmeenergie um, daher erfahren die Elektronen einen Energieverlust, der um so höher ist, je größer die Stromstärke am Widerstand ist. Für den Spannungsabfall am Widerstand gilt: \(U_R = R \cdot I\). Der Widerstand im Versuch soll ein ohmscher Widerstand sein, dessen Widerstandswert bei verschiedenen Stromstärken konstant ist. Die Stromstärke \(I\) ändert sich während des Auflade- bzw. Entladevorgangs in jedem Moment. Daher beschreibt man den zeitlichen Verlauf des Spannungsabfalls am Widerstand wie folgt:

\[ U_R(t) = R \cdot I(t)\]

Die Stromstärke kann als zeitliche Änderung der Ladung am Kondensator beschrieben werden: \(I(t) = \frac{dQ(t)}{dt}\), also gilt für den Spannungsabfall am Widerstand \(U_R(t) = R \cdot \frac{dQ(t)}{dt} = R \cdot \dot{Q(t)}\). Dabei ist \(\frac{dQ(t)}{dt}\) die zeitliche Ableitung der Funktion \(Q(t)\).

Aufladevorgang
Während des Aufladevorgangs wird die von der Spannungsquelle bereitgestellte Spannung auf den Kondensator und den Widerstand aufgeteilt: \(U_C(t) + U_R(t) = U_0\). Weiter gilt:

\[ U_C(t) + U_R(t) = \frac{Q(t)}{C} + R \cdot \frac{dQ(t)}{dt} = U_0\]

Teilt man diese Gleichung durch \(R\), folgt:

\[ \frac{1}{R \cdot C} \cdot Q(t) + \frac{dQ(t)}{dt} = \frac{U_0}{R}\]

Diese Gleichung ist eine Differentialgleichung, denn in der Gleichung steht \(Q(t)\) und die Ableitung dieser Funktion \(\frac{dQ(t)}{dt}\). Wir suchen eine Funktion für \(Q(t)\), so dass die linke und rechte Seite der Differentialgleichung gleich ist, wenn man die Funktion einsetzt.

Eine geeignete Funktion kann man nicht direkt berechnen. Vielmehr muss man mit Hilfe mathematischer Erfahrung aus der Vielfalt der bekannten Funktionen eine heraussuchen, welche die vorliegende Gleichung erfüllen könnte. Ein geeigneter Kandidat ist die e-Funktion, da bei der e-Funktion die Funktion und ihre Ableitung bis auf Faktoren übereinstimmen. Wenn man mit dieser Einsicht einige Funktionen komponiert und in die Differentialgleichung einsetzt, findet man mit \(Q_0\) als Ladung des Kondensators nach vollständiger Aufladung bei der von aussen anliegenden Spannung \(U_0\) folgende Lösungsfunktion:

\[ Q(t) = Q_0 \cdot \left( 1 - e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \right)\]

Probe:

\[ \frac{dQ(t)}{dt} = Q'(t) = Q_0 \cdot \left(0 - \left(- \frac{1}{R \cdot C} \right) \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \right) = \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Einsetzen:

\[ \begin{align} \frac{1}{R \cdot C} \cdot Q(t) + \frac{dQ(t)}{dt} &= \frac{U_0}{R} \\ \frac{1}{R \cdot C} \cdot Q_0 \cdot \left( 1 - e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \right) + \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} &= \frac{U_0}{R} \\ \frac{ Q_0}{R \cdot C} - \frac{ Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} + \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} &= \frac{U_0}{R} \\ \frac{ Q_0}{R \cdot C} &= \frac{U_0}{R} \\ \frac{U_0}{R} &= \frac{U_0}{R} \end{align}\]

Damit ist \(Q(t) = Q_0 \cdot \left( 1 - e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \right)\) eine geeignete Funktion, um die zeitliche Veränderung der Ladung auf dem Kondensator während des Aufladevorgangs zu beschreiben.

Die Stromstärke \(I(t)\) ist die zeitliche Änderung der Ladung \(Q(t)\). Mit \(U_0 = \frac{Q_0}{C}\) und \(I_0 = \frac{U_0}{R}\) folgt:

\[ I(t) = \frac{dQ(t)}{dt} = Q'(t) = \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = \frac{U_0}{R} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = I_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Für die Spannung \(U_C\) am Kondensator gilt: \(U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}\), also:

\[ U_C(t) = \frac{Q_0 \cdot \left( 1 - e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \right)}{C} = U_0 \cdot \left( 1 - e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \right)\]

Damit sind alle Formeln erfolgreich hergeleitet worden.


Aufgabe:

Der Entladevorgang eines Kondensators kann mit folgenden Formeln beschrieben werden:

Ladung \(Q(t)\) auf den Kondensatorplatten:

\[ Q(t) = Q_0 \cdot e^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Stromstärke \(I(t)\) im Stromkreis:

\[ I(t) = - I_{0} \cdot e^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Spannung \(U_C(t)\) am Kondensator:

\[ U_C(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{1}{R \cdot C}\cdot t}\]

Leiten Sie diese Formeln begründet her.

(Abi 2011 eA NAI)

Mathematische Herleitung der Formeln

Entladevorgang
Während des Entladevorgangs liegt keine Spannung von aussen an, so dass \(U_0 = 0\) und es gilt:

\[ U_C(t) + U_R(t) = \frac{Q(t)}{C} + R \cdot \frac{dQ(t)}{dt} = 0\]

Teilt man diese Gleichung durch \(R\), entsteht folgende Differentialgleichung:

\[ \frac{1}{R \cdot C} \cdot Q(t) + \frac{dQ(t)}{dt} = 0\]

Eine mögliche Lösungsfunktion ist:

\[ Q(t) = Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Probe:

\[ \frac{dQ(t)}{dt} = Q'(t) = Q_0 \cdot \left(- \frac{1}{R \cdot C} \right) \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Einsetzen:

\[ \begin{align} \frac{1}{R \cdot C} \cdot Q(t) + \frac{dQ(t)}{dt} &= 0 \\ \frac{1}{R \cdot C} \cdot Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} &= 0 \\ \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} &= 0 \\ 0 &= 0 \end{align}\]

Damit ist \(Q(t) = Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\) eine geeignete Funktion, um die zeitliche Veränderung der Ladung auf dem Kondensator während des Entladevorgangs zu beschreiben.

Die Stromstärke \(I(t)\) ist die zeitliche Änderung der Ladung \(Q(t)\). Mit \(U_0 = \frac{Q_0}{C}\) und \(I_0 = \frac{U_0}{R}\) folgt:

\[ I(t) = \frac{dQ(t)}{dt} = Q'(t) = - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = - \frac{U_0}{R} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = - I_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Für die Spannung \(U_C\) am Kondensator gilt: \(U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}\), also:

\[ U_C(t) = \frac{Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}}{C} = U_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Damit sind alle Formeln erfolgreich hergeleitet worden.


Aufgabe:

Für die Halbwertszeit \(t_H\) beim Entladungsvorgang eines Kondensators gilt die Gleichung: \(t_H = R \cdot C \cdot ln(2)\).

Leiten Sie diese Gleichung mit Begründung her.

Für die Ladung \(Q(t)\) auf dem Kondensator gilt während des Entladungsvorgangs:

\[ Q(t) = Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Nach der Halbwertszeit \(t_H\) ist noch die Hälfte der Ladung auf den Kondensatorplatten vorhanden. Dabei gilt:

\[ Q(t_H) = \tfrac{1}{2} \cdot Q_0\]

Setzt man \(\tfrac{1}{2} \cdot Q_0\) für die Ladung \(Q(t_H)\) ein, folgt:

\[ \begin{align} Q(t) &= Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \\ Q(t_H) &= Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t_H} \\ \tfrac{1}{2} \cdot Q_0 &= Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t_H} \; | \; : Q_0 \\ \tfrac{1}{2} &= e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t_H} \; | \; \ln\\ \ln \left( \tfrac{1}{2} \right) &= \ln \left(e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t_H} \right) \\ \ln \left( 2^{-1} \right) &= - \frac{1}{R \cdot C} \cdot t_H \\ t_H &= - R \cdot C \cdot \ln \left( 2^{-1} \right) \\ t_H &= - R \cdot C \cdot (-1 \cdot \ln(2)) \\ t_H &= R \cdot C \cdot \ln(2) \end{align}\]

Damit ist die Formel erfolgreich hergeleitet worden.