Gravitationslabor I

Die Gravitation bestimmt die Bewegung der Objekte im Kosmos. Im ersten Kapitel hatten Sie gelernt, wie man die Bewegung kosmologischer Objekte mit Hilfe eines Computers näherungsweise simulieren kann, wenn die Gravitationskraft wirkt. Jetzt sollen Sie Computer-Simulationen verwenden, um die Bewegung von Objekten bei der Wirkung gegenseitiger Gravitationskraft besser zu verstehen.

Im newtonschen Gravitationsgesetz steht die Gravitationskonstante als Faktor. Also ist die Gravitationskraft proportional zur Gravitationskonstanten. In einem anderen Universum, in dem die Gravitationskonstante doppelt so größ wäre wie in unserem, wäre die Gravitationskraft, bei ansonsten gleichen Parametern, doppelt so groß. Wir können damit eine Gravitationskonstante 1 wählen, die gut zu unserem Maßstab von wenigen Pixeln Entfernung passt. Auch die Masse der beteiligten Objekte steht als Faktor im Gravitationsgesetz. Auch hier können wir die Masse der Objekte so festlegen, dass sie zum Maßstab der Simulation passt.


G-Simulation 1

In der ersten Simulation werden Objekte, die eine Masse haben, in einen ansonsten leeren Kosmos gesetzt. Die Objekte werden an ihrem Ort festgesetzt, die Gravitationskraft hat also keine Beschleunigung zur Folge. Bewegen können Sie die Objekte mit Hilfe der Maus. Sie sollen beobachten, wie sich die wirkende Gravitationskraft verändert, wenn eine größere Anzahl von Objekten, die eine Masse haben, gleichzeitig im Kosmos vorhanden sind.

Machen Sie sich mit der folgenden Simulation vertraut, indem Sie virtuelle "Planeten" mit unterschiedlicher Masse in den Kosmos setzen und diese mit Hilfe der Maus durch den "Kosmos" bewegen:

In einem neuen Fenster starten: G-Simulation 1

Bearbeiten Sie bitte folgende Aufgaben:

Aufgaben

A01: Setzen Sie in die leere Simulation einen einzigen Planeten, indem Sie auf Planet erschaffen klicken und bewegen diesen. Es sind keine Kraftvektoren zu sehen. Warum?

A02: Setzen Sie einen zweiten Planeten in den Kosmos und bewegen diesen. Beobachten Sie die Richtung und den Betrag der Gravitationskräfte. Warum wird die Gravitationskraft schnell sehr klein, wenn Sie die beiden Planeten voneinander entfernen und warum wird die Gravitationskraft sehr groß, wenn Sie den Abstand der Massen stark verkleinern? Erklären Sie damit, warum Planeten Milliarden von Jahre stabil und ohne auseinanderzufallen durch den Kosmos fliegen können.

A03: Entfernen Sie alle Planeten und setzen Sie zwei Planeten mit deutlich unterschiedlichen Massen in den Kosmos. Warum sind die Kraftpfeile gleich lang, d.h. warum ist die wirkende Kraft für beide Planeten gleich groß, obwohl diese unterschiedliche Massen haben?

A04: Setzen Sie drei Planeten etwa gleicher Masse in den Kosmos. Welche Bedeutung haben die grauen Pfeile? Klicken Sie bei drei vorhandenen Planeten auf resultierende Kraft. Wie kann man die resultierende Kraft, die insgesamt auf den Planeten wirkt, aus den grauen Pfeilen konstruieren? Klicken Sie auf Kräfteaddition anzeigen, um einen Hinweis zu bekommen.

A05: Entwickeln Sie eine Formel, mit deren Hilfe man berechnen kann, wie viele Kraftpfeile (ohne resultierende Kraft) bei n Körpern vorhanden sind.

Dokumentieren Sie Ihre Antworten in einem geeigneten Textverarbeitungsprogramm und senden Sie das Dokument an Ihre Lehrkraft.

(10 XP)


G-Simulation 2

Newton erdachte ein Gedankenexperiment, das er im Kapitel A Treatise of the System of the World in seinen Principia erklärte:

Let AFB represent the surface of the earth, C its centre, VD, VE, VF, the curve lines which a body would describe, if projected in an horizontal direction from the top of an high mountain successively with more and more velocity (p. 400); and, because the celestial motions are scarcely retarded by the little or no resistance of the spaces in which they are performed, to keep up the parity of cases, let us suppose either that there is no air about the earth, or at least that it is endowed with little or no power of resisting; and for the same reason that the body projected with a less velocity describes the lesser arc VD, and with a greater velocity the greater arc VE, and, augmenting the velocity, it goes farther and farther to F and G, if the velocity was still more and more augmented, it would reach at last quite beyond the circumference of the earth, and return to the mountain from which it was projected.

A Treatise of the System of the World (Isaac Newton)

Quelle: Wikisource

Dieses Gedankenexperiment sollen Sie jetzt rechnerisch und simuliert nachvollziehen.


Rechnung

Wir betrachten einen Satelliten der Masse \(m_S\). Solange keine Kraft auf den Satelliten wirkt, bewegt sich dieser nach dem 1. Newtonschen Grundgesetz geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Dafür müsste der Satellit alleine im Kosmos sein, denn alle Körper üben aufeinander die Gravitationskraft aus. Wir denken uns also einen vollständig leeren Kosmos, in dem sich einsam ein Satellit bewegt. Da es keine Objekte gibt, an denen der Satellit vorbeifliegen könnte, können wir nicht unterschieden, ob sich der Satellit bewegt oder ruht, wir können ihn uns also auch als ruhend vorstellen.

Jetzt setzen wir in die Nähe des Satelliten einen Planeten, so dass beide relativ zueinander ruhen. Was wird passieren? Zwischen dem Planeten und dem Satelliten wirkt jetzt die Gravitationskraft und der Satellit würde in Richtung des Planeten beschleunigt werden, genauso wie der Planet in Richtung des Satelliten beschleunigt wird.

Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ist die Kraft zwischen der Erde und dem Satelliten für beide gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Aus der Formel \(F_G = m \cdot a\) folgt \(a = \frac{F_G}{m}\), wo die Masse im Nenner steht, weswegen der Satellit stärker beschleunigt wird als der Planet, da der Planet eine sehr viel größere Masse hat, als der Satellit. Bei genügend großer Masse des Planeten ist seine Beschleunigung so klein, dass sie praktisch nicht gemessen werden kann.

Wenn der Satellit jetzt eine Anfangsgeschwindigkeit relativ zum Planeten besitzt, dann bewirkt die Gravitationskraft eine Beschleunigung des Satelliten, welche seine Flugbahn verändert. Wir nehmen nun an, dass sich der Satellit anfänglich parallel zur Oberfläche des Planeten bewegt. Jetzt kommt das Newtonsche Gedankenexperiment: Wie groß muss die Geschwindigkeit des Satelliten sein, damit er diesen auf einer Kreisbahn umrunden kann?

Diese Geschwindigkeit soll jetzt berechnet werden. Aus dem Physikunterricht sollte Ihnen die Formel für die Zentripetalkraft \(F_{ZP}\) bekannt sein. Ein Körper der Masse \(m\) bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\) und einer Bahngeschwindigkeit \(v\) wenn er mit der Zentripetalkraft \(F_{ZP}\) auf seine Bahn gezwungen wird:

\[ F_{ZP} = \frac{m \cdot v^2}{r}\]

Die Zentripetalkraft ist im Fall des Satelliten die Gravitationskraft \(F_G = \frac{G \cdot m_E \cdot m_S}{r^2}\), die zwischen dem Satelliten und der Erde wirkt. Also gilt:

\[ \begin{align} F_{ZP} &= F_G \\ \frac{m_S \cdot v^2}{r} &= \frac{G \cdot m_E \cdot m_S}{r^2} \quad | :m_S\\ \frac{v^2}{r} &= \frac{G \cdot m_E}{r^2} \quad | \cdot r \\ v^2 &= \frac{G \cdot m_E}{r} \quad | \sqrt {}\\ v &= \sqrt{\frac{G \cdot m_E}{r}} \\ \end{align}\]

Die Geschwindigkeit, die notwendig ist, damit der Satellit einen Planeten auf einer Kreisbahn umfliegen kann, wird berechnet mit der Formel:

\[ v = \sqrt{\frac{G \cdot m_E}{r}}\]

\(v = \text{Bahngeschwindigkeit des Satelliten}\)
\(G = \text{Gravitationskonstante}\)
\(m_E = \text{Masse der Erde}\)
\(r = \text{Abstand zwischen Mittelpunkt der Erde und Satellit}\)

Sucht man zu einer gegebenen Geschwindigkeit \(v\) des Satelliten die notwendige Entfernung \(r\) zum Erdmittelpunkt, kann man diese Formel nach \(r\) auflösen:

\[ \begin{align} v^2 &= \frac{G \cdot m_E}{r} \quad | \cdot r, \, : v^2 \\ r &= \frac{G \cdot m_E}{v^2} \end{align}\]

Die Entfernung \(r\) zum Erdmittelpunkt, mit der ein Satellit die Erde umrunden muss, damit er diese mit der Bahngeschwindigkeit \(v\) auf einer Kreisbahn umfliegt, kann berechnet werden mit der Formel:

\[ r = \frac{G \cdot m_E}{v^2}\]

Aufgabe

Berechnen Sie mit den realistischen Daten (die Sie im Internet oder der Formelsammlung finden) die Lösung für das Newtonsche Gedankenexperiment - also die notwendige Bahngeschwindigkeit \(v\) eines Satelliten parallel zur Erdoberfläche, der in einer Höhe von 10 km die Erde umrunden soll. Dazu nehmen Sie wie Newton an, dass der Luftwiderstand in einer Höhe von 10 km gleich Null ist.


Simulation

In der folgenden Simulation können Sie die Flugbahn von Satelliten in der Nähe der Erde näherungsweise simulieren. Die Simulation rechnet nicht mit den realen Daten der Erdmasse und der Entfernung, sondern mit Modellangaben. Die Masse der Erde beträgt im Modell 200000 ME und die Entfernungseinheiten sind die Pixel des Bildschirms. In der Simulation finden Sie die Auswahlmöglichkeit zweier numerischer Verfahren zur Berechnung der Flugbahn: Eulerverfahren und Runge-Kutta-4-Verfahren.

Das Eulerverfahren stammt aus dem Jahr 1768, also der Zeit von Newton und gilt als einfachstes Verfahren zur näherungsweise Berechnung der Flugbahn des Satelliten. Beim Eulerverfahren wird einmal pro Zeitintervall die wirkende Gravitationskraft bestimmt und daraus die Beschleunigung, Geschwindigkeit und der neue Ort berechnet. Die Genauigkeit dieses Verfahrens ist direkt abhängig von der Größe des Zeitschritts. Je kleiner der Zeitschritt, desto genauer das Verfahren.

Das Runge-Kutta-Verfahren stammt aus dem Jahr 1895. In jedem Zeitschritt berechnet man bei diesem Verfahren 4 Mal die wirkende Gravitationskraft und die daraus resultierende Beschleunigung in der Nähe des Ortes, an dem sich der Satellit befindet. Aus diesen 4 Werten wird ein Mittelwert für die neue Geschwindigkeit und den neuen Ort des Satelliten nach einem Zeitschritt berechnet. Dieses Verfahren ist genauer als das Eulerverfahren, erfordert aber auch einen deutlich höheren Rechenaufwand. Das können Sie daran erkennen, dass die Bewegung des Satelliten in der Simulation langsamer erscheint, weil der Computer nicht mehr 60 Frames pro Sekunde schafft.

Wenn Sie sich den Quellcode der Simulation ansehen wollen, öffnen Sie die Simulation in einem neuen Fenster, drücken dann die Taste F12 und öffnen unter Sources die Datei gravlab2.js.


Aufgaben

A01: Wenn Sie - ohne die Parameter zu ändern - auf Animation starten klicken, fällt der Satellit geradlinig auf die Erde. Erklären Sie das Verhalten?
Erhöhen Sie schrittweise die Anfangsgeschwindigkeit des Satelliten (die parallel zur Erdoberfläche gerichtet ist), indem Sie mit dem Schieberegler den Zahlenwert verändern (Sie können dazu auch die Pfeiltasten verwenden), dann auf Objekte setzen klicken und die Animation starten. Warum verändert sich die Flugbahn des Satelliten?

A02: Berechnen Sie mit Hilfe der oben hergeleiteten Formel für die Startparameter: Gravitationskonstante = 1; Masse der Erde = 200 000 ME, Radius = 100 Pixel die Anfangsgeschwindigkeit des Satelliten, so dass dieser in guter Näherung auf einer Kreisbahn die Erde umrundet.
Bestätigen Sie in der Simulation die berechnete Anfangsgeschwindigkeit des Satelliten. Der Messwert maximale Kreisabweichung gibt dabei die Abweichung von der Startentfernung des Satelliten zum Erdmittelpunkt an.

A03: Setzen Sie die Masse des Satelliten auf 10 und die Geschwindigkeit auf 30. Finden Sie eine Entfernung, bei welcher der Satellit in guter Näherung eine Kreisbahn fliegt. Bestätigen Sie diese Entfernung durch eine Rechnung mit Hilfe einer oben hergeleiteten Formel. Nachdem Sie eine geeignete Entfernung gefunden haben, setzen Sie die Masse des Satelliten zuerst auf 5000 und dann auf den Maximalwert 20000. Welche Flugbahn erwarten Sie? Vergleichen Sie Ihre Erwartung mit der Simulation. Erklären Sie die Flugbahn von Satellit und Erde.

Dokumentieren Sie Ihre Antworten in einem geeigneten Textverarbeitungsprogramm und senden Sie das Dokument an Ihre Lehrkraft.

(10 XP)

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G-Simulation 3

In unserem Sonnensystem kennen Sie einige Planeten, die von einem oder mehreren Monden begleitet werden. Die Ursache für die Bindung der Monde an die Planeten kennen Sie inzwischen: die Gravitationskraft. In der folgenden Simulation können Sie sich mit dem gemeinsamen "Tanz" der Planeten und Monde beschäftigen.

Aufgaben

A01: Klicken Sie in folgender Simulation ohne Veränderung der voreingestellten Parameter auf Animation starten. Warum begleitet der Mond den Planeten? Vom Planeten aus gesehen bewegt sich der Mond näherungsweise auf einer Kreisbahn. Erklären Sie mit Hilfe der Gravitationskraft, warum der Planet den Mond auf eine Kreisbahn zwingt.

A02: Ändern Sie bei ansonsten unveränderten Parametern, die Bahngeschwindigkeit des Mondes auf -29 und klicken dann auf Objekte setzen. Begründen Sie, warum sich die Form der Flugbahn im Vergleich zu A01 stark ändert? Suchen Sie eine negative Geschwindigkeit für den Mond, so dass er - vom Planeten aus gesehen - in guter Näherung wieder eine Kreisbahn fliegt.

A03: Stellen Sie folgende Parameter ein: Masse Mond 10500, Geschw. Mond: 29, Masse Planet 100000, Geschw. Planet 3, Entfernung: 100. Klicken Sie dann auf Animation starten. Erklären Sie die Beobachtung.
Setzen Sie die Geschwindigkeit des Mondes auf 6 und erklären Sie die Beobachtung.

A04: Experimentieren Sie mit den Parametern und suchen Sie dabei nach interessanten Choreographien. Nehmen Sie diese als Bildschirmkopie auf.

Dokumentieren Sie Ihre Antworten in einem geeigneten Textverarbeitungsprogramm und senden Sie das Dokument an Ihre Lehrkraft.

(10 XP)


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G-Simulation 4

In der Raumfahrt müssen Raumsonden und Raumschiffe mit Hilfe von Antrieben beschleunigt werden, um ihr Ziel zu erreichen. Jede Änderung des Bewegungszustands kostet dabei wertvollen Treibstoff. Wenn man die Gravitationskraft geschickt einsetzt, kann man dabei Treibstoff sparen.

Aufgaben

A01: Laden Sie die drei Flugmanöver und beobachten Sie das Verhalten des Raumschiffs. Woher kommt die Energie zur Beschleunigung, dem Bremsen oder der Änderung der Flugrichtung des Satelliten?

A02: Suchen Sie weitere Manöver, indem Sie mit den Parametern experimentieren.

A03: Recherchieren Sie im Internet nach Flugmanövern für Raumschiffe und Raumsonden, die in der Realität bereits durchgeführt wurden und erstellen Sie eine Präsentation zum Thema: "Flugmanöver von Raumschiffen mit Hilfe der Gravitation". Lassen Sie die Präsentation Ihrer Lehrkraft zukommen.

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