Physikalisierung eines Terms


Wenn auf der Basis von Messwerten eine mathematische Funktion durch eine geeignete Regression bestimmt wurde, beschreibt diese Funktion nur die Zahlenwerte in guter Näherung, ohne die physikalische Bedeutung zu berücksichtigen. In einem nächsten Schritt sollte die mathematische Funktion "physikalisiert" werden. Dazu:

  1. ersetzt man die \(x\)- und \(y\)-Variable durch passende physikalische Symbole auf Basis des durchgeführten Experiments und
  2. ergänzt auf der rechten Seite sinnvolle physikalische Einheiten.

Dieses Verfahren wird im folgenden an einem Beispiel vorgestellt. Danach folgen einige Beispiele für die Physikalisierung mathematischer Terme im Zusammenhang mit Experimenten.


Beispiel: Atom als Materiewelle

Modelliert man ein Atom klassisch als ein Teilchen, dann gilt für seine mittlere kinetische Energie in einem Gas der Temperatur \(T\):

\[ E_{kin} = \tfrac{3}{2} \cdot k \cdot T\]

mit \(k = 1,381 \cdot 10^{-23} \tfrac{J}{K}\) als Boltzmann-Konstante.

Für die kinetische Energie \(E_{kin}\) gilt:

\[ E_{kin} = \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Also folgt:

\[ \tfrac{3}{2} \cdot k \cdot T = \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Die mittlere Geschwindigkeit eines Atoms ist also von der Temperatur des Gases abhängig.

Schickt man einen Atomstrahl bei einer Temperatur \(T\) auf einen geeigneten Kristall, dann kann man Interferenzphänomene beobachten. Ein Atom kann quantenphysikalisch also als Materiewelle mit einer Wellenlänge \(\lambda\) aufgefasst werden.

Die Brücke zwischen dem klassischen Modell eines Atoms als Teilchen mit einer kinetischen Energie und dem quantenphysikalischen Modell eines Atoms als Materiewelle hat Louis de Broglie geschlagen. Einem Atom der Masse \(m\) und der Geschwindigkeit \(v\) kann die Wellenlänge \(\lambda\) wie folgt zugeordnet werden:

\[ \lambda = \frac{h}{m \cdot v}\]

In einem Versuch wurde mit Hilfe eines Kristalls als Interferenzgitter ein Interferenzbild erzeugt, mit dessen Hilfe die Wellenlänge eines Heliumatoms in Abhängigkeit von der Temperatur des Gases gemessen werden kann.

Messtabelle
\(T\) in \(K\) 90 120 170 210 260 350 420 500 680 850
\(\lambda\) in \(10^{-12}\) m 91,8 79,2 66,7 60,1 54,0 46,5 42,6 38,9 33,5 29,7

Aufgabe:

Stellen Sie die Messwerte der Messtabelle grafisch dar.

Ermitteln Sie aus den Messwerten der Messtabelle den zwischen \(T\) und \(\lambda\) bestehenden funktionalen Zusammenhang \(\lambda(T)\). Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise.


Lösung

Die Temperatur \(T\) wird in diesem Experiment eingestellt und ist daher die unabhängige Variable (x-Achse). Die Wellenlänge \(\lambda\) wird in Abhängigkeit der Temperatur gemessen und ist daher die abhängige Variable (y-Achse).

Als erstes wird ein Schaubild erstellt, um eine Idee zu bekommen, welche Regressionsmethode hier passen könnte:

Abbildung 1

Es kann keine Temperatur von \(0 \: K\) erreicht werden, daher gibt es keinen Anfangsbestand und das Regressionsmodell der exponentiellen Abnahme ist nicht sinnvoll. Der Graph sieht aus, wie eine Hyperbel, so dass das Regressionsmodell der Potenz-Regression (PowReg) versucht werden kann.

Für die abhängige Variable (\(x\)) werden die Werte der Temperatur \(T\) eingesetzt und für die unabhängige Variable (\(y\)) werden die Werte der Wellenlänge \(\lambda\) eingesetzt.

Die Potenz-Regression (PwrReg) liefert folgende Formel:

\[ y = 869,6 \cdot 10^{-12} \cdot x^{-0,5}\]

Abbildung 2

Der Graph der Näherungsfunktion passt sehr gut auf die Messwerte, so dass die Regression erfolgreich war.

Für das \(y\) auf der linken Seite setzt man jetzt \(\lambda(T)\) und auf der rechten Seite setzt man für das \(x\) die Temperatur \(T\) ein. Es folgt:

\[ \lambda(T) = 869,6 \cdot 10^{-12} \cdot T^{-0,5}\]

Die physikalische Einheit der Wellenlänge \(\lambda\) ist \(m\) (Meter), das heißt, dass auch auf der rechten Seite der Funktionsgleichung die Einheit \(m\) (Meter) stehen muss. Die Temperatur \(T\) hat die Einheit \(K\) (Kelvin), steht aber als Wurzel im Nenner:

\[ \lambda(T) = 869,6 \cdot 10^{-12} \cdot T^{-0,5} = 869,6 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\]

Um aus dem Produkt der rechten Seite die Einheit \(m\) zu erhalten, muss der Faktor die Einheit \(\sqrt{K} \cdot m\) bekommen. Dadurch kürzt sich bei eingesetzem Wert \(\sqrt{K}\) heraus und es bleibt wie gefordert \(m\) als Einheit der Wellenlänge.

\[ \lambda(T) = 869,6 \cdot 10^{-12} \sqrt{K} \cdot m \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\]

Hier ist es wichtig, dass Ihnen der Unterschied zwischen der physikalischen Einheit und der physikalischen Größe klar ist. \(\lambda\) und \(T\) sind hier die physikalischen Größen. Setzt man für \(T\) einen Wert ein, hat dieser die Einheit \(K\) (Kelvin).

Beispiel:

\[ \lambda(90 \: K) = 869,6 \cdot 10^{-12} \sqrt{K} \cdot m \cdot \frac{1}{\sqrt{90 \: K}} = 91,66 \cdot 10^{-12} \frac{\sqrt{K} \cdot m}{\sqrt{K}} = 91,66 \cdot 10^{-12} \: m\]

Damit ist die Regression vollständig durchgeführt worden:

\[ \lambda(T) = 869,6 \cdot 10^{-12} \sqrt{K} \cdot m \cdot \frac{1}{\sqrt{T}}\]


Beispiel 1

In einem Experiment wird die magnetische Feldstärke \(B\) (Flussdichte) in einer Spulenanordnung in Abhängigkeit vom Ort \(s\) gemessen. Eine geeignete Regression liefert folgenden Term:

\[ y = 3,5 \cdot 10^{-3} \cdot x - 1,7 \cdot 10^{-2}\]

Physikalisieren Sie diese Funktionsgleichung.

Lösung:

1. geeignete physikalische Symbole
\(y\) wird durch \(B(s)\) ersetzt, da die Messgröße die magnetische Feldstärke \(B\) in Abhängigkeit vom Ort \(s\) ist.

2. passende physikalische Einheiten
Auf der linken Seite der Gleichung steht die physikalische Größe \(B\) mit der Einheit \(T\) (Tesla). Also muss die rechte Seite der Gleichung auch die Einheit \(T\) liefern.

Die additive Konstante bekommt die Einheit \(T\). Die unabhängige Variable \(x\) wird mit dem Ort \(s\) ersetzt. Der Faktor \(3,5 \cdot 10^{-3}\) bekommt die Einheit \(\frac{T}{m}\), damit beim Einsetzen eines Messwertes für den Ort \(s\) mit der Einheit \(m\), die Einheit \(m\) gekürzt wird und \(T\) bleibt.

\[ B(s) = 3,5 \cdot 10^{-3} \frac{T}{m} \cdot s - 1,7 \cdot 10^{-2} T\]