Hallsonde

Aufgabe:

Mit einer Hall-Sonde kann man die Stärke eines Magnetfelds messen. Für den Zusammenhang zwischen der Hallspannung \(U_H\) und der Magnetfeldstärke \(B\) gilt:

\[ U_H = R_H \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\]

mit \(R_H = \frac{1}{n \cdot e}\) = Hallkonstante des Materials, \(n = \frac{N}{V}\) = Ladungsträgerdichte, \(I_H\) = Stromstärke in der Hallsonde, \(d\) = Tiefe der Hallsonde.

Leiten Sie diese Formel begründet her.

(Abi 2007 eA AI, Abi 2010 eA AII, 2012 eA AII, Abi 2013 eA AI, 2014 eA AI, 2017 eA AI))

Halleffekt

Ein Elektron mit der Ladung \(e\) bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v\) senkrecht zum Magnetfeld der Stärke \(B\) durch die Hallsonde. Dabei wirkt auf das Elektron die Lorentzkraft \(F_L\) mit

\[ F_L = e \cdot v \cdot B\]

Betrachtet man alle fließenden Elektronen, so bewirkt die Lorentzkraft eine Verschiebung der sich bewegenden Elektronen in der Hallsonde je nach Orientierung des Magnetfelds und der Fließrichtung nach oben bzw. unten. In der abgebildeten Slizze fließen aufgrund der Ladungsverschiebung unten mehr Elektronen pro Volumenelement durch die Hallsonde als oben und es entsteht ein elektrisches Feld. Die Verschiebung der Elektronen geschieht solange, bis die auf ein Elektron wirkende elektrische Feldkraft \(F_{el}\) und die entgegengesetzt gerichtete Lorentzkraft \(F_L\) vom Betrag gleich sind. In der Hallsonde bildet sich eine Hallspannung \(U_H\) aus, die zwischen dem oberen und unteren Ende der Hallsonde gemessen werden kann. Da Lorentzkraft \(F_L\) und elektrische Feldkraft \(F_\text{el}\) im Gleichgewicht sind, ist das elektrische Feld in der Hallsonde homogen und es gilt für die elektrische Feldstärke \(E\) des elektrischen Felds: \(E = \frac{U_H}{b}\) und \(E = \frac{F_{el}}{e}\).

\[ \begin{align} F_L &= F_{el} \\ e \cdot v \cdot B &= e \cdot \frac{U_H}{b} \\ U_H &= b \cdot v \cdot B \end{align}\]

Die Geschwindigkeit \(v\) der Elektronen ist keine Messgröße. Die Formel soll so weiter entwickelt werden, dass nur Messgrößen enthalten sind.

Es sei \(N\) die Anzahl der in der Hallsonde vorhandenen Elektronen. Für die Durchquerung der Hallsonde benötigt ein Elektron die Zeit \(t\). Während dieser unbekannten Zeit werden alle Elektronen in der Hallsonde einmal ausgetauscht, so dass sich während der Zeit \(t\) genau \(N\) Elektronen durch die Hallsonde bewegen. Für den Strom \(I_{H}\) gilt dann:

\[ \begin{align} I_{H} &= \frac{N \cdot e}{t} \\ t &= \frac{N \cdot e}{I_{H}} \end{align}\]

Für die Geschwindigkeit \(v\) gilt mit \(s\) als Länge der Hallsonde:

\[ v = \frac{\text{Weg}}{\text{Zeit}} = \frac{s}{t} = \frac{s}{\frac{N \cdot e}{I_H}} = \frac{s \cdot I_H}{N \cdot e}\]

Setzt man diesen Ausdruck für die Geschwindigkeit \(v\) in die Formel für die Hallspannung \(U_H\) ein, so folgt:

\[ U_H = b \cdot \frac{s \cdot I_{H}}{N \cdot e} \cdot B\]

Mit einem mathematischen Trick kann die Ladungsträgerdichte \(n = \frac{N}{V}\) in die Formel gebracht werden. Das Volumen der Hallsonde ist \(V = b \cdot s \cdot d\). Man erweitert den Bruch mit \(\frac{d}{d}\) und ersetzt den Quotienten \(\frac{N}{V}\) dann mit \(n\).

\[ \begin{align} U_H &= b \cdot \frac{s \cdot I_{H}}{N \cdot e} \cdot B\\ &= \frac{b \cdot s \cdot d}{N \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\ &= \frac{V}{N \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\ &= \frac{1}{n \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\ &= R_H \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d} \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.


Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für die Stromstärke \(I_H\) in einer Hallsonde mit der Querschnittsfläche \(A = b \cdot d\) die folgende Beziehung gilt:

\[ I_H = e \cdot n \cdot v \cdot b \cdot d\]

mit \(n\) = Ladungsträgerdichte, \(e\) = Elementarladung.

(Abi 2013 eA AI)

Halleffekt

Für die Stromstärke \(I_H\) in der Hallsonde gilt:

\[ I_H = \frac{Q}{t} = \frac{N \cdot e}{t}\]

mit \(N\) = Anzahl Elektronen die in der Zeit \(t\) durch die Hallsonde fließen.

Für die Driftgeschwindigkeit \(v\) der Elektronen in der Hallsonde gilt: \(v = \frac{s}{t}\), wobei \(s\) die Länge der Hallsonde ist. Für die Zeit \(t\), die ein Elektron zum Durchfließen der Hallsonde benötigt, gilt \(t = \frac{s}{v}\).

Das Volumen der Hallsonde ist \(V = s \cdot d \cdot b\), mit \(s\) = Länge, \(d\) = Höhe und \(b\) = Breite der Hallsonde.

Die Ladungsträgerdichte \(n\) in der Hallsonde ist \(n = \frac{N}{V}\).

Für die Stromstärke \(I\) in der Hallsonde gilt dann insgesamt:

\[ \begin{align} I &= \frac{Q}{t} = \frac{N \cdot e}{t} = \frac{N \cdot e}{\frac{s}{v}}\\ I &= \frac{N \cdot e \cdot v}{s} \\ I &= \frac{n \cdot V \cdot e \cdot v}{s} = \frac{n \cdot s \cdot d \cdot b \cdot e \cdot v}{s} \\ I &= n \cdot d \cdot b \cdot e \cdot v \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.