Interferenz


Bezug zum Kerncurriculum:
Ich kann Interferenzphänomene beschreiben und deuten.
Ich kann die Zeigerdarstellung oder eine andere geeignete Darstellung zur Beschreibung und Deutung verwenden.
Ich kann die Schwebung als Überlagerung zweier Wellen unterschiedlicher Frequenz an einem Detektor deuten.


Interferenz von Wellen

Wellen, wie Schallwellen, Wasserwellen, elektromagnetische Wellen,... breiten sich im Raum aus. Wir betrachten jetzt eine Situation in der zwei Wellensender vorhanden sind. Wenn jeder der beiden Sender eine Welle aussendet, dann treffen sich in einem gewählten Raumpunkt zwei Wellenzüge. Der Oszillator in diesem Raumpunkt wird von den beiden ankommenden Wellenzügen beeinflusst, so dass seine Oszillation (Schwingungsbewegung) eine Folge der Überlagerung der beiden Wellen in diesem Punkt ist. Die Überlagerung der beiden Wellenzüge in einem Raumpunkt nennen wir Interferenz der Wellenzüge.

Wenn Wellensender ihre Wellenzüge aussenden, breiten sich diese in dem Raum aus, der für die Oszillation zur Verfügung steht:

  • Bei einer Seilwelle breitet sich die Welle entlang des Seils aus.
  • Eine Wasserwelle breitet sich auf der Wasseroberfläche aus.
  • Eine Schallwelle breitet sich in einem Medium aus, bei dem Moleküle um ihre Ruhelage schwingen können (Gas, Flüssigkeit, Festkörper).
  • Eine elektromagnetische Welle (z.B. Handy-Funk, WLAN-Signal, Licht) kann sich auch im leeren Raum ausbreiten, da die oszillierenden elektrischen und magnetischen Felder kein Trägermedium brauchen.

Die Oszillatoren einer Welle (z.B. Seilatome, Luftmoleküle, elektrische und magnetische Felder,...) schwingen um ihre Ruhelage, bleiben im zeitlichen Mittel aber an ihrer Position. Benachbarte Oszillatoren sind aneinander gekoppelt, weswegen Energie von einem Oszillator auf den nächsten übertragen wird. Da jeder Oszillator im zeitlichen Mittel seine Position nicht verändert, breitet sich nur die Schwingungsenergie im Raum aus.

  • Bei einer Seilwelle breitet sich die Schwingung entlang des Seils, also in einer Raumrichtung aus. Wenn keine Energie durch Reibung verloren geht, bleibt die Schwingungsenergie erhalten und die Oszillatoren schwingen alle mit gleicher Amplitude. Eine solche Welle nennt man eine eindimensionale Welle.

  • Bei einer Wasserwelle breitet sich die Schwingung auf der Wasseroberfläche, also in zwei Raumrichtungen, aus. Wenn der Wellensender pro Sekunde eine bestimmte Energiemenge aussendet (Sender-Leistung \(P\)), verteilt sich die Energiemenge auf alle Oszillatoren, die kreisförmig in einem Abstand \(r\) um den Sender angeordnet sind. Für den Umfang \(U\) eines Kreises mit dem Radius \(r\) gilt: \(U = 2 \pi \cdot r\). Die Anzahl der Oszillatoren, auf welche sich die Schwingungsenergie verteilt, nimmt also proportional zum Abstand zur Quelle zu.

  • Bei einer elektromagnetischen Welle (z.B. Licht) kann sich die Schwingung in den gesamten Raum, also in drei Raumrichtungen ausbreiten. Wenn eine Lichtquelle (z.B. eine LED) pro Sekunde eine bestimmte Energiemenge in alle Raumrichtungen abstrahlt, verteilt sich die Energie auf alle Oszillatoren, die kugelförmig in einem Abstand \(r\) um die Lichtquelle angeordnet sind. Für die Oberfläche \(O\) einer Kugel mit dem Radius \(r\) gilt: \(O = 4 \pi \cdot r^2\). Die Energiemenge, die pro Sekunde eine bestimmte Fläche durchdringt (z.B. 1 Joule pro Sekunde und pro Quadratzentimeter), nennt man die Intensität \(I\) der Welle. Da die Oberfläche der Kugel quadratisch mit dem Abstand größer wird, nimmt die Intensität \(I\) der Welle, also die Energiemenge, die sich pro Sekunde auf einen Quadratzentimeter verteilt, quadratisch mit dem Abstand \(r\) ab. Es gilt: \(I \sim \frac{1}{r^2}\).

Die Intensität ist proportional zum Quadrat der Amplitude der Welle: \(I \sim A^2\). Also gilt für die Amplitude der Welle abhängig vom Abstand zur Lichtquelle:

\[ \begin{align} A^2 &\sim I \sim \frac{1}{r^2} \\ A &\sim \sqrt{\frac{1}{r^2}} \\ A &\sim \frac{1}{r} \end{align}\]

Die Amplitude der Schwingung einer elektromagnetischen Welle halbiert sich also, wenn man den Abstand zur Lichtquelle verdoppelt. Das gilt auch für andere Wellen, die sich in den gesamten Raum ausbreiten, z.B. Schallwellen.


Modellierung der Interferenz

Zwei Wellenzüge, die von zwei Wellensendern ausgesandt wurden, transportieren Energie durch den Raum. Wir betrachten jetzt einen beliebigen, aber fest gewählten Ort im Raum, an dem sich die beiden Wellenzüge treffen. An dem gewählten Raumpunkt gibt es einen realen Oszillator, der in seiner Bewegung von den beiden ankommenden Wellenzügen beeinflusst wird. Die resultierende Bewegung des realen Oszillators kann kompliziert sein. Um das Verhalten des Oszillators modellieren zu können, gehen wir wie folgt vor:

  • In einem Raumpunkt denken wir uns für jeden Wellenzug, der von den beiden Wellensendern ausgesandt wurde, einen eigenen Oszillator, der unabhängig vom jeweils anderen Wellenzug schwingt. Wir nennen den Oszillator eines Wellenzugs einen virtuellen Oszillator, da dieser nur in unserer Vorstellung existiert (im Raumpunkt oszilliert immer nur der reale Oszillator). In einem Raumpunkt denken wir uns also zwei virtuelle Oszillatoren.

  • Die Oszillation der beiden virtuellen Oszillatoren in einem Raumpunkt setzen wir zu einer resultierenden Oszillation des realen Oszillators zusammen. Diese Überlagerung der beiden Schwingungen nennen wir Interferenz der beiden Wellenzüge im Raumpunkt.

  • Nach der Zusammensetzung der Oszillation der beiden virtuellen Oszillatoren zu einem resultierenden Oszillator, beschreibt der resultierende Oszillator die reale Oszillation der Welle in dem betrachteten Raumpunkt.

Wir betrachten im folgenden zwei Wellenzüge, die von zwei Sendern ausgesandt wurden, die beide mit gleicher Amplitude, gleicher Frequenz und gleicher Phase schwingen.

Abhängig von der Stärke der Kopplung der Oszillatoren breitet sich eine Welle schneller oder langsamer durch den Raum aus. Für den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) der Welle, der Wellenlänge \(\lambda\) und der Frequenz der Oszillatoren \(f\) gilt: \(c = \lambda \cdot f\). Die Wellenlänge \(\lambda\) einer Welle kann berechnet werden, wenn man die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) und die Frequenz \(f\) des Oszillators beim Wellensender kennt:

\[ \lambda = \frac{c}{f}\]

Wenn man die Wellenlänge der beiden Wellenzüge kennt, kann man die Interferenz an einem bestimmten Raumpunkt vorhersagen. Für jeden Wellenzug gilt, dass sich im Abstand einer Wellenlänge \(\lambda\) die Schwingung der Oszillatoren wiederholt:

Wenn der Weg zwischen dem Wellensender und dem Interferenzort bei dem ersten Wellenzug genau 10 Wellenlängen lang ist und der Weg zwischen dem Wellensender und dem Interferenzort beim zweiten Wellenzug 15 Wellenlängen lang ist, dann wissen wir, dass die virtuellen Oszillatoren der beiden Wellenzüge am Interferenzort im Gleichtakt schwingen müssen. Das gilt immer dann, wenn die Differenz der Länge der Wellenzüge eine volle Wellenlänge lang ist, denn dann trifft am Interferenzort ein Wellenberg auf ein Wellenberg bzw. ein Wellental auf ein Wellental.

Um die Interferenz richtig vorhersagen zu können, genügt es also, wenn man nur die Differenz der Entfernung zwischen den beiden Wellensendern und dem Interferenzort betrachtet. Diese Entfernung nennt man Gangunterschied \(\Delta s\) der beiden Wellenzüge.

Wenn der Gangunterschied \(\Delta s\) der beiden Wellenzüge am Interferenzort ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\) ist, also

\[ \Delta s = n \cdot \lambda\]

mit \(n = 0, 1, 2,...\), dann schwingen die virtuellen Oszillatoren am Interferenzort im Gleichtakt und man beobachtet ein Maximum am Interferenzort.

Wenn der Weg zwischen dem Wellensender und dem Interferenzort bei dem ersten Wellenzug genau 10 Wellenlängen lang ist und der Weg zwischen dem Wellensender und dem Interferenzort beim zweiten Wellenzug 10,5 Wellenlängen lang ist, dann wissen wir, dass die virtuellen Oszillatoren der beiden Wellenzüge am Interferenzort entgegengesetzt zueinander schwingen müssen. Das gilt also immer dann, wenn die Differenz der Länge der Wellenzüge eine halbe Wellenlänge lang ist, denn dann trifft am Interferenzort ein Wellenberg auf ein Wellental.

Wenn der Gangunterschied \(\Delta s\) der beiden Wellenzüge am Interferenzort ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge \(\lambda\) ist, also

\[ \Delta s = (2 \cdot n + 1) \cdot \frac{\lambda}{2}\]

mit \(n = 0, 1, 2,...\), dann schwingen die virtuellen Oszillatoren am Interferenzort entgegengesetzt zueinander und man beobachtet ein Minimum am Interferenzort.

In der folgenden Simulation können Sie die Interferenz zweier Wellenzüge an einem Interferenzort beobachten. In der Simulation wird eine Welle simuliert, die sich im Raum ausbreitet, jedoch kann der Interferenzort nur in einer Ebene gewählt werden.

Experiment: Interferenz

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Modellierung im Zeigermodell

Wenn zwei Sender jeweils einen Wellenzug in den Raum aussenden, interferieren die beiden Wellenzüge an einem bestimmten Raumpunkt. Auf dem Weg vom Sender zum Interferenzort kann man sich Modell-Oszillatoren denken, die um ihre Ruhelage schwingen. Am Interferenzort kann die Schwingung der virtuellen Modell-Oszillatoren zur resultierenden Schwingung des realen Modell-Oszillators kombiniert werden. Der reale Modell-Oszillator am Interferenzort modelliert den physikalischen Vorgang am Interferenzort:

  • Bei einer Schallwelle schwingen Luftmoleküle. Wenn ein Mikrofon am Interferenzort angebracht wird, registriert man einen Ton.
  • Bei einer Wasserwelle schwingen Wassermoleküle. Wenn eine Boje am Interferenzort schwimmt, kann man deren Auf- und Abbewegung filmen.
  • Bei einer elektromagnetischen Welle (z.B. Licht) schwingen elektrische und magnetische Felder. Wenn ein Fotodetektor (z.B. Handykamera) am Interferenzort angebracht ist, wird das Bild an dieser Stelle hell.

Im Kapitel "Schwingungen" haben Sie gelernt, dass die Schwingung eines Oszillators mit Hilfe eines rotierenden Zeigers modelliert werden kann. Dieses Modell kann auf die Modellierung der Situation am Interferenzort zweier Wellenzüge übertragen werden:

  • Für jeden virtuellen Oszillator lassen wir einen Zeiger rotieren. Die Länge des Zeigers entspricht der Amplitude der Schwingung des Oszillators und die Winkelgeschwindigkeit eines Zeigers wird aus der Frequenz der Schwingung berechnet: \(\omega = 2 \pi \cdot f\).

  • Die beiden Zeiger der virtuellen Oszillatoren werden mit Hilfe der Parallelogrammregel addiert (im Mathematikunterricht werden Sie im Thema Vektorgeometrie lernen, wie man die Summe der Zeiger berechnen kann).

  • Der resultierende Zeiger modelliert die Schwingung des realen Oszillators am Interferenzort.

In der folgenden Simulation wird die Interferenz zweier Wellenzüge an einem bestimmten Interferenzort im Zeigermodell simuliert.

Experiment: Interferenz zweier virtueller Oszillatoren

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Die Überlagerung der virtuellen Oszillatoren liefert folgende Interferenz-Situationen:

  • Wenn beide virtuellen Oszillatoren mit gleicher Frequenz, gleicher Amlitude und gleicher Phase schwingen, liefert die Überlagerung eine Verstärkung, die man Maximum oder konstruktive Interferenz nennt. Im Zeigermodell rotieren in einer solchen Situation zwei gleich lange Zeiger, ohne Phasendifferenz und mit gleicher Winkelgeschwindigkeit.

  • Wenn beide virtuellen Oszillatoren mit gleicher Frequenz, gleicher Amplitude und einer um \(\pi = 3,14 \,\, \widehat{=} \,\, 180°\) zueinander versetzten Phase schwingen, liefert die Überlagerung ein Minimum, das man Auslöschung oder destruktive Interferenz nennt. Im Zeigermodell rotieren in einer solchen Situation zwei gleich lange Zeiger mit einer Phasendifferenz von 180° und mit gleicher Winkelgeschwindigkeit.

  • Wenn beide virtuellen Oszillatoren mit gleicher Frequenz, gleicher Amplitude und einer Phasendifferenz (Differenz der beiden Phasen) schwingen, die zwischen 0° und 180° (Gradmaß) bzw. 0 und \(\pi\) (Bogenmaß) liegt, liefert die Überlagerung eine Amplitude, die zwischen dem Minimum und dem Maximum liegt. Im Zeigermodell rotieren in einer solchen Situation zwei gleich lange Zeiger mit einer festen Phasendifferenz zwischen 0° und 180° und mit gleicher Winkelgeschwindigkeit.

  • Wenn beide virtuellen Oszillatoren mit unterschiedlicher Frequenz schwingen, beobachtet man, dass sich die Amplitude (maximale Auslenkung) des realen Oszillators ständig, aber nach einem regelmäßigen Muster, ändert. Diese regelmäßige Änderung des Schwingungsverhaltens des realen Oszillators nennt man eine Schwebung. In einer solchen SItuation rotieren zwei gleich lange Zeiger mit einer sich ständig ändernden Phasendifferenz, da die Zeiger mit zwei unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten rotieren.

In der folgenden Simulation wird die Interferenz zweier Raumwellen mit Hilfe des Zeiger-Modells simuliert.

Experiment: Interferenz mit dem Zeigermodell

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Die Interferenzbedingungen können auch im Zeigerbild formuliert werden. Wenn die beiden Wellensender mit gleicher Frequenz, gleicher Phase und gleicher Amplitude schwingen, dann beobachtet man an einem bestimmten Interferenzort folgendes:

Wenn der Gangunterschied \(\Delta s\) der beiden Wellenzüge am Interferenzort ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\) ist, also

\[ \Delta s = n \cdot \lambda\]

mit \(n = 0, 1, 2,...\), dann rotieren die virtuellen Zeiger am Interferenzort in gleicher Phase und man beobachtet ein Maximum am Interferenzort.

Wenn der Gangunterschied \(\Delta s\) der beiden Wellenzüge am Interferenzort ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge \(\lambda\) ist, also

\[ \Delta s = (2 \cdot n + 1) \cdot \frac{\lambda}{2}\]

mit \(n = 0, 1, 2,...\), dann rotieren die virtuellen Zeiger am Interferenzort in entgegengesetzter Phase und man beobachtet ein Minimum am Interferenzort.

Die Interferenzsituation an jedem beliebigen Interferenzort kann leicht mit Hilfe des Zeigermodells bestimmt werden. Dazu geht man wie folgt vor:

  • Für jeden Sender denkt man sich am Ort des Senders einen rotierenden Zeiger. Die Winkelgeschwindigkeit des Zeigers kann man aus der Frequenz des Senders berechnen: \(\omega = 2 \pi \cdot f\). Die Länge des Zeigers entspricht der Amplitude \(A\) der Schwingung an der Quelle.

  • Sobald ein Wellenzug ausgesendet wurde, beginnt der entsprechende Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) zu rotieren und zwar solange, bis der Wellenzug den Interferenzort im Abstand \(x\) erreicht hat. Die Rotationszeit \(t\) des Zeigers kann man berechnen, wenn man die Phasengeschwindigkeit \(c\) der Welle kennt: \(c = \frac{x}{t}\) also \(t = \frac{x}{c}\).

  • Für jeden Sender berechnet man auf diese Weise die Reisezeit \(t\), bis der Wellenzug den Interferenzort erreicht hat und lässt den zugeordneten Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) genau solange rotieren.

  • Wenn beide Zeiger zur Ruhe gekommen sind, addiert man die beiden Zeiger mit Hilfe der Parallelogrammregel. Die Länge des resultierenden Zeigers gibt die Amplitude des realen Oszillators am Interferenzort an.

In der folgenden Simulation wird diese Idee veranschaulicht:

Experiment: Fliegende Zeiger

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Wenn man die Phasengeschwindigkeit \(c\) der Welle, die Frequenz \(f\) der Sender-Oszillatoren und den Interferenzort kennt, kann man mit Hilfe rotierender Zeiger für jeden Interferenzort die resultierende Amplitude bestimmen.

An der Uni werden Sie lernen, wie man mit Zeigern rechnen kann.


Interferenz in Wasser, Luft und mit Licht

Reale Wellen bestehen aus unfassbar vielen Oszillatoren, die um Ihre Ruhelage schwingen. In Luft sind pro Kubikzentimeter etwa \(2,55 \cdot 10^{19}\) Luftmoleküle vorhanden, die bei einer Schallwelle zu Schwingungen angeregt werden. Wenn wir reale Wellen modellieren, betrachten wir immer nur einen kleinen Auschnitt aus einer Raumwelle und das angenähert mit vielen vereinfachenden Annahmen. Trotzdem kann eine gute Näherung einen Eindruck vermitteln, wie die reale Situation ist.

In der folgenden Simulation wird Interferenz von Wasser-, Schall und Lichtwellen simuliert. Es werden nur zweidimensionale Ausschnitte aus den Raumwellen dargestellt, es wird angenommen, dass die Sender perfekt synchron schwingen und die Oszillatoren im Raum haben alle die genau gleichen Eigenschaften.

Experiment: Interferenz von Wasser-, Schall und Lichtwellen

Quelle: PhET