Darstellung von Messwerten


Die bei einem physikalischen Experiment erfassten Messwerte beschreiben die Größe einer physikalischen Eigenschaft von Objekten (z.B. Ladung einer Metallkugel), von Zuständen (z.B. Temperatur in einem Raum) oder von Vorgängen (z.B. Bewegung eines Autos). Für die Darstellung von Messwerten gibt es einige Begriffe, die Sie kennen und einige Regeln, die Sie beachten sollten.

Ein Beispiel für einen Messwert ist: \(\:\:\: v = 43,8 \frac{m}{s} \:\:\:\) (Geschwindigkeit)

Ein Messwert besteht aus drei Bestandteilen:

  1. der physikalischen Größe, die durch einen Begriff und ein Symbol festgelegt ist (hier: Geschwindigkeit \(v\)),
  2. dem Zahlenwert (hier: \(43,8\))
  3. der Einheit (hier: \(\frac{m}{s}\))

Diese drei Bestandteile werden im folgenden genauer erklärt und Regeln für deren Verwendung in der Physik vorgestellt.


Physikalische Größe

In den letzten Jahrhunderten haben Physiker bei der Erforschung der Natur für beobachtbare Phänomene Begriffe eingeführt, die wir heute "physikalische Größen" nennen. In ihrer Formelsammlung finden Sie eine große Anzahl solcher physikalischer Größen, mit jeweils einem Namen und einem dafür reservierten Symbol (z.B. Kraft \(F\), Energie \(E\), Magnetfeldstärke \(B\),...).

Die Anzahl der verwendeten Begriffe wuchs im Lauf der Zeit immer weiter an, bis irgendwann der Versuch unternommen wurde, diese Vielfalt wieder zu verringern. Schließlich kam man auf die Idee, eine geringe Anzahl grundlegender physikalischer Größen festzulegen, mit denen alle anderen beschrieben werden können.

Zum Beispiel kann die physikalische Größe "Geschwindigkeit" mit den physikalischen Größen "Länge" und "Zeit" beschrieben werden:

\[ \text{Geschwindigkeit} = \frac{\text{Länge}}{\text{Zeit}}\]

Die Suche nach solchen grundlegenden physikalischen Größen hat zu einer Festlegung von 7 physikalischen Basisgrößen geführt, mit denen man alle anderen bekannten physikalischen Größen beschreiben kann.

Die 7 Basisgrößen mit den dafür verwendeten Symbolen sind:

  • Länge (\(l\), \(s\), \(r\))
  • Masse (\(m\))
  • Zeit (\(t\))
  • elektrische Stromstärke (\(I\))
  • Temperatur (\(T\))
  • Stoffmenge (\(n\))
  • Lichtstärke (\(I\))

Jede physikalische Größe kann als Potenzprodukt (Term mit den Punktoperatoren: mal, geteilt, hoch) aus diesen Basisgrößen dargestellt werden.

Die Darstellung einer physikalischen Größe als Potenzprodukt der Basisgrößen nennt man Dimension der physikalischen Größe.

Es folgen einige Beispiele, anhand derer Sie sich den Begriff "Dimension einer physikalischen Größe" klar machen können.


Beispiel 1

Geben Sie die physikalische Größe "elektrische Ladung" nur mit Basisgrößen an oder anders formuliert: geben Sie die Dimension der physikalischen Größe "elektrische Ladung" an.

Lösung:
Für die physikalische Größe "elektrische Ladung" verwendet man das Symbol \(Q\). Bei einem negativ geladenen Körper beschreibt die Ladung \(Q\) den Elektronenüberschuss (Anzahl Elektronen minus Anzahl Protonen). Um einen Körper aufzuladen, fließt ein elektrischer Strom der Stromstärke \(I\) für die Zeit \(t\) auf den Körper. Die Ladung \(Q\) kann also als Produkt von konstanter Stromstärke \(I\) und der Zeit \(t\) beschrieben werden:

\[ Q = I \cdot t\]

Die Dimension der elektrischen Ladung \(Q\) ist das Potenzprodukt der Basisgrößen "elektrische Stromstärke" und "Zeit":

\[ \text{Ladung} = \text{Stromstärke} \cdot \text{Zeit}\]


Beispiel 2

Geben Sie die Dimension der physikalischen Größe Kraft an.

Lösung:
Für die physikalische Größe "Kraft" verwendet man das Symbol \(F\). Eine Kraft \(F\) bewirkt nach dem 2. Newtonschen Grundgesetz eine Änderung des Bewegungszustands (Beschleunigung \(a\)) eines Körpers mit der Masse \(m\) oder in Formelschreibweise: \(F = m \cdot a\).

Die Beschleunigung \(a\) beschreibt die Änderung der Geschwindigkeit \(v\) während der Zeit \(t\). Die Geschwindigkeit \(v\) beschreibt die Änderung des Weges \(s\) während der Zeit \(t\). Also ist die Beschleunigung \(a\) die Änderung der Änderung des Weges \(s\) während der Zeit \(t\). Falls die Beschleunigung \(a\) während der Zeit \(t\) konstant ist, gilt:

\[ F = m \cdot a = m \cdot \frac{v}{t} = m \cdot \frac{\frac{s}{t}}{t} = m \cdot \frac{s}{t^2}\]

Damit ist die Dimension der Kraft \(F\) das Potenzprodukt der Basisgrößen Masse, Länge und Zeit:

\[ \text{Kraft} = \text{Masse} \cdot \frac{\text{Länge}}{\text{Zeit}^2}\]


Beispiel 3

Geben Sie die Dimension der physikalischen Größe "magnetische Feldstärke" an.

Lösung:
Für die physikalische Größe "magnetische Feldstärke" verwendet man das Symbol \(B\). Fliesst durch einen Leiter ein elektrischer Strom mit der Stromstärke \(I\) senkrecht zu einem Magnetfeld der Länge \(s\) mit der elektrischen Feldstärke \(B\), dann wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft \(F_L\) mit \(F_L = I \cdot s \cdot B\).

Löst man diese Formel nach \(B\) auf, folgt (siehe Beispiel 2):

\[ B = \frac{F_L}{I \cdot s} = \frac{m \cdot \frac{s}{t^2}}{I \cdot s} = \frac{m}{I \cdot t^2}\]

Damit ist die Dimension der magnetischen Feldstärke \(B\) das Potenzprodukt der Basisgrößen Masse, elektrische Stromstärke und Zeit:

\[ \text{magnetische Feldstärke} = \frac{\text{Masse}}{\text{elektrische Stromstärke} \cdot \text{Zeit}^2}\]


Zahlenwert

Um einen Messwert zu ermitteln, werden Messgeräte eingesetzt. Beim Messvorgang wird eine physikalische Größe mit den Eigenschaften des Messgeräts verglichen. Der Vergleich liefert einen Zahlenwert, der zusammen mit einer physikalischen Einheit angegeben wird.

Wissenschaftliche Darstellung

Der Zahlenwert wird normalerweise im üblichen Dezimalsystem angegeben. Zur Beschreibung physikalischer Phänomene benötigt man Zahlen, die unfassbar groß, aber auch unvorstellbar klein sein können.

Beispiele für sehr große und sehr kleine Zahlen:

Die Anzahl der Sterne im beobachtbaren Universum wird auf ca. \(70.000.000.000.000.000.000.000\) geschätzt.

Die Anzahl der Elektronen, die bei einer Stromstärke von 1 Ampere pro Sekunde einen Leiterquerschnitt passieren, ist etwa \(6.500.000.000.000.000.000\).

Der mittlere Abstand zweier Atome ist etwa \(0,0000000001 \: m\).

Die kleinste Energieportion, die pro Sekunde übertragen werden kann, beträgt etwa \(0,0000000000000000000000000000000006 \: J\).

Eine Darstellung von sehr kleinen oder sehr großen Zahlen mit Angabe aller Nullen ist sehr unübersichtlich. Es ist nicht praktikabel, dass man erst alle Stellen zählen muss, bevor man sich eine Vorstellung der Größe der Zahl machen kann. Daher haben Physiker eine andere Notation für sehr große und sehr kleine Zahlen eingeführt: die wissenschaftliche Darstellung.

Beispiele für große Zahlen in der wissenschaftlichen Darstellung:

  • \(100 = 10 \cdot 10 = 10^2\)
  • \(300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2\)
  • \(2173 = 2,173 \cdot 1000 = 2,173 \cdot 10^3\)
  • \(70.000.000.000.000.000.000.000 = 7 \cdot 10^{22}\)
  • \(6.500.000.000.000.000.000 = 6,5 \cdot 10^{18}\)

Bildungsregel: Man nimmt die allererste Ziffer, setzt dahinter ein Komma, notiert eine sinnvolle Anzahl weiterer Ziffern (abhängig von der Genauigkeit der Messung) und multipliziert diese mit einer Zehnerpotenz, deren Hochzahl die Anzahl der Stellen hinter der allerersten Ziffer bis zu den Einern angibt.

Beispiele für Zahlen mit kleinem Betrag in der wissenschaftlichen Darstellung:

  • \(0,01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}\)
  • \(0,007 = \frac{7}{1000} = 7 \cdot 10^{-3}\)
  • \(0,000452 = \frac{452}{10000} = 4,52 \cdot 10^{-4}\)
  • \(0,0000000001 = \frac{1}{10000000000} = 1 \cdot 10^{-10}\)
  • \(0,000000000000000000000000000000000626 = 6,626 \cdot 10^{-34}\)

Bildungsregel: Man nimmt die erste Ziffer hinter dem Komma, die nicht Null ist, setzt dahinter ein Komma, notiert eine sinnvolle Anzahl weiterer Ziffern (abhängig von der Genauigkeit der Messung) und multipliziert diese mit einer Zehnerpotenz, deren Hochzahl negativ ist und bei welcher der Betrag der Hochzahl die Stelle hinter dem Komma angibt, wo die erste von Null verschiedene Ziffer steht.

Die wissenschaftliche Darstellung von Zahlen sollten Sie beherrschen.

Runden von Messwerten und berechneten Größen

Viele physikalische Größen werden aus Messwerten berechnet. Die Genauigkeit der gemessenen Größen hängt vom verwendeten Messgerät ab. Der Zahlenwert einer daraus berechneten Größen sollte nicht genauer sein, als der ungenaueste Messwert, aus dem diese berechnet wurde plus eine Stelle.

  • Physikalische Messwerte sollten während der Auswertung grundsätzlich in der wissenschaftlichen Darstellung notiert werden.
  • Jeder Messwert wird in der wissenschaftlichen Darstellung mit höchstens so vielen Nachkommastellen notiert, wie das Messgerät anzeigt.
  • In die Rechnung wird jedes Messergebnis mit seiner eigenen Genauigkeit eingetragen. Während der Rechnung werden alle Zwischenergebnisse so notiert, wie der Taschenrechner sie angibt. Das Endergebnis wird mit so vielen Stellen plus eine Stelle hinter dem Komma angegeben, wie der ungenaueste Messwert Stellen hinter dem Komma in wissenschaftlicher Notation hat.
  • Um das Endergebnis leichter lesbar zu machen, kann es wieder in ein leichter lesbares Format umgewandelt werden.

Beispiel:

Man möchte die Geschwindigkeit eines Autos mit einer analogen Stoppuhr und einem Maßband bestimmen. Mit einer analogen Stoppuhr kann man auf Zehntel-Sekunden genau messen, mit dem Maßband auf Millimeter genau.

Ein mögliches Messwertepaar wäre \(s = 435,827 \: m\), \(t = 34,1 \: s\).

Geben Sie die Geschwindigkeit in einer angemessenen Genauigkeit an.

1) Angabe in wissenschaftlicher Notation:

\[ \begin{align} s &= 435,827 \: m = 4,35827 \cdot 10^2 \: m \\ t &= 34,1 \: s = 3,41 \cdot 10^1 s \end{align}\]

2) Wahl der Genauigkeit
Die Angabe der Zeit \(t\) ist mit 2 Stellen hinter dem Komma die ungenaueste Angabe, also wird das Ergebnis in der wissenschaftlichen Notation auf 2 + 1 = 3 Stellen hinter dem Komma gerundet angegeben.

3) Berechnung der physikalischen Zielgröße
Die Geschwindigkeit ist \(v = \frac{s}{t} = \frac{4,35827 \: \cdot 10^2 \: m}{3,41 \cdot 10^1 \: s} = 12,7808504399 \: \tfrac{m}{s} = 1,27808504399 \cdot 10^1 \: \tfrac{m}{s}\)

4) Angabe in der Zielgenauigkeit
Der vom Taschenrechner berechnete Wert wird auf 2 + 1 = 3 Stellen hinter dem Komma gerundet:

\[ v = 1,27808504399 \cdot 10^1 \: \tfrac{m}{s} = 1,278 \cdot 10^1 \: \tfrac{m}{s}\]

5) Umwandlung in leicht lesbare Notation
Das Ergebnis kann man umschreiben, wobei die Genauigkeit unverändert bleiben muss:

\[ v = 12,78 \: \tfrac{m}{s}\]


Die Anzahl der notierten Stellen hinter dem Komma in der wissenschaftlichen Darstellung wird durch das ungenaueste Messgerät, das bei der Messung verwendet wurde, festgelegt.


Angabe der Ergebnisse

Physikalische Größen, die ausserhalb von Rechnungen angegeben werden, sollten leicht lesbar notiert sein. Die Lesbarkeit wird erleichtert, indem die Zehnerpotenzen durch Vorsilben (Dezimalpräfixe) ersetzt werden.

Eine Übersicht finden Sie z.B. auf Wikipedia: Dezimalpräfixe (Vorsilben)

Die meisten Dezimalpräfixe gibt es für Zehnerpotenzen deren Hochzahl durch 3 teilbar ist. Ausserhalb von Rechnungen können Sie die Zahlenwerte daher wie folgt umformen:

  1. Schreiben Sie den Wert in wissenschaftlicher Darstellung mit einer Zehnerpotenz, deren Exponent durch drei teilbar ist
  2. Verschieben Sie dazu das Komma in der notierten Zahl und korrigieren Sie den Exponenten in der Zehnerpotenz entsprechend
  3. Ersetzen Sie die Zehnerpotenz durch die entsprechende Vorsilbe, die Sie aus der Tabelle entnehmen

Beispiele:

  • \(1,465 \cdot 10^{-7} \: m = 146,5 \cdot 10^{-9} \: m = 146,5 \: nm\)
  • \(9,553 \cdot 10^{-14} \: s = 95,53 \cdot 10^{-15} \: s = 95,53 \: fs\)
  • \(6,12 \cdot 10^5 \: m = 612 \cdot 10^3 \: m = 612 \: km\)
  • \(5,0723 \cdot 10^{13} \: J = 50,723 \cdot 10^{12} \: J = 50,723 \: TJ\)

Physikalische Einheit

Bei der Messung einer physikalischen Größe liefert ein Messgerät einen Zahlenwert. Dieser Zahlenwert ist davon abhängig auf welche physikalische Einheit dieses Messgerät eingestellt (kalibriert) ist.

Bei einem Längenmessgerät (Metermaß) kann die Skala z.B. mit der Einheit \(m\) (Meter) gebaut werden. Es gibt aber auch Längenmessgeräte mit der Einheit "Fuß" oder "Yard". Man könnte auch eine Längenmessgerät bauen, das auf die Einheit "Vielfache der Länge einer Waldameisenkönigin" kalibriert ist. Alle diese Längenmessgeräte messen die physikalische Größe "Länge", zeigen aber andere Zahlen an.

Bei einem Zeitmessgerät (z.B. eine Stoppuhr) kann die Skala z.B. mit der Einheit \(s\) (Sekunde) gebaut werden. Die Einheit könnte aber auch "Tageslänge", "Fallzeit eines Apfels vom Kölner Dom" oder "Vielfache der Zeit einer Auf- und Abbewegung eines Bienenflügels im Schwebflug" sein, was auch hier jeweils andere Zahlenwerte liefen würde.

Die physikalische Größe "Geschwindigkeit" könnte z.B. auch mit einem Messgerät gemessen werden, das aufgrund seiner Konstruktion die Basisgrößen gleichzeitig ermittelt und damit direkt einen Zahlenwert für die Geschwindigkeit auf der Basis der gewählten Einheiten angibt (z.B. Tachometer in \(\frac{km}{h}\) oder \(\frac{\text{Vielfache der Länge einer Waldameisenkönigin}}{\text{Fallzeit eines Apfels vom Kölner Dom}}\)).

Damit die physikalischen Größen, die gemessenen werden sollen, verglichen werden können, muss man ein Einheitensystem festlegen, so dass die Messgeräte bei vergleichbaren physikalischen Vorgängen auch gleiche Zahlenwerte liefern. Die Festlegung eines solchen Einheitensystems ist willkürlich.

Das heutzutage am weitesten verbreitete Einheitensystem ist das "Internationale Einheitensystem (SI)", das wir auch im Oberstufenunterricht verwenden. Die Basisgrößen mit den SI-Einheiten des Internationalen Einheitensystems werden wie folgt festgelegt:

Basisgröße / Basisdimension Formelzeichen Basiseinheit Einheitenzeichen
Länge l, s, r Meter m
Masse m Kilogramm kg
Zeit t Sekunde s
elektr. Stromstärke I Ampere A
Temperatur T Kelvin K
Stoffmenge n Mol mol
Lichtstärke I Candela cd

Alle anderen Einheiten, die Sie in Ihrer Formelsammlung finden, sind Einheiten, die aus den Basiseinheiten zusammengesetzt sind.

Wenn man die Einheit einer physikalischen Größe meint, schreibt man die physikalische Größe in eckigen Klammern:

\[ [\text{Symbol einer physikalischen Größe}] = \text{Einheit}\]

So wie die Dimension einer physikalische Größe aus den Basisgrößen dargestellt werden kann, ist es auch möglich jede physikalische Einheit nur mit den SI-Einheiten der Basisgrößen darzustellen.


Beispiel 1

Geben Sie die Einheit \(C\) (Coulomb) der physikalischen Größe elektrische Ladung \(Q\) nur mit SI-Einheiten der Basisgrößen an.

Lösung:

\[ C = [Q] = [I] \cdot [t] = A \cdot s\]


Beispiel 2

Geben Sie die Einheit \(N\) (Newton) der physikalischen Größe Kraft \(F\) nur mit SI-Einheiten der Basisgrößen an.

Lösung:

\[ N = [F] = [m] \cdot [a] = [m] \cdot \frac{[s]}{[t]^2} = kg \cdot \frac{m}{s^2}\]

Hier müssen Sie darauf achten, dass Sie das Symbol für die physikalische Größe und das Symbol für die Einheit nicht verwechseln (z.B. \(s\) als Symbol für Länge und Sekunden oder \(m\) für Masse und Meter).


Beispiel 3

Geben Sie die Einheit \(T\) (Tesla) der physikalischen Größe magnetische Feldstärke \(B\) nur mit SI-Einheiten der Basisgrößen an.

Lösung:

\[ T = [B] = \frac{[F_L]}{[I] \cdot [s]} = \frac{[m]}{[I] \cdot [t]^2} = \frac{kg}{A \cdot s^2}\]