Die Wahrscheinlichkeitswelle


In den letzten Kapiteln haben Sie folgende Modelle zur Modellierung von Quantenobjekten kennengelernt:

  1. Wellen-Modell: Wenn die Ausbreitung von Quantenobjekten ohne eine Welcher-Weg-Messung erfolgt, dann beobachtet man bei einer Messung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die erfolgreich mit einem geeigneten Wellenmodell modelliert werden kann.
  2. Teilchen-Modell: Bei einer Wechselwirkung von einem Quantenobjekt mit einem anderen Quantenobjekt kann den beteiligten Quantenobjekten ein bestimmter Impuls, eine bestimmte Energie, eine bestimmte Masse,... zugeordnet werden. Die Wechselwirkung kann erfolgreich mit einem geeigneten Teilchenmodell modelliert werden.
  3. stochastisches Modell (Zufall): Wenn ein Experiment mit einem einzelnen Quantenobjekten ohne eine Welcher-Weg-Messung durchgeführt wird, dann kann man nicht vorhersagen, wo das einzelne Quantenobjekt von einem Detektor detektiert werden wird und welchen Impuls das gemessene Quantenobjekt haben wird. Bei gleicher Ausführung eines Experiments misst man innerhalb eines Wertebereichs zufällige Wechselwirkungsorte und zufällige Impulse.
  4. Welcher-Weg-Modell: Wenn man in ein Experiment einen aktiven Welcher-Weg-Detektor einbaut, dann verschwindet die Superposition der Wahrscheinlichkeitswellen und damit die Verteilung der möglichen Messdaten. Die mögliche Messung der "Welcher-Weg-Information" ändert den Ausgang des Experiments.
  5. Unbestimmtheitsrelation: Komplementäre Messgrößen können nicht gleichzeitig beliebig genau gemessen werden. Beim Entwurf eines Experiments muss man sich entscheiden, welche Messgrößen man mit welcher Genauigkeit messen möchte.

In diesem Kapitel sollen Sie die quantenphysikalische Modellierung von Quantenobjekten etwas vertiefter kennenlernen. Wir beginnen mit einem Gedankenexperiment:

Teil 1: Licht als elektromagnetische Welle

Eine LED aus dem Optik-Kasten wird in einem abgedunkelten Raum geradlinig auf eine Wand gerichtet. Die Wand ist in der Mitte am hellsten und die Helligkeit nimmt nach außen hin ab. Wenn der Abstand LED-Schirm vergrößert wird, ist die Wand auf der Höhe der LED immer noch am hellsten, aber die Gesamtintensität verteilt sich auf eine größere Fläche, so dass die Lichtenergie pro Fläche immer kleiner wird, je größer die Entfernung LED-Schirm ist. Im klassischen Wellenmodell von Licht als elektromagnetische Welle konnten wir die Beobachtung so modellieren, dass sich Elementarwellen von der LED aus kugelförmig im Raum ausbreiten. Da sich die Intensität einer Welle auf eine immer größere Kugelfläche verteilt, nimmt die Intensität nach außen hin ab.

Teil 2: Licht als Photonen

Wir denken uns eine Ein-Photonen-Quelle als Lichtquelle, die geradlinig auf eine Wand gerichtet ist. Ein ausgesandtes Photon wird immer an genau einer Stelle auf der Wand wechselwirken. Wenn man eine lange Zeit sehr viele Photonen auf die Wand schickt, beobachtet man, dass auf Höhe der Photonenquelle mehr Photonen wechselwirken werden, als weiter außen auf der Wand. Wenn der Abstand Quelle-Wand vergrößert wird, beobachtet man, dass die Fläche größer wird, auf welcher Wechselwirkungen stattfinden. Im quantenphysikalischen Modell ordnen wir jedem möglichen Weg von der Photonenquelle zum Schirm eine Wahrscheinlichkeitswelle zu. Wenn keine Welcher-Weg-Messung zwischen Quelle und Schirm stattfindet, befinden sich die Wahrscheinlichkeitswellen in Superposition. Die Auswertung der Superposition an einer bestimmten Stelle auf der Wand liefert eine Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon mit dieser Stelle wechselwirkt. Wo die Wechselwirkung eines Photons stattfinden wird, ist zufällig und kann nicht vorhergesagt werden.

Teil 3: Elektronen ohne Welcher-Weg-Messung

Wir denken uns eine lange Vakuumröhre mit einer Elektronenstrahlquelle und einem Leuchtschirm am Ende der Vakuumröhre. Auf Höhe der Elektronenquelle beobachtet man auf dem Leuchtschirm die meisten Wechselwirkungen eines Elektron mit dem Schirm. Je weiter man sich von der Schirmmitte entfernt, desto weniger Elektronen wird man detektieren. Wo ein Elektron auf dem Schirm wechselwirkt ist zufällig und kann nicht vorhergesagt werden. Im quantenphysikalischen Modell ordnen wir jedem möglichen Weg von der Elektronenquelle zum Schirm eine Wahrscheinlichkeitswelle zu. Wenn keine Welcher-Weg-Messung zwischen Quelle und Schirm stattfindet, befinden sich die Wahrscheinlichkeitswellen in Superposition. Die Auswertung der Superposition an einer bestimmten Stelle des Schirms liefert eine Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron mit dieser Stelle wechselwirkt. Wo die Wechselwirkung eines Elektrons stattfinden wird, ist zufällig und kann nicht vorhergesagt werden.

Teil 4: Elektronen mit Welcher-Weg-Messung

Wir stellen in den Weg zwischen Elektronenquelle und Schirm einen Welcher-Weg-Detektor, indem wir z.B. die Elektronen seitlich mit Photonen bestrahlen und Detektoren um den Strahl positionieren, welche die gestreuten Photonen detektieren können. Sobald ein Photon mit einem Elektron im Bereich des Welcher-Weg-Detektors wechselgewirkt hat, kollabiert die Superposition der Wahrscheinlichkeitswellen, welche dem Elektron zugeordnet sind und das Elektron wird an einem zufälligen Ort und mit einem zufälligen Impuls gemessen. Die Vielfalt der möglichen Orte und Impulse hängt vom Aufbau des Experiments ab. Sobald der Impuls und der Ort des Elektrons gemessen sind, ist die Bahn des Elektrons für eine kuze Zeit bestimmt. Nach einer gewissen Zeit ohne Welcher-Weg-Messung bildet sich wieder eine Superposition der Wahrscheinlichkeitswellen aller möglichen Wege des Elektrons zum Schirm und die Bahn des Elektrons wird wieder unbestimmt.


Entwurf einer Wahrscheinlichkeitswelle

Die Beobachtung der Wechselwirkung der Elektronen mit dem Schirm erinnert an Zufallsexperimente, die Sie aus dem Stochastik-Unterricht kennen. In der Schirmmitte beobachtet man viele Elektronen, die pro Sekunde mit dem Schirm wechselwirken, weiter außen zählt man pro Sekunde weniger wechselwirkende Elektronen. Man kann sagen, dass die Wahrscheinlichkeit \(P(E)\) für das Ereignis \(E\) = "ein Elektron wechselwirkt mit einer Stelle \(x\) auf dem Schirm" in der Schirmmitte größer ist, als weiter aussen. Je weiter der Schirm von der Elektronenquelle entfernt ist, desto größer wird die mögliche Fläche, innerhalb welcher ein Elektron wechselwirken kann. Daher wird die Wahrscheinlichkeit einer Wechselwirkung für jede Teilfläche geringer, bleibt aber in der Schirmmitte am größten.

Für ein Elektron ist die Wahrscheinlichkeit mit dem Schirm wechselzuwirken 100%. Diese Wahrscheinlichkeit ist auf den gesamten Schirm verteilt. Summiert man die Wahrscheinlichkeiten aller Schirmstellen, muss die berechnete Summe 100% sein. Je größer der Abstand Quelle-Schirm ist, desto mehr ist die Wahrscheinlichkeit auf eine größere Fläche verteilt.

Dieses Verhalten kann mit Hilfe eines Dalton-Bretts nachvollzogen werden. Eine Kugel fällt auf ein Dalton-Brett und fällt nach Durchlaufen des Bretts in einen Eimer. Den Weg der Kugel zerteilt man in n-Teilstrecken. Nach der ersten Teilstrecke setzt man ein Hindernis, nach der zweiten Teilstrecke setzt man 2 Hindernisse, dann 4 Hindernisse, dann 8 und so weiter. Bei jedem Hindernis bewegt sich die Kugel zufällig nach links oder rechts, wobei beide Wahrscheinlichkeiten gleich sind (jeweils 50%).

Aus dem Stochastik-Unterricht kennen Sie solche Experimente mit nur zwei möglichen Ergebnissen als Bernoulli-Experimente. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis (z.B. die Kugel trifft Eimer 2) berechnet man mit Hilfe der Pfadregeln: die Wahrscheinlichkeit eines Pfads wird berechnet, indem man die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Stufen multipliziert. Gehören zu einem Ereignis mehrere Pfade, dann berechnet man die Gesamtwahrscheinlichkeit, indem man die Pfadwahrscheinlichkeiten addiert.

Quelle: PhET

Die Verteilung der Kugeln in den Eimern liefert eine ähnliche Verteilung, wie die Verteilung der einzelnen Elektronen auf dem Schirm, wenn man nur eine eindimensionale Gerade auf dem Schirm betrachtet. In den mittleren Eimern findet man viele Kugeln, weiter außen weniger. Wenn man die Anzahl der Eimer vergrößert und damit mehr Reihen in das Dalton-Brett einfügt, verteilen sich pro Sekunde gleich viele Kugeln auf einen größeren Bereich, so dass die Verteilung gleich bleibt (in der Mitte mehr Kugeln, außen weniger Kugeln), aber die Anzahl an Kugeln, die pro Sekunde in einen Eimer fallen wird geringer, da es mehr Möglichkeiten für die Kugeln gibt.

Es ist unmöglich sicher vorherzusagen, welchen Eimer eine einzelne Kugel treffen wird. Das Verhalten einer einzelnen Kugel ist zufällig. Bei sehr vielen Kugeln kann man immer besser voraussagen, wie viele Kugeln man in den einzelnen Eimern zählen wird. Man kann auch Formeln angeben, mit deren Hilfe man diese Verteilung vorhersagen kann. Sie erinnern sich vielleicht an eine Formel wie \(P(X) = {n \choose k} \, p^k \cdot (1-p)^{n-k}\). Je länger man das Experiment laufen lässt und je mehr Kugeln durch das Dalton-Brett gelaufen sind, desto besser passen die gemessenen Werte zu den vorhergesagten Werten.

Ein solches Modell simuliert NICHT die physikalischen Vorgänge, sondern erzeugt eine Verteilung von Kugeln in Eimern, wobei diese der Verteilung der Wechselwirkungen auf dem Schirm ähnelt, wenn man nur eine eindimensionale Strecke waagrecht auf dem Schirm beobachtet. Dieses Vorgehen ist typisch für Modellierungen in der atomaren Welt. Man kann die Vorgänge nicht anschaulich erklären, sondern entwirft ein Modell, das Zahlen erzeugt, die den vorliegenden Meßdaten ähneln.

Wir suchen also ein mathematisches Modell, das z.B. beim Doppelspaltexperiment eine Wahrscheinlichkeitsverteilung liefert, mit welcher man für jede gewählte Präparation (linker Spalt offen, rechter Spalt offen, beide offen, mit Detektoren, ohne Detektoren) vorhersagen kann, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Wechselwirkung an einem Ort auf dem Schirm beobachtet werden kann.

Dazu kann man einem Punkt \(x\) auf dem Schirm eine bestimmte Wahrscheinlichkeit \(\Delta P\) zuordnen, dass ein Elektron in dem Bereich \(\Delta x\) um den Punkt \(x\) herum mit dem Schirm wechselwirken wird. Der Quotient aus der Wahrscheinlichkeit \(\Delta P\) und der Ausdehnung des Bereichs \(\Delta x\) wird definiert als Wahrscheinlichkeitsdichte \(P(x)\) am Ort \(x\):

\[ P(x) = \frac{\Delta P}{\Delta x}\]

Aus der Wahrscheinlichkeitsdichte kann die Wechselwirkungswahrscheinlichkeit für einen Schirmbereich mit Hilfe eines Integrals berechnet werden. Die Berechnung mit Hilfe eines Integrals ist notwendig, da die Wahrscheinlichkeit an jedem Ort auf dem Schirm einen anderen Wert besitzt. Beispiel: Wenn Sie die Masse eines Kunststoffblocks berechnen wollen, der homogen ist, dann können Sie einfach Volumen mal Dichte rechnen. Wenn die Dichte eines Körpers aber stark schwankt (in ihrem Körper gibt es Knochen, Organe, Zähne,... die alle eine andere Dichte haben), dann müssen Sie für jedes Organ eine mittlere Dichte bestimmen, dem Körper diese Dichtefunktion zuordnen und dann alle Teildichten aufsummieren. Das drückt man mathematisch mit einem Integral aus. Wenn Sie also von einer bestimmten Fläche \(A\) auf dem Schirm die Wechselwirkungswahrscheinlichkeit \(P(A)\) berechnen wollen, müssen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichten \(| \Psi(x) |^2\) für alle Orte, die zu dieser Fläche gehören aufsummieren: \(P(A) = \int_{A} \, | \Psi(x) |^2 \, dA\).

Wenn der betrachtete Bereich \(A\) klein genug gedacht wird, kann man die Wahrscheinlichkeitsdichte \(| \Psi(x) |^2\) mit der Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) im Bereich \(A\) gleichsetzen, da sich in einem hinreichend kleinen Bereich die Wahrscheinlichkeit kaum ändert.

Mit Hilfe der folgenden Simulation können Sie einen Doppelspaltversuch mit einzelne Elektronen nachvollziehen. Die Spaltöffnungen sind dabei deutlich kleiner als die de-Broglie-Wellenlänge der Elektronen, so dass bei einem geöffneten Spalt ein Einzelspaltbild zu sehen ist.

In einem neuen Fenster starten: Doppelspaltexperiment mit Elektronen

Wenn beide Spalte geöffnet sind, beobachtet man auch dann auf dem Schirm ein Interferenzbild, wenn einzelne Elektronen auf den Schirm geschickt werden. 1926 hat Erwin Schrödinger eine mathematische Theorie aufgestellt, in der das Verhalten eines Elektrons durch eine Wellenfunktion \(\Psi\) beschrieben wird. Max Born führte im Jahre 1927 die Wahrscheinlichkeitsdeutung für die Wellenfunktion ein:

Die Wahrscheinlichkeit \(P(x)\), dass Quantenobjekte an einem Ort \(x\) wechselwirken, ist proportional zum Quadrat des Betrags der Wellenfunktion \(\Psi(x)\), die den Quantenobjekten zugeordnet wird. Es gilt:

\[ P(x) = | \Psi(x) |^2\]

Beim Versuch eine geeignete Wahrscheinlichkeitswelle für ein Elektron in der Doppelspaltanordnung zu konstruieren, stößt man beim Nachdenken recht bald auf ein erstes Problem. Die beobachteten Schirmbilder können mathematisch nicht kombiniert werden. Wenn beim Doppelspaltversuch der linke Spalt offen ist, beobachtet man nach einiger Zeit ein Schirmbild, das wie folgt aussieht:

Auf dem Schirm direkt hinter dem Einzelspalt beobachtet man häufig Wechselwirkungen. Wenn man sich nach links und rechts von diesem Bereich entfernt, wird die Wechselwirkungswahrscheinlichkeit geringer. Dem Experiment "man schickt ein einzelnes Elektron bei nur geöffnetem linken Spalt von der Quelle zum Schirm" kann die Wellenfunktion \(\Psi_1(x)\) zugeordnet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron an der Stelle \(x\) mit dem Schirm wechselwirkt ist: \(P_1(x) = | \Psi_1(x) |^2\).

Auch wenn der rechte Spalt offen ist, beobachtet man ein analoges Verhalten:

Dem Experiment "man schickt ein einzelnes Elektron bei nur geöffnetem rechten Spalt von der Quelle zum Schirm" kann die Wellenfunktion \(\Psi_2(x)\) zugeordnet werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron an der Stelle \(x\) mit dem Schirm wechselwirkt ist: \(P_2(x) = | \Psi_2(x) |^2\).

Wenn beide Spalte geöffnet sind, beobachtet man ein Interferenzbild.

Dem Experiment "man schickt ein einzelnes Elektron bei beiden geöffneten Spalten von der Quelle zum Schirm" kann die Wellenfunktion \(\Psi_{12}(x)\) zugeordnet werden. Wie Sie beim Vergleich der Schirmbilder sofort sehen können, ist es nicht sinnvoll die Wahrscheinlichkeiten \(P_1(x)\) und \(P_2(x)\) zu addieren, um die Wahrscheinlichkeit \(P_{12}(x)\) zu berechnen, denn wenn man die beiden Schirmbilder der Einzelspaltexperimente übereinanderlegt, entsteht nicht das beobachtete Interferenzbild.

Vielmehr müssen die Wellenfunktionen so konstruiert sein, dass das Quadrat der Beträge der kombinierten Wellenfunktionen die beobachtete Wahrscheinlichkeit auf dem Schirm liefert. Also

\[ \Psi_{12}(x) = \Psi_{1}(x) + \Psi_{2}(x)\]

Die Wahrscheinlichkeit für das Experiment mit beiden geöffneten Spalten ist dann:

\[ P_{12}(x) = | \Psi_{12}(x) |^2 = | \Psi_{1}(x) + \Psi_{2}(x) |^2\]

Jetzt kommt die mathematische Herausforderung:

  • \(| \Psi_1(x) |^2\) liefert für alle \(x\) eine positive Zahl zwischen 0 und 1, welche die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein Elektron an der Stelle \(x\) mit dem Schirm wechselwirkt, wenn der linke Spalt offen ist.
  • \(| \Psi_2(x) |^2\) liefert für alle \(x\) eine positive Zahl zwischen 0 und 1, welche die Wahrscheinlichkeit angibt, dass ein Elektron an der Stelle \(x\) mit einem Schirmelektron wechselwirkt, wenn der rechte Spalt offen ist.

Wenn Sie die Schirmbilder bei nur einem geöffneten Spalt mit dem Schirmbild bei geöffnetem Doppelspalt vergleichen, sehen Sie, dass an manchen Orten wo mit nur einem geöffneten Spalt Wechselwirkungen beobachtet werden konnten, bei zwei geöffneten Spalten keine Wechselwirkung mehr beobachtet wird. Die Kombination der Wahrscheinlichkeitswellen an diesem Ort muss eine Wechselwirkungswahrscheinlichkeit vom Wert Null liefern. Wenn man folglich \(\Psi_1(x)\) und \(\Psi_2(x)\) kombiniert und das Quadrat des Betrags \(| \Psi_{1}(x) + \Psi_{2}(x) |^2\) berechnet, soll beim geöffnetem Doppelspalt an den Orten destruktiver Interferenz (Minimum) an einer Stelle \(x\) auf dem Schirm, wo vorher die Wahrscheinlichkeit in beiden Fällen positiv war, eine Wahrscheinlichkeit \(P_{12}(x) = 0\) berechnet werden.

Ein Beispiel:
Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein Elektron mit dem Schirm wechselwirkt sei 1. Wir wählen einen zufälligen Ort \(x\) auf dem Schirm und nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeit für die Wechselwirkung an diesem Ort in den beiden Einzelspaltexperimenten \(| \Psi_{1}(x) |^2 = 0.001\) und \(| \Psi_{2}(x) |^2 = 0.005\) beträgt. Wenn man den Wert der Wellenfunktion zurückrechnet, folgt:

\(| \Psi_{1}(x) | = \pm \sqrt{0.001}\) und \(| \Psi_{2}(x) | = \pm \sqrt{0.005}\). Der Betrag ist per Definition immer positiv, also folgt: \(\Psi_{1}(x) = \sqrt{0.001}\) und \(\Psi_{2}(x) = \sqrt{0.005}\).

Um die Wechselwirkungswahrscheinlichkeit bei beiden geöffneten Spalten zu berechnen, bildet man die Summe der Wellenfunktionen am Ort \(x\) und es folgt: \(\Psi_{1}(x) + \Psi_{2}(x) = \sqrt{0.001} + \sqrt{0.005}\). Damit kann man die neue Wechselwirkungswahrscheinlichkeit berechnen:

\[ P_{12}(x) = | \Psi_{12}(x) |^2 = | \Psi_{1}(x) + \Psi_{2}(x) |^2 = | \sqrt{0.001} + \sqrt{0.005} |^2 > 0\]

Das Quadrat des Betrags der Summe aus zwei Wurzeln, die beide größer als Null sind, ist selbst wieder positiv und kann niemals Null sein. Wenn die Wahrscheinlichkeiten, bei den Einzelspaltversuchen an einem gleichen Ort \(x\) auf dem Schirm eine Wechselwirkung des Elektrons mit dem Schirm zu beobachten, jeweils größer als Null war, kann daraus keine Wahrscheinlichkeit resultieren, deren Wert 0 ist, wie es das beobachtete Interferenzbild fordern würde. Die Modellierung passt nicht zum Experiment!

Im Kapitel "Mach-Zehnder-Interferometer" haben Sie eine Methode kennengelernt, wie man die Interferenz mehrerer Wahrscheinlichkeitswellen modellieren kann, so dass aus zwei positiven Wahrscheinlichkeiten eine Wahrscheinlichkeite von 0 berechnet werden kann:

  • Jeder Wahrscheinlichkeitswelle wird ein rotierender Zeiger zugeordnet
  • Am Interferenzort addiert man vektoriell die Zeiger zu einem resultierenden Zeiger
  • Das Quadrat der Länge des resultierenden Zeigers liefert die Wahrscheinlichkeit das Quantenobjekt an diesem Ort zu messen

Es wäre geschickt, wenn man einen rotierenden Zeiger mathematisch so darstellen könnte, dass man damit rechnen kann. Die Mathematiker haben sich einen Formalismus ausgedacht, wie man einen rotierenden Zeiger mit Hilfe einer Funktion darstellen kann:

  • Die Projektion des Zeigers auf die x-Achse kann mit dem Kosinus des Rotationswinkels angegeben werden und wird Realteil des Zeigers genannt. Die x-Werte laufen von -1 bis +1.
  • Die Projektion des Zeigers auf die y-Achse kann mit dem Sinus des Rotationswinkels angegeben werden und wird Imaginärteil des Zeigers genannt. Die y-Werte laufen von -i bis +i.
  • Eine bestimmte Position des Zeigers bekommt man durch Kombination des Realteils und des Imaginärteils. Die Kombination \(z = \cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)\) nennt man eine komplexe Zahl.

Durch die Angabe einer komplexen Zahl \(z = a + i \cdot b\) mit \(a = cos(\phi)\) und \(b = sin(\phi)\) kann also die Position eines Zeigers eindeutig festgelegt werden. Diesen Ansatz können Sie in der folgenden Simulation nachvollziehen:

In einem neuen Fenster starten: Komplexer Zeiger

An der Uni wird gezeigt, dass der Ausdruck \(\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)\) kurz in der Form \(e^{i \cdot \phi}\) geschrieben werden kann, also

\[ e^{i \cdot \phi} = \cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)\]

Damit kann man einen rotierenden Wahrscheinlichkeitszeiger mit Hilfe der Funktion \(e^{i \cdot \phi}\) mathematisch modellieren. Diese mathematische Formulierung bleibt der Uni vorbehalten und wir beschränken uns am Gymnasium weiter auf die visuelle Darstellung als rotierenden Zeiger und die Wellendarstellung.


Visualisierung der Wellenfunktion

Die folgende animierte Visualisierung stellt eine rein sinusförmige Wellenfunktion in einer Dimension dar, die ein freies Quantenobjekt modelliert:

  • Wegen \(\lambda = \frac{h}{p}\) ist der Impuls indirekt proportional zu Wellenlänge.
  • Das Quantenobjekt bewegt sich kräftefrei, so dass die potentielle Energie Null ist.
  • Die Geschwindigkeit des Quantenobjekts ist so gering, dass es nichtrelativistisch modelliert werden kann.
  • Damit ist die Phasengeschwindigkeit der Wellenfunktion direkt proportional zum Impuls.

Es gibt zwei Darstellungsarten:

1) real/imaginär: Der Realteil der Wellenfunktion (Kosinus) wird orange modelliert und der Imaginärteil der Wellenfunktion (Sinus) wird blau modelliert. Setzt man diese beiden Anteile zusammen wird der rotierende Zeiger modelliert, wie Sie in der letzten Simulation gelernt haben.

2) Dichte/Phase: Wenn man das Quadrat des Betrags der Wahrscheinlichkeitswelle berechnet, erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichte. Diese wird als Wert über Null angegeben.

Die Phase des rotierenden Zeigers wird in einer Farbcodierung des optischen Farbspektrums kodiert:

  • rot = rein real und positiv
  • hellgrün = rein imaginär und positiv
  • cyan = rein real und negativ
  • lila = rein imaginär und negativ
  • worauf wieder rot folgt. Die Zwischenfarbwerte modellieren dann die Zwischenphasen.

Da nur eine Sinusfunktion in der Wellenfunktion vorhanden ist, kann dem Quantenobjekt ein bestimmter Impuls zugeordnet werden, für den gilt: \(p = \frac{h}{\lambda}\). Da die Unbestimmtheit \(\Delta p\) des Impulses Null ist, folgt aus der Heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation, dass die Unbestimmtheit des Ortes \(\Delta x\) unendlich groß sein muss, damit die Unbestimmtheitsrelation \(\Delta p \cdot \Delta x \geq h\) erfüllt ist. Der Ort des Quantenobjekts ist also vollkommen unbestimmt, weswegen die Wahrscheinlichkeitsdichte überall gleich groß ist.


Wellenpakete

Im Gedankenexperiment zu Beginn dieses Kapitels haben wir überlegt, dass ein Quantenobjekt nicht auf einer bestimmten Bahn von der Quelle auf einen Schirm fliegt, sondern dass es zufällig an einem bestimmten Schirmort wechselwirkt. Beim Doppelspaltexperiment haben Sie gesehen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Schirm einem Interferenzmuster ähnelt und es Schirmorte gibt, an denen keine Quantenobjekte beobachtet werden.

Im letzten Kapitel haben Sie gelernt, dass einem Quantenobjekt bei einer Wechselwirkung mit dem Schirm abhängig vom Wechselwirkungort ein anderer Impuls zugeordnet werden muss. Wegen \(\lambda = \frac{h}{p}\) ist die Wellenlänge der Wellenfunktion indirekt proportional zum Impuls des Quantenobjekts.

Jedem möglichen Weg von der Quelle zum Schirm wird eine Wahrscheinlichkeitswelle zugeordnet. Die Wellenlängen dieser Wahrscheinlichkeitswellen unterscheiden sich, denn wir beobachten eine Vielfalt an möglichen Impulsen des Quantenobjekts bei einer Messung. Ohne eine Welcher-Weg-Messung befinden sich diese Wahrscheinlichkeitswellen in Superposition und an jedem Schirmort muss die Superposition ausgewertet werden. Mathematisch kann man diese Vielfalt an Wellenfunktionen unterschiedlicher Wellenlängen zu einer einzigen resultierenden Welle kombinieren.

Superposition zweier Wellen mit unterschiedlicher Wellenlänge

Wenn bereits zwei Sinuswellen überlagert werden, deren Frequenzen nicht übereinstimmen, kann man als resultierende Welle eine Welle erzeugen, bei der es Orte mit großer Amplitude und Orte mit kleiner Amplitude gibt.

In einem neuen Fenster starten: Schwebung

Superposition vieler Wellen mit gleicher Wellenlänge aber unterschiedlicher Amplitude

Wenn sehr viele Wellen mit gleicher Wellenlänge und Freuquenz aber unterschiedlicher Amplitude kombiniert werden, entsteht ein sogenanntes Wellenpaket bei welchem an vielen Orten eine nur geringe Amplitude und an wenigen Orten ein große Amplitude beobachtet wird.

In einem neuen Fenster starten: Wellenpaket

Breite und schmale Wellenpakete

Wenn die Anzahl geeigneter Sinuswellen, die sich überlagern, klein ist, bekommt man ein breites Wellenpaket. Wenn man immer mehr geeignete Sinuswellen überlagert, entsteht ein Wellenpaket, das auf einen immer kleineren Raumbereich beschränkt ist. Dieses Verhalten können Sie in der folgenden Simulation beobachten:

In einem neuen Fenster starten: Wellenpaket und Unschärferelation

Jehr mehr Wellen überlagert werden, desto schmaler wird der Bereich, in dem wir eine Amplitude beobachten (Wellenpaket). Die Amplitude modelliert die Wechselwirkungswahrscheinlichkeit. Wenn also das Quantenobjekt genau an einem bestimmten Ort lokalisiert werden soll (sehr enger Spalt), dann erzeugt die Präparation des Experiments "kleine Spaltöffnung" eine Wellenfunktion mit sehr vielen sich überlagernden Teilwellen. Da jede einzelne dieser Teilwellen eine andere Wellenlänge hat und jede Wellenlänge einen anderen Impuls modelliert (\(p = \frac{h}{\lambda}\)), entsteht ein Wellenpaket mit einer großen Unbestimmtheit des Impulses und das Elektron kann an vielen möglichen Schirmorten wechselwirken (Schirmbild bei sehr kleinem Spalt - linkes Schirmbild in der folgenden Abbildung).

Wenn der Impuls des Quantenobjekt bestimmter werden soll (nur enger Bereich der möglichen Wechselwirkungen auf dem Schirm), dann muss für seinen Impuls in der Wellenfunktion weniger mögliche zufällige Werte vorhanden sein. Dazu muss die Anzahl der sich überlagernden Wellen verringert werden, damit im Wellenpaket weniger Wellenlängen vorhanden sind. Wie Sie in der Simulation gesehen haben, führt eine Verringerung der Anzahl sich überlagernder Wellen zu einer Verbreiterung des Wellenpakets und damit zu einer größeren Unbestimmtheit des Ortes. Die Verringerung der Unbestimmtheit des Impulses (enges Schirmbild) kann nur dadurch erreicht werden, dass die Ortsbestimmtheit verringert wird (große Spaltöffnung - rechtes Schirmbild).

Damit haben wir ein Modell entwickelt, mit welcher die Beobachtungen (enger Spalt - breites Schirmbild; breiter Spalt - enges Schirmbild) erfolgreich modelliert werden kann:

  • wenn man den Ort eines Quantenobjekts genauer beschreiben möchte, muss man dazu mehr Wellenlängen zum Wellenpaket hinzufügen, damit das Wellenpaket sich über einen kleineren Raumbereich erstreckt. Wenn zur Beschreibung des Quantenobjekts aber mehr Wellenlängen verwendet werden, dann gibt es mehr Impulsmöglichkeiten im Fall einer Messung, die das Quantenobjekt zufällig annehmen kann, weswegen die Impulsunschärfe zunimmt.
  • wenn man den Impuls des Quantenobjekts genauer beschreiben möchte, müssen weniger Wellenlängen verwendet werden, damit bei einer Messung weniger zufällige Impulsmöglichkeiten zur Verfügung stehen. Mit weniger Wellenlängen wird das Wellenpaket aber größer, so dass der Raum in dem man das Quantenobjekt bei einer Ortsmessung zufällig mißt, größer wird.

Jetzt muss ein Wellenpaket nur noch mathematisch formuliert werden. Wie das geht, können Sie dann an der Uni lernen. Das Wellenpaket wird nicht explizit angegeben, vielmehr wird für eine bestimmte Präparation eines Experiments eine Gleichung formuliert, deren Lösungen Wellenpakete sind, die das Experiment geeignet modellieren.


Visualisierung der Wellenpakete von Quantenobjekten

Die folgende animierte Visualisierung zeigt die zeitliche Entwicklung eines eindimensionalen nicht relativistischen Wellenpakets, das aus der Überlagerung von sinusförmigen Wellenfunktionen entsteht. Auf das Quantenobjekt wirken in dem Bereich keine Kräfte. Die Wellenfunktion hat am Rand des Bereichs den Wert Null, so dass das Quantenobjekt in einem Potentialtopf mit unendlich hohen Wänden gefangen ist und die Wellenfunktion des Quantenobjekts am Rand reflektiert wird. Die Simulation löst eine zeitabhängige Schrödinger-Gleichung um die Wellenfunktionen zu modellieren.

In einem neuen Fenster starten: Wellenpakete von Quantenobjekten

Wellenfunktionen oder Wellenpakete als Überlagerung vieler Wellenfunktionen existieren nicht real, sondern sind mathematische Modelle, mit welchen man Wahrscheinlichkeiten berechnen kann, ein Quantenobjekt an einem zufälligen Ort mit einem zufälligen Impuls zu messen. Bei einer Messung misst man immer ein Quantenobjekt an einem bestimmten Ort mit einem bestimmten Impuls. Ein Quantenobjekt wird immer als Teilchen gemessen. Die Ausbreitung eines Quantenobjekts wird mit den Wellenfunktionen modelliert. Was das Quantenobjekt während der Ausbreitung vor der Messung ist, weiß man nicht.


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