Schwingkreis


Ungedämpfter Schwingkreis

Aufgabe:

In einem elektrischen Schwingkreis, der aus einer Spule (Induktivität \(L\)) und einem Kondensator (Kapazität \(C\)) besteht, gilt für die Eigenfrequenz \(f\) der elektromagnetischen Schwingung zwischen Spule und Kondensator die Thomsonsche Gleichung:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{L \cdot C}}\]

Leiten Sie diese Formel begründet her.

Der Schwingkreis besteht aus einer Spule mit der Induktivität \(L\), an der die Spannung \(U_L\) gemessen wird und dem Kondensator mit der Kapazität \(C\), an dem die Spannung \(U_C\) gemessen wird.

Die Stromstärke \(I(t)\) ändert sich im Schwingkreis ständig, da die Energie periodisch vom Kondensator zur Spule und zurück fließt.

Im Teilstromkreis des Schwingkreises gilt die Maschenregel: Geht man in einem Stromkreis von einem Pol zum anderen Pol, so ist die Summe der Teilspannungen über den elektrischen Bauteilen gleich der Spannung der Quelle. Im hier betrachteten Fall wird die Spannungsquelle abgetrennt, so dass die Gesamtspannung im Teilstromkreis von Kondensator und Spule \(U_\text{ges} = 0\) ist. Es gilt also:

\[ U_\text{ges} = U_C + U_L = 0\]

Die Elektronen fließen von der einen Platte des Kondensators zur anderen, so dass sich die Ladung \(Q\) auf den Kondensatorplatten ständig ändert. Für die Spannung \(U_C\) am Kondensator gilt dann: \(U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}\).

Da sich die Stromstärke \(I(t)\) in der Spule ständig ändert, wird in der Spule eine Selbstinduktionsspannung \(U_L\) induziert, die sich ebenfalls ständig ändert, so dass gilt: \(U_L(t) = L \cdot \frac{d I(t)}{dt}\).

Damit gilt insgesamt:

\[ \begin{align} U_C(t) + U_L(t) &= 0 \\ \frac{Q(t)}{C} + L \cdot \frac{d I(t)}{dt} &= 0 \end{align}\]

In dieser Gleichung gibt es zwei verschiedene von der Zeit abhängende Größen: die Stromstärke \(I(t)\) und die Ladung \(Q(t)\). Das ist für die weitere mathematische Herleitung ungünstig. Da die Stromstärke \(I(t)\) die Änderung der Ladung \(Q(t)\) ist, kann man \(I(t)\) ersetzen:

\[ I(t) = \frac{d Q(t)}{d t}\]

Wir suchen eine Formel für die Eigenfrequenz \(f_\text{E}\) des Schwingkreises. Uns interessiert also die Änderung der Situation im Schwingkreis. Aus der Mathematik wissen Sie, wie Sie ein Maß für die Änderung einer Größe bekommen: von der Größe wird die Ableitung gebildet. In der Physik schreibt man für die Ableitung nach der Zeit: \(\frac{d}{dt}\). Die Gleichung

\[ \frac{Q(t)}{C} + L \cdot \frac{d I(t)}{dt} = 0\]

wird einmal nach der Zeit \(t\) abgeleitet:

\[ \frac{ d \left( \frac{Q(t)}{C} + L \cdot \frac{d I(t)}{dt} \right) }{d t} = \frac {d 0}{d t}\]

Eine Summe wird abgeleitet, indem jeder Summand einzeln abgeleitet wird. Ein konstanter Faktor bleibt bei der Ableitung unverändert erhalten und die Ableitung von 0 ist 0. Also folgt:

\[ \frac{1}{C} \frac{d Q(t)}{d t} + L \cdot \frac{d^2 I(t)}{dt} = 0\]

  • Die Ableitung der Ladung \(\frac{d Q(t)}{d t}\) beschreibt die Änderung der Ladung und ist damit die Stromstärke \(I(t)\): \(\frac{d Q(t)}{d t} = I(t)\).
  • \(\frac{d^2 I(t)}{dt}\) ist die zweite Ableitung der Stromstärke \(I(t)\) und beschreibt die Änderung der Änderung der Stromstärke, also wie heftig sich die Stromstärke ändert.

Insgesamt folgt:

\[ \frac{1}{C} \cdot I(t) + L \cdot \frac{d^2 I(t)}{dt} = 0\]

Das ist eine Differenzialgleichung, welche die Stromstärke-Funktion \(I(t)\) und die zweite Ableitung der Stromstärke-Funktion \(\frac{d^2 I(t)}{dt}\) enthält. Wir suchen eine Funktion für \(I(t)\), welche diese Differenzialgleichung erfüllt: Wenn man die gesuchte Funktion und deren zweite Ableitung in die Gleichung einsetzt, soll die Summe der linken Seite Null sein.

Die gesuchte Funktion können wir nicht berechnen, also versuchen wir sie zu erraten. Aus dem Mathematik-Unterricht wissen Sie, dass die Sinus-Funktion bis auf das Vorzeichen mit ihrer zweiten Ableitung übereinstimmt: \((sin(x))'' = (cos(x))' = - sin(x)\).

Eine Funktion für \(I(t)\), welche die Differenzialgleichung löst, könnte also die folgende Form haben: \(I(t) = I_0 \cdot sin(\omega \cdot t)\), wobei \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit der Schwingung und \(f = \frac{\omega}{2 \pi}\) die Frequenz der Schwingung ist.

Das testen wir, indem wir diese Funktion und deren zweite Ableitung in die Differenzialgleichung einsetzen:

\[ \begin{align} I(t) &= I_0 \cdot sin(\omega \cdot t) \\ \frac{d I(t)}{d t} &= \omega \cdot I_0 \cdot cos(\omega \cdot t) \\ \frac{d^2 I(t)}{d t} &= - \omega^2 \cdot I_0 \cdot sin(\omega \cdot t) \end{align} \]

Wenn man die gefundenen Funktionen in die linke Seite der Differenzialgleichung einsetzt, sollte deren Summe Null sein!

\[ \frac{1}{C} \cdot I_0 \cdot sin(\omega \cdot t) - L \cdot \omega^2 \cdot I_0 \cdot sin(\omega \cdot t) \stackrel{!}{=} 0\]

Auf der linken Seite kann man die gemeinsamen Faktoren ausklammern:

\[ I_0 \cdot sin(\omega \cdot t) \cdot \left( \frac{1}{C} - L \cdot \omega^2 \right) \stackrel{!}{=} 0\]

Zu allen Zeitpunkten \(t\) ist diese Gleichung genau dann erfüllt, wenn der Ausdruck in der Klammer Null ist, also

\[ \frac{1}{C} - L \cdot \omega^2 = 0\]

Löst man diese Gleichung nach \(\omega\) auf, folgt:

\[ \begin{align} \frac{1}{C} - L \cdot \omega^2 &= 0 \\ \frac{1}{C} &= L \cdot \omega^2\\ \omega^2 &= \frac{1}{L \cdot C} \\ \omega &= \sqrt{ \frac{1}{L \cdot C} } \\ \omega &= \frac{1}{\sqrt{ L \cdot C } } \\ \end{align} \]

Eine geeignete Funktion, welche die Differenzialgleichung löst, ist also:

\[ I(t) = I_0 \cdot sin(\omega \cdot t) = I_0 \cdot sin \left( \frac{1}{\sqrt{ L \cdot C } } \cdot t \right)\]

Da \(\omega = 2 \pi \cdot f\) ist, gilt:

\[ \begin{align} \omega &= \frac{1}{\sqrt{ L \cdot C } } \\ 2 \pi \cdot f &= \frac{1}{\sqrt{ L \cdot C } } \\ f &= \frac{1}{2 \pi \cdot \sqrt{ L \cdot C } } \end{align} \]

Die angegebene Gleichung für die Eigenfrequenz \(f_\text{E}\) der Schwingung im Schwingkreis ist damit begründet hergeleitet worden.


Gedämpfter Schwingkreis

Aufgabe:

In einem gedämpften elektrischen Schwingkreis, der aus einer Spule (Induktivität \(L\)), einem Kondensator (Kapazität \(C\)) und einem Widerstand (Widerstand \(R\)) besteht, gilt für die Eigenfrequenz \(f\) der elektromagnetischen Schwingung zwischen Spule und Kondensator die Gleichung:

\[ f = \frac{1}{2 \pi} \cdot \sqrt { \left( \frac{1}{L \cdot C} - \frac{R^2}{4 \cdot L^2} \right) }\]

Leiten Sie eine Differenzialgleichung her, mit welcher diese Formel gefunden werden kann.

In einem gedämpften elektrischen Schwingkreis geht Energie aufgrund des Widerstands verloren. Alle realen elektrischen Schwingkreise sind gedämpfte Schwingkreise, da alle Bauteile einen Widerstand haben.

Für den elektrischen Schwingkreis gilt:

\[ U_C + U_L + U_R = 0\]

Dabei ist \(U_C = \frac{Q(t)}{C}\), \(U_R = R \cdot I(t)\) und \(U_L = L \cdot \frac{d I(t)}{d t}\). Für den Widerstand wird vereinfachend angenommen, dass er sich nicht mit der Stromstärke ändert. Es gilt also:

\[ U_C + U_L + U_R = \frac{Q(t)}{C} + R \cdot I(t) + L \cdot \frac{d I(t)}{d t} = 0\]

Auch diese Gleichung soll so umgeformt werden, dass nur Funktionen einer physikalischen Größe enthalten sind: \(\frac{d Q(t)}{dt} = I(t)\) und \(\frac{d^2 Q(t)}{dt} = \frac{d I(t)}{dt}\). Damit kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden:

\[ U_C + U_L + U_R = \frac{Q(t)}{C} + R \cdot I(t) + L \cdot \frac{d I(t)}{d t} = \frac{Q(t)}{C} + R \cdot \frac{d Q(t)}{dt} + L \cdot \frac{d^2 Q(t)}{dt} = 0\]

Damit haben wir die Differenzialgleichung gefunden:

\[ \frac{Q(t)}{C} + R \cdot \frac{d Q(t)}{dt} + L \cdot \frac{d^2 Q(t)}{dt} = 0\]

Die Lösung lässt sich weder einfach erraten, noch mit den Möglichkeiten der Schulmathematik ermitteln. Deswegen wird sie angegeben:

\[ Q(t) = Q_0 \cdot e^{- \delta \cdot t} \cdot cos(\omega \cdot t)\]

Aus dieser Gleichung folgt für die Frequenz die angegeben Gleichung. Die Herleitung hierfür wird hier nicht angegeben.