Wellengleichung


Bezug zum Kerncurriculum:
Ich kann den Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Frequenz angeben, diesen Zusammenhang mithilfe der Zeigerdarstellung oder der Sinusfunktion begründen und die zugehörige Gleichung anwenden.


Sinuskurve einer Schwingung

In der folgenden Simulation wird die Auslenkung eines Oszillators über der Zeit in einem Graphen dargestellt.

Experiment: Sinuskurve einer Schwingung

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Trägt man die Schwingung eines harmonisch schwingenden Oszillators über der Zeit auf, entsteht eine Sinuskurve.


Sinuskurve einer Welle

In der folgenden Simulation wird die Auslenkung vieler zusammenhängender Oszillatoren in einem Graphen dargestellt.

Experiment: Sinuskurve einer Welle

In einem neuen Fenster starten: Wellenarten

Trägt man die Auslenkung der vielen Oszillatoren einer Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt über dem Ort der Oszillatoren ab, entsteht eine Sinuskurve, wenn die Oszillatoren harmonisch schwingen.


Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle

Wir betrachten im folgenden harmonische Wellen. Das sind Wellen, deren Oszillatoren durch rotierende Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit modelliert werden können.

Die Schwingung eines jeden einzelnen Oszillators der Welle kann mit folgender Sinusfunktion beschrieben werden:

\[ s(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t) = A \cdot \sin(2 \pi \cdot f \cdot t) = A \cdot \sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right )\]

mit Auslenkung \(s\), Amplitude \(A\), Winkelgeschwindigkeit \(\omega\), Frequenz \(f\), Periodendauer \(T\), Zeit \(t\).

Zwischen den Oszillatoren wirkt eine Kraft, so dass aufgrund der Auslenkung des ersten Oszillators der zweite ausgelenkt wird, deswegen der dritte, ... Man sagt auch, dass sich die Störung bzw. Phase ausbreitet. Die Geschwindigkeit \(c\) (Phasengeschwindigkeit), mit der sich die Phase ausbreitet, hängt von der Größe der Kopplungskraft ab. Je größer diese ist, desto schneller breitet sich die Phase aus. Wenn die Phase einen Ort \(x_1\) erreicht hat, beginnt der Oszillator, der sich an diesem Ort befindet an zu schwingen.

Für die Phasengeschwindigkeit \(c\) gilt \(c = \frac{x_1}{t_1}\). Diese Gleichung löst man nach der Zeit auf. Ein Oszillator, der sich in der Entfernung \(x_1\) vom ersten Oszillator befindet, beginnt nach der Zeit \(t_1\) an zu schwingen. Es gilt:

\[ t_1 = \frac{x_1}{c}\]

Der Ozillator am Ort \(x_1\) schwingt genauso wie der erste Oszillator, aber beginnt seine Schwingung später, nämlich zum Zeitpunkt \(t-t_1\), wenn man mit \(t\) die Zeit angibt, die vergangen ist, nachdem der erste Oszillator seine Schwingung begonnen hat. Die Schwingungsgleichung für den Oszillator am Ort \(x_1\) lautet dann:

\[ s_\text{x_1}(t) = A \cdot \sin \left(\omega \cdot (t - t_1) \right)\]

Diese Gleichung soll jetzt so weiter entwickelt werden, dass man damit die Schwingung eines jeden Oszillators der Welle modellieren kann. Dazu wird die Zeit \(t_1\), welche die Welle benötigt um einen Ort \(x_1\) zu erreichen, ersetzt mit \(t_1 = \frac{x_1}{c}\):

\[ s_\text{x_1}(t) = A \cdot \sin \left(\omega \cdot \left( t - \frac{x_1}{c} \right) \right)\]

Wenn man diese Gleichung auf jeden Ort \(x\) der Welle anwenden möchte, ersetzt man \(x_1\) allgemein mit \(x\) und fügt \(x\) als zweite Variable in das Argument der Auslenkung \(s\) ein:

\[ s(x, t) = A \cdot \sin \left(\omega \cdot \left( t - \frac{x}{c} \right) \right)\]

Für die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) gilt: \(\omega = \frac{2 \pi}{T}\), so dass folgt:

\[ s(x, t) = A \cdot \sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot \left( t - \frac{x}{c} \right) \right)\]

Der Abstand zweier Oszillatoren einer Welle, die genau gleich schwingen, nennt man die Wellenlänge \(\lambda\) der Welle. In der Periodendauer \(T\), also der Zeit, die ein Oszillator für eine vollständige Schwingung benötigt, legt die Phase der Welle genau eine Wellenlänge \(\lambda\) zurück (siehe folgende Simulation).

Es gilt also:

\[ c = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{\lambda}{T}\]

und damit gilt für den Zusammenhang zwischen Phasengeschwindigkeit \(c\), Periodendauer \(T\), Frequenz \(f\) und Wellenlänge \(\lambda\):

\[ \lambda = c \cdot T = c \cdot \frac{1}{f} \,\,\,\, \text{oder} \,\,\,\ c = \lambda \cdot f\]

In der Wellengleichung kann man die innere Klammer mit der Periodendauer \(T\) ausmultiplizieren und \(c \cdot T\) mit \(\lambda\) ersetzen:

\[ \begin{align} s(x, t) &= A \cdot \sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot \left( t - \frac{x}{c} \right) \right) \\ &= A \cdot \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{c \cdot T} \right) \right) \\ &= A \cdot \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right) \end{align}\]

Mit Hilfe dieser Wellengleichung kann die Auslenkung \(s(x, t)\) eines Oszillators am Ort \(x\) zum Zeitpunkt \(t\) berechnet werden:

\[ s(x,t) = A \cdot \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right)\]

In der folgenden Simulation können Sie die Wellengleichung und die Bedeutung der Parameter in der Wellengleichung studieren.

Experiment: Die Wellengleichung

In einem neuen Fenster starten: Wellengleichung


Die Wellengleichung kann noch kürzer geschrieben werden:

  • die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) ist \(\omega = \frac{2 \pi}{T}\) und beschreibt die Winkelgeschwindigkeit des Zeigers, mit welchem die Schwingung eines Oszillators beschrieben werden kann
  • die Wellenzahl \(k\) ist \(k = \frac{2 \pi}{\lambda}\) und beschreibt, wie viele Wellen auf das Bogenmaß \(2 \pi\) passen.

Damit folgt:

\[ \begin{align} s(x,t) &= A \cdot \sin \left( 2 \pi \cdot \left( \frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda} \right) \right) \\ s(x,t) &= A \cdot \sin \left( \frac{2 \pi \cdot t}{T} - \frac{2 \pi \cdot x}{\lambda} \right) \\ s(x,t) &= A \cdot \sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t - \frac{2 \pi}{\lambda} \cdot x \right) \\ s(x,t) &= A \cdot \sin \left( \omega \cdot t - k \cdot x \right) \\ \end{align}\]

Die Wellengleichung in Kurzschreibweise: \(s(x,t) = A \cdot \sin \left( \omega \cdot t - k \cdot x \right)\)


Übungsaufgabe 1

A1.1: In einer transversalen mechanischen Welle schwingt der erste Oszillator in einer Minute \(42\) mal auf und ab. Berechnen Sie die Periodendauer \(T\) und die Frequenz \(f\) des Oszillators.

A1.2: In der betrachteten Welle sind benachbarte Oszillatoren so gekoppelt, dass ein Oszillator der \(7,2 \, \text{m}\) vom ersten Oszillator entfernt ist, nach \(5,0 \, \text{s}\) zu oszillieren beginnt. Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit \(c\) der Welle.

A1.3: Berechnen Sie die Wellenlänge \(\lambda\) der Welle.


Übungsaufgabe 2

A2.1: Sie stehen am Ufer eines Sees und beobachten die Schwimmbojen, welche den Nichtschwimmerbereich begrenzen. Aufgrund des Windes gibt es leichte Wellen auf dem See. Sie erinnern sich an den Physikunterricht und wollen die Wellenlänge der Wasserwellen ermitteln. Die DLRG-Betreuer teilen Ihnen mit, dass zwei Bojen etwa \(6 \, \text{m}\) voneinander entfernt befestigt sind. In einer Messzeit von 2 Minuten zählen Sie 105 vollständige Auf- und Abbewegungen einer Boje. Wenn eine Boje ihren Wellenberg erreicht hat, dauert es \(4,1 \, \text{s}\), bis die benachbarte Boje ihren Wellenberg erreicht. Berechnen Sie die Wellenlänge einer Wasserwelle.

A2.2: Wir modellieren den geraden Wellenzug, der durch die Bojen verläuft, vereinfachend als transversale Welle. Für die Auf- und Abbewegung der Bojen schätzt man einen Abstand von \(0,4 \, \text{m}\) zwischen Wellenberg und Wellental. Geben Sie eine geeignete Wellengleichung an, welche die Wasserwelle modelliert.