Energie in Spule

Aufgabe:

In einer Spule der Induktivität \(L\) wird bei einer Stromstärke \(I\) die magnetische Energie mit:

\[ E_{mag} = {1 \over 2} \cdot L \cdot {I^2}\]

gespeichert. Leiten Sie diese Formel begründet her.

Eine Glühbirne wird parallel zu einer Spule mit Eisenkern geschaltet. Wenn der Schalter geschlossen ist, fließen durch Spule und Glühbirne ein elektrischer Strom der durch die angelegte Spannungsquelle bewirkt wird.

Öffnet man den Schalter, dann fließt im Teilstromkreis von Glühbirne und Spule weiterhin ein elektrischer Strom. Die Energie, welche nach Schalteröffnung das Lämpchen zum Leuchten bringt, muss aus dem Magnetfeld der Spule stammen.

Quelle: Iain Sharp


Erklärung und Herleitung:

Aufgrund des elektrischen Stromflußes \(I\) hat sich in der Spule ein Magnetfeld \(B\) mit

\[ B = \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{N \cdot I}{l}\]

aufgebaut. Sobald der Schalter betätigt wird, ist die Spannungsquelle vom Stromkreis abgetrennt und die Stromstärke beginnt zu sinken. Damit wird das Magnetfeld in der Spule schwächer. Aufgrund des abnehmenden Magnetfelds wird in der Spule eine Selbstinduktionsspannung, die im Laufe der Zeit kleiner wird, induziert:

\[ U_\text{ind}(t) = - N \cdot \frac{d B}{d t} \cdot A = - \mu_0 \cdot \mu_r \cdot \frac{ N^2 \cdot A }{l} \cdot \frac{d I(t)}{d t} = - L \cdot \frac{d I(t)}{d t} \]

Solange eine Selbstinduktionsspannung induziert wird, erbringt die Spule die elektrische Leistung:

\[ P_{el} = U_{ind} \cdot I\]

oder genauer, da sich alle Größen im Laufe der Zeit verändern:

\[ P_{el}\left( t \right) = U_{ind}\left( t \right) \cdot I\left( t \right)\]

Ersetzt man die induzierte Spannung \(U_{ind}\) mit der Formel für die Selbstinduktion \(U_{ind}\left( t \right)=-L \cdot \frac{{dI(t)}}{{dt}} \), folgt:

\[ P_{el}\left( t \right) = -L \cdot \frac{{dI(t)}}{{dt}} \cdot I\left( t \right)\]

Die vor dem Abtrennen der Spannungsquelle in der Spule gespeicherte magnetische Energie sei \(E_0\) und die Energie, welche nach außen abgegeben wird (Wärmeenergie und Lichtenergie) sei \(E(t)\). Die in der Spule zum Zeitpunkt \(t\) vorhandene magnetische Energie sei \(E_{mag}\left( t \right)\).

Aufgrund des Energieerhaltungssatzes gilt dann:

\[ E_0 = E_{mag}\left( t \right) + E(t) \qquad \text{oder} \qquad E_{mag}\left( t \right) = E_0 - E(t)\]

Bildet man die Ableitung dieser Gleichung, dann folgt, da die Ableitung des konstanten Werts \(E_0\) Null ist:

\[ \frac{{d{E_{mag}}\left( t \right)}}{{dt}} = - \frac{{dE\left( t \right)}}{{dt}}\]

Die zeitliche Änderung der Energie ist die Leistung, die ein elektrisches Gerät erbringt, denn die elektrische Leistung \(P\) eines Elektrogeräts ist die Umwandlung der dem Gerät zugeführten elektrischen Energie pro Sekunde in eine andere Energieform (Licht, Wärme, Bewegung,...). Also gilt:

\[ \frac{{dE\left( t \right)}}{{dt}} = P_{el}\left( t \right)\]

Damit folgt für die magnetische Energie in der Spule:

\[ \frac{{d{E_{mag}}\left( t \right)}}{{dt}} = - P_{el}\left( t \right) = - \left( - L \cdot \frac{{dI\left( t \right)}}{{dt}} \cdot I\left( t \right) \right) = L \cdot \frac{{dI\left( t \right)}}{{dt}} \cdot I\left( t \right)\]

und damit

\[ \frac{{d{E_{mag}}\left( t \right)}}{{dt}} = L \cdot I\left( t \right) \cdot \frac{{dI\left( t \right)}}{{dt}} \]

Diese Gleichung ist eine Differenzialgleichung. Gesucht ist eine Funktion \({E_{mag}}\left( t \right)\), deren Ableitung die Form der rechten Seite dieser Differenzialgleichung hat. Die Kettenregel hilft bei der Suche und die folgende Funktion erfüllt die Differenzialgleichung:

\[ {E_{mag}}\left( t \right) = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot L \cdot \left(I\left( t \right) \right) ^2\]

In kurzer Schreibweise:

\[ {E_{mag}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot L \cdot I^2\]

Probe:

\[ \frac{d \left({\textstyle{1 \over 2}} \cdot L \cdot \left(I\left( t \right) \right) ^2 \right) }{d t} = 2 \cdot {\textstyle{1 \over 2}} \cdot L \cdot I(t) \cdot \dot {I(t)} = L \cdot I(t) \cdot \frac{{dI\left( t \right)}}{{dt}}\]

Damit ist die Differenzialgleichung gelöst und die Formel wurde begründet hergeleitet.