Das optische Gitter

Aufgabe:

Erzeugt man bei Verwendung eines Gitters auf einem Schirm ein Interferenzbild, dann gilt für die Maxima:

\[ n \cdot \lambda = g \cdot \sin \left[ \arctan \left(\frac{a_n}{e} \right) \right]\]

\(n = 0, 1, 2, 3, ...\)
\(\lambda =\) Wellenlänge des verwendeten Lichtstrahl
\(g =\) Gitterkonstante (Abstand zweier benachbarter Gitteröffnungen)
\(a_n =\) Abstand zwischen 0. Maximum und n. Maximum
\(e =\) Abstand zwischen Gitter und Schirm

Leiten Sie diese Gleichung begründet mit Hilfe geeigneter Skizzen her.

(Abi 2009 eA AI, 2010 eA AI, 2012 eA AI, 2012 eA NAI, 2013 eA AII, 2013 eA A2, 2014 eA AII, 2014 eA NAII, 2016 eA AII)

Das von der Lichtquelle kommende Licht trifft auf das Gitter. Jede Gitteröffnung wird nach dem huygenschen Prinzip als Ausgangspunkt einer Elementarwelle angesehen, die das Gitter gleichphasig verlassen. Auf dem Schirm interferieren die Elementarwellen, so dass dort Maxima (helle Stellen) und Minima (dunkle Stellen) zu beobachten sind.

Anstelle der gesamten Elementarwellen betrachten wir im folgenden vereinfachend den vom Gitter ausgehenden Lichtstrahl in Richtung des 0. Maximums und den Lichtstrahl in Richtung des 1. Maximums. Diese Lichtstrahlen bilden zusammen mit dem Schirm ein rechtwinkeliges Dreieck (siehe Abbildung 1).

Abbildung 1

Relativ zum Winkel \(\alpha\), unter dem man auf dem Schirm ein Maximum beobachtet, ist \(a_n\) die Gegenkathete und \(e\) die Ankathete. Damit gilt:

\[ \tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a_n}{e} \Leftrightarrow \alpha = \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right)\]

Im Unterricht wird dieses Experiment mit UV-, sichtbarem und Infrarot-Licht durchgeführt. Damit ein deutliches 1. Maximum zu beobachten ist, muss die Gitterkonstante \(g\) (Abstand der Mitte zweier Gitteröffnungen) etwa \(1/500 \: mm\) groß sein. Die Entfernung zweier benachbarter Gitteröffnungen ist im Vergleich zum Abstand Gitter-Schirm sehr klein. Je kleiner der Abstand zweier benachbarter Gitteröffnungen ist, desto paralleler werden die Lichtstrahlen, die sich in einem Punkt treffen (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2

Wir können also in guter Näherung annehmen, dass bei einer Gitterkonstante von nur einem Bruchteil eines Millimeters, zwei benachbarte Lichtstrahlen, die von nebeneinanderliegenden Gitteröffnungen ausgehen und sich in einem Punkt auf dem Schirm treffen, in guter Näherung als parallel angesehen werden können.

Da die Elementarwellen das Gitter gleichphasig verlassen, interferieren zwei Lichtstrahlen in einem Punkt auf dem Schirm konstruktiv, wenn für deren Gangunterschied \(\Delta s\) gilt, dass dieser ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\) ist. Für Maxima gilt also: \(\Delta s = n \cdot \lambda\) mit \(n = 0, 1, 2,...\).

In Abbildung 3 sind stark vergrößert zwei Lichtstrahlen skizziert, die von zwei benachbarten Gitteröffnungen ausgesandt werden. Aufgrund der Näherung aus Schritt 4 gilt, dass diese Lichtstrahlen den Schirm in einem Punkt treffen. Die Lichtstrahlen verlassen das Gitter unter dem Winkel \(\alpha\), daher ist der Weg zu dem Interferenzpunkt auf dem Schirm verschieden lang. Die Differenz der beiden verschiedenen Weglängen wird als Gangunterschied \(\Delta s\) bezeichnet.

Abbildung 3

Wie Abbildung 3 zeigt, ist der Winkel \(\alpha\) zwischen Lichtstrahl und optischer Achse in dem rechtwinkeligen Dreieck zu finden, das die Gitterkonstante \(g\), der Gangunterschied \(\Delta s\) und das Lot auf den Lichtstrahl bilden. Relativ zum Winkel \(\alpha\) ist \(g\) die Hypothenuse und \(\Delta s\) die Gegenkathete. Damit gilt:

\[ \sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} = \frac{\Delta s}{g}\]

Zusammenfassend gilt:

\[ \begin{align} \sin(\alpha) &= \frac{\Delta s}{g} \Leftrightarrow \Delta s = g \cdot \sin(\alpha) \\ \alpha &= \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right) \\ \Delta s &= n \cdot \lambda \end{align}\]

Woraus folgt:

\[ \Delta s = g \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right) \right)\]

und schließlich

\[ n \cdot \lambda = g \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right) \right)\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.


Variation der Herleitung für kleine Winkel \(\alpha\)

Aufgabe:

Erzeugt man bei Verwendung eines Gitters auf einem Schirm ein Interferenzbild, dann gilt bei \(g \ll e\) für die Maxima:

\[ n \cdot \lambda = g \cdot \frac{a_n}{e}\]

\(n = 0, 1, 2, 3, ...\)
\(\lambda =\) Wellenlänge des verwendeten Lichtstrahl
\(g =\) Gitterkonstante (Abstand zweier benachbarter Gitteröffnungen)
\(a_n =\) Abstand zwischen 0. Maximum und n. Maximum
\(e =\) Abstand zwischen Gitter und Schirm

Leiten Sie diese Gleichung begründet mit Hilfe geeigneter Skizzen her.

Der Anfang der Argumentation entspricht der obigen Herleitung.

Ergänzung: Für sehr kleine Winkel \(\alpha\) mit \(\alpha < 5°\) gilt in guter Näherung, dass \(sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)\) ist.

Beispiel: \(sin(3°) = 0,05234\) und \(tan(3°) = 0,05240\).

Damit gilt für kleine Winkel \(\alpha\) in guter Näherung:

\[ \sin(\arctan(\alpha)) \approx \alpha\]

und die Formel

\[ n \cdot \lambda = g \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right) \right)\]

vereinfacht sich zu

\[ n \cdot \lambda = g \cdot \frac{a_n}{e}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.


Aufgabe:

Erzeugt man bei Verwendung eines Gitters auf einem Schirm ein Interferenzbild, dann gilt für die Maxima:

\[ \lambda = \frac{g}{n} \cdot \sin \left[ \arctan \left(\frac{a_n}{e} \right) \right]\]

\(n = 0, 1, 2, 3, ...\)
\(\lambda =\) Wellenlänge des verwendeten Lichtstrahl
\(g =\) Gitterkonstante (Abstand zweier benachbarter Gitteröffnungen)
\(a_n =\) Abstand zwischen 0. Maximum und n. Maximum
\(e =\) Abstand zwischen Gitter und Schirm

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) von Licht ist vom Medium abhängig, durch welches sich das Licht bewegt. Die Frequenz \(f\) des Lichts ändert sich beim Übergang von einem Medium in ein anderes nicht. Genauso wie in der Luft lässt sich die Wellenlänge des Lichts in Wasser mit Hilfe eines optischen Gitters bestimmen. Für den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in Wasser und in der Luft gilt dann:

\[ c_W = c_L \cdot \frac{\sin \left[ \arctan \left(\frac{a_W}{e} \right) \right]}{\sin \left[ \arctan \left(\frac{a_L}{e} \right) \right]}\]

mit \(c_W\) = Lichtgeschw. in Wasser, \(c_L\) = Lichtgeschw. in Luft, \(e\) = Abstand Schirm - Gitter, \(a_W\) = Abstand auf Schirm von 0. zu 1. Max. in Wasser, \(a_L\) = Abstand auf Schirm von 0. zu 1. Max. in Luft.

Leiten Sie diese Formel begründet her.

(Abi 2011 eA AI)

Der Zusammenhang bei Licht zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\), der Frequenz \(f\) und der Wellenlänge \(\lambda\) wird beschrieben mit: \(c = f \cdot \lambda\).

Für Wasser gilt: \(c_W = f_W \cdot \lambda_W\). und für Luft gilt: \(c_L = f_L \cdot \lambda_L\).

Aus der Aufgabenstellung kann verwendet werden, dass sich die Frequenz des Lichts beim Übergang in ein anderes Medium nicht ändert. Es gilt also

\[ f_W = \frac{c_W}{\lambda_W} = \frac{c_L}{\lambda_L} = f_L\]

Löst man diese Gleichung nach \(c_W\) auf, folgt:

\[ c_W = c_L \cdot \frac{\lambda_W}{\lambda_L}\]

Mit

\[ \lambda_W = \frac{g}{n} \cdot \sin \left[ \arctan \left(\frac{a_W}{e} \right) \right]\]

und

\[ \lambda_L = \frac{g}{n} \cdot \sin \left[ \arctan \left(\frac{a_L}{e} \right) \right]\]

folgt

\[ c_W = c_L \cdot \frac{\lambda_W}{\lambda_L} = c_L \cdot \frac{\frac{g}{n} \cdot \sin \left[ \arctan \left(\frac{a_W}{e} \right) \right]}{\frac{g}{n} \cdot \sin \left[ \arctan \left(\frac{a_L}{e} \right) \right]} = c_L \cdot \frac{\sin \left[ \arctan \left(\frac{a_W}{e} \right) \right]}{\sin \left[ \arctan \left(\frac{a_L}{e} \right) \right]}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.