Analyse der Messtabelle


Bevor Sie eine Regression durchführen können, müssen Sie zuerst eine geeignete Regressionsmethode auswählen.

Dazu sollten Sie immer zuerst ein Schaubild auf Basis der gegebenen Messwerte anfertigen oder sich digital anzeigen lassen. Wenn Sie die Form des Graphen sehen, können Sie oft die richtige Methode vermuten. Bei manchen Funktionstypen haben die Messwerte auch Eigenschaften, die rechnerisch überprüft werden können.

Wenn Sie sich für eine Regressionsmethode entschieden und diese durchgeführt haben, sollten Sie auf jeden Fall den Graphen der gefundenen Funktion über die Messwerte legen, um zu prüfen, ob der Graph der gefundenen Funktion zu den Messwerten passt. Falls die Abweichungen zu groß sind, sollten Sie die Regression mit einer anderen Methode wiederholen.

Im folgenden werden die Funktionstypen vorgestellt, die häufig im Physik-Abitur im Zusammenhang mit Messwertanalysen vorkommen. Prägen Sie sich die Form des Graphen und den dazugehörigen Funktionsterm ein, dann fällt Ihnen sie Entscheidung für eine geeignete Regressionsmethode leichter.


Proportionalität

Messtabelle
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 11 23 32 42 55 67 76 89

Der Graph einer Proportionalität ist eine Ursprungsgerade.

Abbildung 1

Funktionsterm: \(\:\:\: y = k \cdot x \:\:\:\)

Rechnerisch überprüfbare Eigenschaft:
Für eine Proportionalität gilt, dass der Quotient der Werte eines Wertepaars in guter Näherung konstant ist. Aus \(\:\:\: y = k \cdot x \:\:\:\) folgt \(\:\:\: k = \frac{y}{x} = const\).

Überprüfung anhand der Messtabelle:

Messtabelle
x 1 2 3 4 5 6 7 8
y 11 23 32 42 55 67 76 89
\(k = \frac{y}{x}\) 11 11,5 10,7 10,5 11 11,2 10,9 11,1

Der Wert von \(k\) schwankt um \(11\) und ist in guter Näherung konstant.

Geeignete Regressionsmethode:
Trendlinie(L) (Geogebra) bzw. LinReg (GTR) mit \(y = a \cdot x + b\).

Da die Zielfunktion eine Proportionalität sein soll, gehört der Ursprung \(O(0/0)\) mit zu den Wertepaaren, die für die Regression berücksichtigt werden. Geogebra bzw. GTR liefert dann:

\[ y = 11,03 \cdot x -0,24\]

Der y-Achsenabschnitt wird weggelassen, damit die Zielfunktion eine Proportionalität ist. Also gilt in guter Näherung:

\[ y = 11 \cdot x\]


Lineare Funktion

Messtabelle
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3,0 3,5 4,0
y -1,54 -1,22 -0,91 -0,62 -0,38 -0,19 0,11 0,40 0,72

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Abbildung 2

Funktionsterm: \(\:\:\: y = k \cdot x + b\:\:\:\)

Rechnerisch überprüfbare Eigenschaft:
Für eine lineare Funktion gilt, dass der Quotient aus der Differenz zweier y-Werte und der Differenz zweier x-Werte in guter Näherung konstant ist: \(\:\:\: y = k \cdot x + b \:\:\:\) mit \(\:\:\: k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\).

Überprüfung anhand von Werten aus der Messtabelle:

\[ \begin{align} &k_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1,22 - (-1,54)}{0,5 - 0} = 0,64 \\ &k_2 = \frac{-0,62 - (-1,22)}{1,5 - 0,5} = 0,6 \\ &k_3 = \frac{0,11 - (-0,91)}{3 - 1} = 0,51 \\ &k_4 = \frac{0,40 - (-1,22)}{3,5 - 0,5} = 0,54 \\ &k_4 = \frac{0,72 - (-0,19)}{4 - 2,5} = 0,61 \end{align}\]

Der Wert von \(k\) schwankt um \(0,55\) und ist in guter Näherung konstant.

Geeignete Regressionsmethode:
Trendlinie(L) (Geogebra) bzw. LinReg (GTR) mit \(y = a \cdot x + b\).

Geogebra bzw. GTR liefert:

\[ y = 0,55 \cdot x -1,49\]


Antiproportionalität

Messtabelle
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 9,8 4,8 3,2 2,5 2,0 1,6 1,4 1,3 1,1

Der Graph einer Antiproportionalität ist eine Hyperbel.

Abbildung 3

Funktionsterm: \(\:\:\: y = k \cdot \frac{1}{x}\)

Rechnerisch überprüfbare Eigenschaft:
Für eine Antiproportionalität gilt, dass das Produkt der Werte eines Wertepaars in guter Näherung konstant ist: \(\:\:\: y = k \cdot \frac{1}{x} \:\:\:\) also \(\:\:\: k = y \cdot x\).

Überprüfung anhand der Messtabelle:

Messtabelle
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 9,8 4,8 3,2 2,5 2,0 1,6 1,4 1,3 1,1
\(k = y \cdot x\) 9,8 9,6 9,6 10,0 10,0 9,6 9,8 10,4 9,9

Der Wert von \(k\) schwankt um \(9,8\) und ist in guter Näherung konstant. Wegen

\[ y = k \cdot \frac{1}{x} = k \cdot x^{-1}\]

kann eine Antiproportionalität als Potenzfunktion mit dem Exponenten \(-1\) aufgefasst werden.

Geeignete Regressionsmethode:
TrendPot(L) (Geogebra) bzw. PwrReg (GTR) mit \(\:\:\: y = a \cdot x^b\).

Geogebra bzw. GTR liefert:

\[ y = 9,64 \cdot x^{-0,98}\]

Da eine Antiproportionalität modelliert werden soll, setzt man den Exponenten gleich \(-1\). Also gilt in guter Näherung:

\[ y = 9,64 \cdot x^{-1} = 9,64 \cdot \frac{1}{x}\]


Potenzfunktion

Messtabelle
x 100 180 205 255 290 510 580 820 910
y 86 65 60 54 50 38 36 30 29

Der Graph einer Potenzfunktion kann vielfältig aussehen. Ein Beispiel ist folgende Potenzfunktion, die auf den ersten Blick aussieht, wie eine Antiproportionalität.

Abbildung 4

Funktionsterm: \(\:\:\: y = k \cdot x^b\)

Geeignete Regressionsmethode:
TrendPot(L) (Geogebra) bzw. PwrReg (GTR) mit \(\:\:\: y = a \cdot x^b\).

Geogebra bzw. GTR liefert:

\[ y = 849,38 \cdot x^{-0,5}\]

\(x^{-0,5}\) kann geschrieben werden als \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) also folgt:

\[ y = 849,38 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}\]

Neben diesem Beispiel können Potenzfunktionen auch z.B. Parabeln oder Wurzelfunktionen sein.


Parabelfunktion

Die Parabelfunktion ist eine Variation der Potenzfunktion.

Messtabelle
x 10 15 20 25 30 35 40 45 50
y 135 305 538 840 1219 1651 2163 2735 3378
Abbildung 8

Funktionsterm: \(\:\:\: y = k \cdot x^b\)

Geeignete Regressionsmethode:
TrendPot(L) (Geogebra) bzw. PwrReg (GTR) mit \(\:\:\: y = a \cdot x^b\).

Geogebra bzw. GTR liefert:

\[ y = 1,35 \cdot x^2\]


Wurzelfunktion

Die Wurzelfunktion ist eine Variation der Potenzfunktion.

Messtabelle
x 100 180 205 255 290 510 580 820 910
y 345 463 491 550 588 780 830 985 1040
Abbildung 5

Funktionsterm: \(\:\:\: y = k \cdot x^b\)

Geeignete Regressionsmethode:
TrendPot(L) (Geogebra) bzw. PwrReg (GTR) mit \(\:\:\: y = a \cdot x^b\).

Geogebra bzw. GTR liefert:

\[ y = 34,47 \cdot x^{0,5}\]

\(x^{0,5}\) kann geschrieben werden als \(\sqrt{x}\) also folgt:

\[ y = 34,47 \cdot \sqrt{x}\]


Exponentielle Abnahme

Ein erstes Erkennungsmerkmal für eine exponentielle Abnahme ist, dass der Graph im Gegensatz zu den Hyperbeln einen Schnittpunkt mit der y-Achse (Anfangsbestand) besitzt.

Messtabelle
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 19,6 9,8 4,9 2,4 1,3 0,6 0,3 0,16 0,07 0,04
Abbildung 6

Funktionsterm: \(\:\:\: y = k \cdot b^x\)

Rechnerisch überprüfbare Eigenschaft:
Die exponentielle Abnahme hat die Eigenschaft, dass sich der Bestand in gleichen Intervallen um den gleichen Anteil verringert.

Rechnerische Überprüfung der exponentiellen Abnahme:

Intervall \([0;1]\): \(\frac{9,8}{19,6} = 0,5 = 50 \%\)
Intervall \([2;3]\): \(\frac{2,4}{4,9} = 0,49 = 49 \%\)
Intervall \([6;7]\): \(\frac{0,16}{0,3} = 0,53 = 53 \%\)
...

In jedem Intervall der Breite \(1\) verringert sich der Bestand um etwa 50%.

Geeignete Regressionsmethode:
TrendExp2(L), TrendExp(L) (Geogebra) bzw. ExpReg (GTR) mit \(\:\:\: y = a \cdot b^x\)

Geogebra bzw. GTR liefert:

\[ y = 19,64 \cdot 0,5^x\]

Wenn für die Basis der Exponentialfunktion gilt: \(0 < b < 1\), dann liegt eine exponentielle Abnahme vor.


Exponentielle Zunahme

Messtabelle
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y 2,0 2,8 3,9 5,5 7,7 10,7 15,0 21,1 29,5 41,3
Abbildung 7

Funktionsterm: \(\:\:\: y = k \cdot b^x\)

Rechnerisch überprüfbare Eigenschaft:
Die exponentielle Zunahme hat die Eigenschaft, dass sich der Bestand in gleichen Intervallen um den gleichen Anteil vergrößert.

Intervall \([0;1]\): \(\frac{2,8}{2} = 1,40 = 140 \%\)
Intervall \([2;3]\): \(\frac{5,5}{3,9} = 1,41 = 141 \%\)
Intervall \([6;7]\): \(\frac{21,1}{15,0} = 1,41 = 141 \%\)
...

In jedem Intervall der Breite \(1\) vergrößert sich der Bestand um etwa 40%.

Geeignete Regressionsmethode:
TrendExp2(L), TrendExp(L) (Geogebra) bzw. ExpReg (GTR) mit \(\:\:\: y = a \cdot b^x\)

Geogebra bzw. GTR liefert:

\[ y = 2 \cdot 1,4^x\]

Wenn für die Basis der Exponentialfunktion gilt: \(b > 1\), dann liegt eine exponentielle Zunahme vor.