Quantenelektrodynamik


Quantenfeldtheorie

Die ursprüngliche Quantenmechanik ist bereits 100 Jahre alt und wie Sie sich vorstellen können, wurden inzwischen modernere Theorien entwickelt. In diesem Kapitel wird Ihnen als Ausblick die Quantenfeldtheorie am Beispiel der Quantenelektrodynamik vorgestellt. Natürlich ist der Inhalt nicht abiturrelevant.

Ein kurze Einführung in die Idee der Quantenfeldtheorien finden Sie im folgenden Video von Dr. Don Lincoln: Quantum Field Theory.

In der Quantenelektrodynamik modelliert man Elektronen und Photonen wie folgt:

  • Man nimmt an, dass ein Elektronenquantenfeld existiert und dass ein Elektron eine Oszillation des Elektronenquantenfelds ist.

  • Man nimmt an, dass ein Photonenquantenfeld existiert und dass ein Photon eine Oszillation des Photonenquantenfelds ist.

  • "Ein Elektron emittiert ein Photon" bedeutet, dass das Elektronenquantenfeld aufgrund einer Wechselwirkung mit dem Photonenquantenfeld Energie verliert und das Photonenquantenfeld aufgrund dieser Wechselwirkung Energie gewinnt.

  • "Ein Elektron absorbiert ein Photon" bedeutet, dass das Elektronenquantenfeld aufgrund einer Wechselwirkung mit dem Photonenquantenfeld Energie gewinnt und das Photonenquantenfeld aufgrund dieser Wechselwirkung Energie verliert.

Die elektromagnetische Wechselwirkung, also alle elektrischen und magnetischen Phänomene können auf die Wechselwirkung zwischen Photonen und geladenen Quantenobjekten zurückgeführt werden. Aus diesem Grund bezeichnet man das Photon auch als Austauschboson der elektromagnetischen Wechselwirkung.

Dr. Don Lincoln hat in seinem Video erwähnt, dass die Mathematik der Quantenfeldtheorie extrem kompliziert ist. Richard P. Feynman hat sich einen anschaulichen Ansatz ausgedacht, mit welchem Sie die grundlegenden Ideen nachvollziehen können. In dem Buch "QED, Die seltsame Theorie des Lichts und der Materie" hat Richard P. Feynman diesen Ansatz vorgestellt. Joseph Gaßner stellt in seinem Video zur Quantenfeldtheorie, das am Ende dieses Kapitels verlinkt ist, weitere Beispiele vor. Einige der Beispiele werden Ihnen in diesem Kapitel interaktiv vorgestellt.


Beispiel 1: Reflexion an einer Glasscheibe

An Grenzflächen zwischen durchsichtigen optischen Medien wie Luft und Glas beobachtet man Reflektion von Licht. In einem Experiment soll ein einzelnes Photon von einer Einphotonenquelle in Richtung einer Glasscheibe emittiert werden. Oberhalb der Glasscheibe befindet sich ein Photonendetektor und unterhalb der Glasscheibe befindet sich ein weiterer Photonendetektor:

Wenn man das Experiment durchführt, stellt man fest, dass manche Photonen vom oberen Detektor registriert werden, während andere Photonen vom Detektor unterhalb der Glasscheibe detektiert werden. Von welchem Detektor ein Photon detektiert wird, ist nicht vorhersagbar, man stellt aber fest, dass deutlich mehr Photonen vom Detektor unterhalb der Glasscheibe gemessen werden. Wenn man die Dicke der Glasscheibe verändert, stellt man fest, das bei manchen Dicken kein einziges Photon den oberen Detektor erreicht, während bei anderen Dicken bis zu 16% aller emittierten Photonen vom oberen Detektor detektiert werden.

Wenn man das klassische Lichtmodell "Licht ist eine elektromagnetische Welle" zur Modellierung dieses Experiments verwendet und viel Licht gleichzeitig aussendet, kann dieses Verhalten leicht modelliert werden:

  • Die Lichtwellen erreichen die Oberseite und Unterseite der Glasscheibe.
  • Jeder Punkt der Glasscheibe ist nach dem Huygenschen Prinzip ein Ausgangspunkt für Elementarwellen, die sich kugelförmig ausbreiten.
  • Wenn die Kugelwellen konstruktiv interferieren, registriert der Detektor Licht. Wenn die Kugelwellen destruktiv interferieren, bleibt der Detektor still.
  • Die Interferenz der Kugelwellen ist abhängig von der Wellenlänge des Lichts und der Dicke der Glasscheibe, denn dadurch wird der Gangunterschied der Elementarwellen geregelt.

Es hat sich gezeigt, dass es für ein einzelnes Photon grundsätzlich unmöglich ist vorherzusagen, ob es den oberen oder unteren Detektor erreicht. Man kann für jeden Detektor je nach Farbe des Lichts und Dicke der Glasscheibe nur eine Wahrscheinlichkeit angeben, welchen Detektor es erreichen wird. Im Modell der Quantenelektrodynamik (QED) nimmt man an, dass das Photonenquantenfeld den gesamten Raum ausfüllt. Übertragen auf die Modellierung dieses Experiments bedeutet das, dass man annimmt, dass ein Photon jeden möglichen Pfad von der Quelle zum Ziel geht. Sie müssen sich in diesem Modell also endgültig davon verabschieden, sich ein Photon als etwas vorzustellen, was als Energiepaket durch die Gegend fliegt.

Nach der Emission eines Photons befindet sich das Photonenquantenfeld in einem angeregten Zustand, da durch die Emission eines Photons dem Quantenfeld Energie zugeführt wurde. Wenn die Detektoren eingeschaltet sind, stehen Elektronen im Elektronenquantenfeld bereit, um mit dem Photonenquantenfeld wechselzuwirken. Welcher Detektor die Energie des Photonenquantenfelds aufnehmen wird ist zufällig und kann nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit vorhergesagt werden.

Die Methode der QED besteht darin, für jeden Pfade, den ein Photon von der Quelle zum Detektor geht, einen rotierenden Zeiger zu zeichnen. Die Länge des Zeigers wird festgelegt durch die maximal im Experiment beobachtete Wahrscheinlichkeit, wobei die Länge des Zeigers quadriert wird, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Bei der Reflexion von Photonen an einer Glasscheibt werden maximal 16% = 0,16 der Photonen am oberen Detektor gemessen.

In diesem ersten Beispiel nehmen wir vereinfachend an, dass es nur zwei mögliche Pfade gibt, auf denen ein Photon den Detektor erreichen kann. Wir betrachten im folgenden auch nur geradlinige Pfade. Für jeden der beiden Pfade wird ein rotierender Zeiger gezeichnet, der \(0,2\) lang ist, denn \((0,2 + 0,2)^2 = 0,4^2 = 0,16\). Jeder Zeiger rotiert solange, bis das Photon auf dem gewählten Pfad den Detektor erreicht. Die Zeit wird bestimmt, indem die Länge des Pfads durch die Lichtgeschwindigkeit geteilt wird (Aus \(v = \frac{s}{t}\) wird \(t = \frac{s}{v}\)). Der Zeiger rotiert je nach Farbe des Lichts unterschiedlich schnell.

Sobald beide Zeiger zum Stillstand gekommen sind, da das Photon den Pfad mit Lichtgeschwindigkeit durchlaufen hat, werden die Zeiger vektoriell addiert und die resultierende Länge quadriert. Die damit berechnete Zahl gibt die Wahrscheinlichkeit an, bei dieser Lichtfarbe und Glasscheibendicke das Photon beim oberen Detektor zu messen. Da die Lichtgeschwindigkeit in der Größenordnung \(10^8 \, \tfrac{m}{s}\) ist und die Frequenz des Zeigers in der Größenordnung \(10^{14} \, \tfrac{1}{s}\) ist, wird in der Simulation alles extrem verlangsamt dargestellt. Die Simulation soll also nur die Idee darstellen, wie man die Wahrscheinlichkeit bestimmen kann.

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Diesen Ansatz kennen Sie bereits aus den letzten Kapiteln, wobei wir die möglichen Wege so gedacht haben, dass wir nicht wissen, was das Photon zwischen Quelle und Ziel macht. Jetzt nehmen wir an, dass durch die Emission eines Photons das gesamte Photonenquantenfeld in einen angeregten Zustand übergeht und damit die Nichtlokalität des Photons fester Bestandteil der Modellierung ist. Erst im Moment einer Wechselwirkung wird die Energie der Feldanregung an einem Ort lokalisiert.


Beispiel 2: Reflexion an einem Spiegel

Modellierung:

  • Die Wahrscheinlichkeit des Eintritts eines Ereignisses (z.B. Detektor klickt) ist gleich dem Quadrat der Länge eines Zeigers, den wir als Wahrscheinlichkeitsamplitude bezeichnen.
  • Kann ein Photon den Detektor auf verschiedenen Pfaden erreichen, wird für jeden Pfad ein Zeiger gezeichnet. Alle Zeiger sind in guter Näherung gleich lang, denn die Wahrscheinlichkeit ist für jeden Pfad in guter Näherung gleich groß. Der Zeiger rotiert je nach Farbe des Lichts schneller (z.B. blaues Licht) oder langsamer (z.B. rotes Licht) so lange, bis das Photon auf diesem Pfad mit Lichtgeschwindigkeit den Detektor erreicht hätte.
  • Alle Zeiger für alle möglichen Pfade werden vektoriell addiert, so dass wir den resultierenden Zeiger für diesen Vorgang erhalten (resultierende Wahrscheinlichkeitsamplitude). Das Quadrat der Länge des Zeigers liefert die Wahrscheinlichkeit, dass der Detektor klickt.

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Beispiel 3: Sammellinse

Sie wissen, dass man Licht mit Hilfe einer Sammellinse in einem Punkt bündeln kann. Dieses Phänomen soll jetzt mit Hilfe der QED modelliert werden.

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Beispiel 4: Doppelspalt

In einem neuen Fenster starten: QED - Doppelspalt


Beispiel 5: Heisenbergsche Unbestimmtheitsrelation

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Feynman-Diagramme

Bei der Wechselwirkung zwischen Photonen und Elektronen kann man sich sehr viele verschiedene Abläufe vorstellen. Diese werden in der Quantenfeldtheorie mit Hilfe von Feynman-Diagrammen visualisiert:


Anwendung der QED: Energieübertragung im Stromkreis

In der Unterstufe/Mittelstufe haben Sie für den Energietransport im Stromkreis vielleicht folgendes Modell kennengelernt: Im "Rucksack-Modell" stellt man sich den Stromkreis so vor, dass ein Elektron in der Spannungsquelle Energie bekommt und diese Energie in der Glühbirne wieder abgibt. Bei einer hohen Spannung bewegt sich ein energiegeladenes Elektron sehr schnell, bei einer geringen Spannung langsam. Manchmal wird auch das Modell so variiert, dass die Elektronen zwar gleich schnell fließen, aber unterschiedlich "stark" sind. Also schmächtige kleine Elektronen und muskelbepackte große Elektronen, wobei hier die Frage bleibt, was man sich physikalisch darunter vorstellen soll.

Mit diesem Modell der individuellen Energieübertragung durch einzelne Elektronen kann man jedoch Fragen nicht beantworten, die bereits in einem einfachen Stromkreis auftauchen. Betrachten wir einen Stromkreis mit drei in Reihe geschalteten baugleichen Glühbirnen.

Quelle: Iain Sharp

Man beobachtet, dass alle drei Glühbirnen gleich hell leuchten und zur gleichen Zeit zu leuchten beginnen. Woher weiss ein Elektron, dass es nur genau ein Drittel seiner Energie bei einer Glühbirne abgeben darf? Oder, wenn man annimmt, dass ein Elektron seine gesamte Energie zufällig bei einer der drei Glühbirnen abgibt, woher wissen die Elektronen, dass jeweils genau ein Drittel aller Elektronen die Energie bei einer der Glühbirnen abgibt. Wenn ein Elektron bei einer bzw. allen Glühbirnen seine Energie abgegeben hat, besitzt es keine Bewegungsenergie mehr. Warum misst man aber nach der Glühbirne die gleiche Stromstärke, wie vor der Glühbirne?

Neben dem Rucksackmodell haben sich Lehrkräfte weitere Modelle ausgedacht, um den Energietransport in einem Stromkreis durch Analogiebetrachtungen zu veranschaulichen. In manchen Modellen geben die Elektronen durch Stöße ihre Energie weiter, in anderen Modellen stellt man sich den Stromkreis in Analogie zu einem Wasserkreislauf vor oder man findet Modelle bei denen ein Metallring in der Batterie in Drehung versetzt wird und die Glühbirne als Bremse anzusehen ist. In der Literatur finden Sie weitere Vorstellungen.

Nach der QED bewegen sich Elektronen im Stromkreis von A nach B. Dabei senden die Elektronen spontan Photonen aus, welche von anderen Elektronen wieder aufgenommen werden. Die Photonen bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit, so dass die Energieübertragung fast augenblicklich geschieht. Die Energie in einem Stromkreis wird also durch Photonen übertragen, die von Elektronen emittiert (ausgesendet) und absorbiert (aufgenommen) werden.

Die Energie, welche durch die Spannungsquelle bereitgestellt wird, ist also fast augenblicklich überall im Stromkreis verfügbar. Die Elektronen in den drei gleichartigen Glühbirnen wechselwirken gleichzeitig mit den Elektronen des Stromkreises, indem sie Photonen austauschen. Dadurch entnehmen baugleiche Glühbirnen gleichzeitig die gleiche Energiemenge dem Stromkreis. Da die Glühbirnen die elektrische Energie in Licht und Wärme umwandeln, verringert sich die im Stromkreis verfügbare Energie, so dass den Elektronen weniger Energie für ihre Bewegung im Stromkreis zur Verfügung steht. Die Folge ist, dass die messbare Stromstärke abnimmt.


Grenzen der Quantenelektrodynamik

Wenn man die makroskopische Welt modellieren möchte, könnte man das mit der QED machen, aber die Anzahl der beteiligten Photonen und Elektronen ist dabei so unermesslich groß, dass man unverhältnismäßig viel Aufwand betreiben müsste.

Das ist so ähnlich wie mit den Einsen und Nullen in der Informatik. Man kann zeigen, dass mit den drei Objekten 1, 0 und Plus alle denkbaren Algorithmen nachgebaut werden können. Aber kein/e Programmier*Innen, die in endlicher Zeit eine Software fertigstellen sollen, kämen auf die Idee den Quellcode mit 1 und 0 aufzuschreiben und eine Hardware zu verwenden, die nur addieren kann. Kein Auftraggeber würde die notwendige Zeit bezahlen, um eine Software auf diese Weise zu programmieren. Vielmehr wurden "Hochsprachen" wie C, Java oder JavaScript entwickelt, mit denen leicht verständlicher Programmiercode geschrieben werden kann. Fortgeschrittene Compiler oder Interpreter wandeln dann den leicht lesbaren Programmiercode in eine Abfolge von 1en und 0en um, die der Computer dann ausführen kann.

In der QED gibt es wenige einfache Regeln, um vorherzusagen, wie Experimente mit einzelnen Elektronen und Photonen ausgehen werden. Je genauer man die Experimente modellieren möchte oder je mehr beteiligte Photonen und Elektronen es gibt, desto komplexer wird es, diese Regeln anzuwenden. Deswegen wurden auch in der QED "Hochtheorien" entwickelt, mit denen viele einzelne Operationen zusammengefasst werden können. Der Preis dafür ist, dass die "Hochtheorien" sehr fortgeschrittene Mathematik verwenden und man viele Jahre Mathematik trainieren muss, bevor man diese "Hochtheorien" verstehen und verwenden kann.

Man kann aber sagen, dass alle Vorgänge in der makroskopischen Welt (auch Chemie, Biologie, Geologie,...) mit Hilfe der QED modelliert werden können - mit Ausnahme der Gravitation und den Vorgängen im Atomkern, für die es eigene Theorien gibt (Quantenchromodynamik, Quantenflavordynamik und die allgemeine Relativitätstheorie).

Drei dieser Theorien (QED, QCD und QFD) konnten bereits erfolgreich zu einer übergeordneten Theorie zusammengefasst werden: dem Standardmodell der Elementarpartikel.


Video-Empfehlung