Feder-Masse-Pendel


Aufgabe:

Die Periodendauer \(T\) eines Feder-Masse-Pendels wird beschrieben mit folgender Formel:

\[ T = 2 \pi \cdot \sqrt{\cfrac{m}{D}}\]

dabei ist \(m\) = Masse des schwingenden Körpers, \(D\) = Federkonstante der verwendeten Feder.

Leiten Sie diese Formel begründet her.

Herleitung der Formel für die Periodendauer eines Feder-Masse-Pendels

Beim Feder-Masse-Pendel wirken folgende Kräfte:

  • die Gravitationskraft \(F_\text{G} = m \cdot g\), mit \(m\) = Masse des Pendelkörpers und \(g\) = Ortsfaktor = \(9,81 \, \frac{\text{N}}{\text{kg}}\)
  • die rückstellende Federkraft \(F_\text{R} = D \cdot y\), mit \(y\) = vertikale Auslenkung aus der Ruhelage, \(D\) = Federkonstante der Feder.

Wenn sich die Pendelmasse unterhalb der Ruhelage befindet, wirkt die Rückstellkraft der Feder nach oben, die Gravitationskraft wirkt nach unten.

Wenn sich die Pendelmasse oberhalb der Ruhelage befindet, wirkt die Rückstellkraft der Feder nach unten, genauso wie die Gravitationskraft. Die Gravitationskraft ist in beiden Situationen gleich groß, die Rückstellkraft der Feder ist unterhalb der Ruhelage jedoch wesentlich größer als oberhalb der Ruhelage.

Die Summe aus der Gravitationskraft und der Rückstellkraft ist oberhalb und unterhalb der Ruhelage bei gleichem Abstand des Massenstücks von der Ruhelage vom Betrag gleich groß, so dass das Feder-Masse-Pendel harmonisch schwingt.

Vereinfachend genügt es für die mathematische Modellierung daher z.B. nur die Situation unterhalb der Ruhelage zu betrachten und mit geeigneten Formeln zu modellieren, da das Verhalten des Pendels oberhalb der Ruhelage symmetrisch dazu ist.

Modellierung des Schwingungsvorgangs:

  • In der Ruhelage befindet sich das Feder-Masse-Pendel in einer Gleichgewichtslage, in der die Gravitationskraft \(F_\text{G}\) und die Federkraft \(F_\text{R}\) sich gerade ausgleichen. Das Pendel steht still.

  • Zieht man die Feder nach unten, dehnt man die Feder und speichert Spannenergie in der Feder: \(E_\text{Spann} = \frac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\) (siehe Formelsammlung).

  • Da die wirkende Rückstellkraft größer als die Gewichtskraft ist, wird die Feder mit \(F = m \cdot a\) nach oben beschleunigt und die Spannenergie wird in Bewegungsenergie \(E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) umgewandelt.

  • Mit zunehmender Höhe wird die Bewegung durch die Gewichtskraft und die Spannkraft der Feder gebremst und die Bewegungsenergie wird in potentielle Energie umgewandelt, die als Spannenergie und Lageenergie gespeichert ist. Aufgrund der Gewichtskraft und der Federkraft wird das Pendel dann wieder nach unten beschleunigt.

  • Dieser Vorgang wiederholt sich solange, bis Reibung die Energie, welche durch die Auslenkung des Pendels aus der Ruhelage dem Feder-Masse-Pendel zugeführt wurde, in Wärmeenergie umgewandelt hat. Dann wird das Pendel wieder in seiner Ruhelage ruhen.

In der weiteren Betrachtung werden alle Reibungskräfte vernachlässigt.

In der Ruhelage ist die Gewichtskraft \(F_\text{G}\) im Gleichgewicht mit der Rückstellkraft der Feder \(F_\text{R}\):

\[ \begin{align} F_\text{G} &= F_\text{R} \\ m \cdot g &= D \cdot y_0 \\ y_0 &= \frac{m \cdot g}{D} \end{align}\]

In der Ruhelage einer Feder, an welcher eine Masse \(m\) hängt, wurde die Feder um den Weg \(y_0 = \frac{m \cdot g}{D}\) im Vergleich zur Ruhelage ohne Massenstück nach unten ausgelenkt.

Lenkt man das Feder-Mase-Pendel nach unten aus der Ruhelage aus, ist die resultierende Kraft die Differenz aus der Rückstellkraft und der Graviationskraft, die einander entgegengesetzt gerichtet sind. Da die rückstellende Kraft von der Auslenkung abhängt, ändert sich diese bei der Bewegung des Massenstücks ständig. Die rückstellende Kraft und daher auch die resultierende Kraft werden daher als Funktionen in Abhängigkeit der Zeit \(t\) geschrieben: \(F_\text{res}(t) = F_\text{R}(t) - F_\text{G}\)

  • Für die rückstellende Kraft gilt: \(F_\text{res}(t) = D \cdot s = D \cdot (y_0-y(t))\)
  • Die Gravitationskraft ändert sich nicht und es gilt: \(F_\text{G} = m \cdot g\)

Zusammen folgt damit:

\[ \begin{align} F_\text{res}(t) &= F_\text{R}(t) - F_\text{G}\\ &= D (y_0-y(t)) - m \, g\\ &= D \left(\cfrac{m \cdot g}{D} - y(t) \right) - m \, g\\ &= m \, g - D \, y(t) - m \, g\\ &= - D \, y(t) \end{align}\]

Für die resultierende Kraft, welche auf das Feder-Masse-Pendel wirkt, gilt also:

\[ F_\text{res}(t) = - D \, y(t)\]

Diese resultierende Kraft bewirkt eine Beschleunigung des Massestücks. Da die beschleunigende Kraft sich ständig ändert, ändert sich auch die Beschleunigung des Massenstücks ständig. Für den Zusammenhang zwischen der beschleunigenden Kraft \(F_\text{B}(t)\) und der daraus resultierenden Beschleunigung gilt: \(F_\text{B}(t) = m \cdot a(t)\) und damit:

\[ \begin{align} F_\text{B}(t) &= F_\text{res}(t) \\ m \cdot a(t) &= - D \cdot y(t) \end{align}\]

Die Geschwindigkeit \(v\) ist die Änderung des Weges \(y\), während die Zeit vergeht. Ist diese Änderung konstant gilt: \(v = \frac{y}{t}\). Beim Feder-Masse-Pendel ändert sich der Weg den das Massenstück zurücklegt aber nicht gleichbleibend. Man kann für die Bewegung des Feder-Masse-Pendel also zu einem bestimmten Zeitpunkt nur die Momentangeschwindigkeit angeben. Die Geschwindigkeit ist damit eine Funktion der Zeit \(v(t)\) und kann als Ableitung der Ortsfunktion \(v(t) = \frac{dy(t)}{dt} = (y(t))'\) angegeben werden. Mathematisch ist die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Weges.

Die Beschleunigung \(a\) beschreibt die Änderung der Geschwindigkeit \(v\). Ist die Änderung der Geschwindigkeit konstant, kann man schreiben: \(a = \frac{v}{t}\). Bei nicht konstanter Beschleunigung ist die Beschleunigung eine Funktion der Zeit \(a(t)\) und kann als Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion \(a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = (v(t))'\) angegeben werden. Mathematisch ist die Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit.

Setzt man diese Einsichten zusammen, folgt, dass die Beschleunigung die Änderung der Änderung des Weges zu einem bestimmten Zeitpunkt ist. Mathematisch kann man das wie folgt schreiben:

\[ a(t) = (v(t))' = ((y(t))')' = (y(t))''\]

Anstelle der Beschleunigungsfunktion \(a(t)\) setzt man die zweite Ableitung der Ortsfunktion \((y(t))''\) ein:

\[ \begin{align} F_\text{B}(t) &= F_\text{res}(t) \\ m \cdot a(t) &= - D \cdot y(t) \\ m \cdot (y(t))'' &= - D \cdot y(t) \\ (y(t))'' &= - \cfrac{D}{m} \cdot y(t) \\ (y(t))'' + \cfrac{D}{m} \cdot y(t) &= 0 \end{align}\]

Diese Gleichung enthält eine Weg-Zeit-Funktion \(y(t)\) und deren zweite Ableitung \((y(t))''\). Eine solche Gleichung nennt man eine Differentialgleichung. Jetzt soll versucht werden eine Funktion zu erraten, welche diese Gleichung löst. Eine Lösungsfunktion kann eine Funktion sein, deren zweite Ableitung bis auf einen Faktor gleich der ursprünglichen Funktion ist. Die Mathematik kennt eine Funktion, deren 2. Ableitung bis auf ein Vorzeichen mit der ursprünglichen übereinstimmt:

\[ \begin{align} (sin(x))' &= cos(x) \\ (cos(x))' &= - sin(x) \\ (sin(x))'' &= - sin(x) \end{align} \]

Wir suchen also eine Funktion \(a \cdot sin(b \cdot x)\), die folgende Gleichung löst: \((y(t))'' = - \cfrac{D}{m} \cdot y(t)\).

Das negative Vorzeichen wird von der zweiten Ableitung der sin-Funktion bereitgestellt. Die Kettenregel liefert die innere Ableitung als Produkt, also brauchen wir den Faktor \(a\) nicht. Da wir zwei mal ableiten wird der Faktor, der im Argument der Sinusfunktion steht zwei Mal mit sich selbst multipliziert. Wir suchen also einen Faktor \(b\), so dass gilt:

\[ \begin{align} b \cdot b = \frac{D}{m} \\ b^2 = \frac{D}{m} \end{align} \]

Uns interessiert nur die positive Lösung, also gilt: \(b = \sqrt{\frac{D}{m}}\), denn

\[ \sqrt{\frac{D}{m}} \cdot \sqrt{\frac{D}{m}} = \frac{D}{m}\]

Damit könnte eine geeignete Funktion konstruiert worden sein, welche die Differenzialgleichung löst:

\[ y(t) = sin \left(\sqrt{\frac{D}{m}} \cdot t \right)\]

Probe: Wir berechnen zweite Ableitung der gefundenen Funktion und setzen die Funktion und ihre zweite Ableitung in die Differenzialgleichung ein. Wenn die Differenzialgleichung gelöst ist, haben wir eine geeignete Funktion gefunden.

\[ \begin{align} y(t) &= sin \left(\sqrt{\cfrac{D}{m}} \cdot t \right)\\ y'(t) &= \sqrt{\cfrac{D}{m}} cos \left(\sqrt{\cfrac{D}{m}} \cdot t \right)\\ y''(t) &= \sqrt{\cfrac{D}{m}} \cdot \sqrt{\cfrac{D}{m}} \left( -sin \left(\sqrt{\cfrac{D}{m}} \cdot t \right) \right) = - \cfrac{D}{m} \cdot sin \left(\sqrt{\cfrac{D}{m}} \cdot t \right) = - \cfrac{D}{m} \cdot y(t) \end{align}\]

Die zweite Ableitung von \(y(t) = sin \left(\sqrt{\frac{D}{m}} \cdot t \right)\) ist gleich \(- \cfrac{D}{m} \cdot y(t)\) und löst damit die Differenzialgleichung, eignet sich also zur Beschreibung des Schwingungsvorgangs des Feder-Masse-Pendels. Führt man noch eine Amplitude \(A\) für die Schwingung ein, folgt insgesamt für die Schwingungsfunktion des Feder-Masse-Pendels:

\[ y(t) = A \cdot sin \left(\sqrt{\frac{D}{m}} \cdot t \right)\]

Im Kapitel "Schwingungen" haben Sie die allgemeine Schwingungsfunktion wie folgt kennengelernt:

\[ y(t) = A \cdot sin(\omega \cdot t) = A \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right)\]

Vergleicht man die gefundene Schwingungsfunktion \(y(t) = A \cdot sin \left(\sqrt{\frac{D}{m}} \cdot t \right)\) mit der allgemeinen Form \(y(t) = A \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right)\), folgt:

\[ A \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right) = A \cdot sin \left(\sqrt{\frac{D}{m}} \cdot t \right)\]

Vergleicht man die Argumente der Sinusfunktion, so gilt:

\[ \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{D}{m}}\]

Diese Gleichung kann man nach der Periodendauer \(T\) auflösen:

\[ \begin{align} \frac{2 \pi}{T} &= \sqrt{\frac{D}{m}} \\ 2 \pi &= T \cdot \sqrt{\frac{D}{m}} = T \cdot \frac{\sqrt{D}}{\sqrt{m}}\\ 2 \pi \cdot \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{D}} &= T \\ T &= 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{D}} \\ \end{align} \]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.