wpk.4 Gravitationslabor I


Die Gravitation bestimmt die Bewegung der Objekte im Kosmos. Im ersten Kapitel hatten Sie gelernt, wie man die Bewegung kosmologischer Objekte mit Hilfe eines Computers näherungsweise simulieren kann, wenn die Gravitationskraft wirkt. Jetzt werden Computer-Simulationen verwendet, um die Bewegung von Objekten bei der Wirkung gegenseitiger Gravitationskraft besser verstehen zu können.

Die Grundlage für die Modellierung der Gravitationswirkung ist das Newtonsche Gravitationsgesetz:

\[ F_{G} = G \, \cfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

\(F_{G} = \text{Kraft zwischen zwei Massen in Newton (N)}\)
\(G = \text{Gravitationskonstante}\)
\(m_1, m_2 = \text{Masse der beiden Körper in Kilogramm (kg)}\)
\(r = \text{Abstand der beiden Körper in Meter (m)}\)

Im newtonschen Gravitationsgesetz steht die Gravitationskonstante als Faktor. Also ist die Gravitationskraft proportional zur Gravitationskonstanten:

\[ F_{G} \sim G\]

In einem anderen Universum, in welchem die Gravitationskonstante doppelt so größ wäre, als in unserem, wäre die Gravitationskraft, bei ansonsten gleichen Parametern, doppelt so groß. Für eine Simulation kann also eine passende Gravitationskonstante z.B. \(G = 1\) gewählt werden, damit diese zum Simulationsmaßstab von wenigen Pixeln Entfernung passt.

Auch die Masse der beteiligten Objekte steht als Faktor im Gravitationsgesetz. Also ist die Gravitationskraft jeweils proportional zur Masse der Körper die aufeinander eine Gravitationskraft bewirken:

\[ F_{G} \sim m\]

Für die Simulation kann eine geeignete Masse der Objekte festgelegt werden, so dass die darzustellenden Kräfte zum Maßstab der Simulation passen. Eine Computer-Simulation ist also immer ein angenähertes Modell der realen Situation.

In der ersten Simulation werden Objekte, die eine Masse haben, in einen ansonsten leeren Kosmos gesetzt. Die Objekte werden an ihrem Ort festgesetzt, die Gravitationskraft hat also keine Beschleunigung zur Folge. Bewegen können Sie die Objekte mit Hilfe der Maus. Sie sollen beobachten, wie sich die wirkende Gravitationskraft verändert, wenn eine größere Anzahl von Objekten, die eine Masse haben, gleichzeitig im Kosmos vorhanden sind.

Machen Sie sich mit der folgenden Simulation vertraut, indem Sie virtuelle "Planeten" mit unterschiedlicher Masse in den Kosmos setzen und diese mit Hilfe der Maus durch den "Kosmos" bewegen und bearbeiten Sie dann die Aufgaben.

In einem neuen Fenster starten: G-Simulation 1

Newton erdachte ein Gedankenexperiment, das er im Kapitel A Treatise of the System of the World in seinen Principia erklärte:

Let AFB represent the surface of the earth, C its centre, VD, VE, VF, the curve lines which a body would describe, if projected in an horizontal direction from the top of an high mountain successively with more and more velocity (p. 400); and, because the celestial motions are scarcely retarded by the little or no resistance of the spaces in which they are performed, to keep up the parity of cases, let us suppose either that there is no air about the earth, or at least that it is endowed with little or no power of resisting; and for the same reason that the body projected with a less velocity describes the lesser arc VD, and with a greater velocity the greater arc VE, and, augmenting the velocity, it goes farther and farther to F and G, if the velocity was still more and more augmented, it would reach at last quite beyond the circumference of the earth, and return to the mountain from which it was projected.

A Treatise of the System of the World (Isaac Newton)

Quelle: Wikisource

Dieses Gedankenexperiment sollen Sie mit Hilfe einer Rechnung und einer Simulation nachvollziehen.

Wir betrachten einen Satelliten der Masse \(m_S\). Solange keine Kraft auf den Satelliten wirkt, bewegt sich dieser nach dem 1. Newtonschen Grundgesetz geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Dafür müsste der Satellit alleine im Kosmos sein, denn alle Körper üben aufeinander die Gravitationskraft aus. Wir denken uns also einen vollständig leeren Kosmos, in dem sich einsam ein Satellit bewegt. Da es keine Objekte gibt, an denen der Satellit vorbeifliegen könnte, können wir nicht unterschieden, ob sich der Satellit bewegt oder ruht, wir können ihn uns also auch als ruhend vorstellen.

Jetzt setzen wir in die Nähe des Satelliten einen Planeten, so dass beide relativ zueinander ruhen. Was wird passieren? Zwischen dem Planeten und dem Satelliten wirkt jetzt die Gravitationskraft und der Satellit würde in Richtung des Planeten beschleunigt werden, genauso wie der Planet in Richtung des Satelliten beschleunigt wird.

Nach dem Newtonschen Gravitationsgesetz ist die Kraft zwischen der Erde und dem Satelliten für beide gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Aus der Formel \(F_G = m \cdot a\) folgt \(a = \frac{F_G}{m}\), wo die Masse im Nenner steht, weswegen der Satellit stärker beschleunigt wird als der Planet, da der Planet eine sehr viel größere Masse hat, als der Satellit. Bei genügend großer Masse des Planeten ist seine Beschleunigung so klein, dass sie praktisch nicht gemessen werden kann.

Wenn der Satellit jetzt eine Anfangsgeschwindigkeit relativ zum Planeten besitzt, dann bewirkt die Gravitationskraft eine Beschleunigung des Satelliten, welche seine Flugbahn verändert. Wir nehmen nun an, dass sich der Satellit anfänglich parallel zur Oberfläche des Planeten bewegt. Jetzt kommt das Newtonsche Gedankenexperiment: Wie groß muss die Geschwindigkeit des Satelliten sein, damit er diesen auf einer Kreisbahn umrunden kann?

Diese Geschwindigkeit soll jetzt berechnet werden. Aus dem Physikunterricht sollte Ihnen die Formel für die Zentripetalkraft \(F_{ZP}\) bekannt sein. Ein Körper der Masse \(m\) bewegt sich auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\) und einer Bahngeschwindigkeit \(v\) wenn er mit der Zentripetalkraft \(F_{ZP}\) auf seine Bahn gezwungen wird:

\[ F_{ZP} = \frac{m \cdot v^2}{r}\]

Die Zentripetalkraft ist im Fall des Satelliten die Gravitationskraft \(F_G = \frac{G \cdot m_E \cdot m_S}{r^2}\), die zwischen dem Satelliten und der Erde wirkt. Also gilt:

\[ \begin{align} F_{ZP} &= F_G \\ \frac{m_S \cdot v^2}{r} &= \frac{G \cdot m_E \cdot m_S}{r^2} \quad | :m_S\\ \frac{v^2}{r} &= \frac{G \cdot m_E}{r^2} \quad | \cdot r \\ v^2 &= \frac{G \cdot m_E}{r} \quad | \sqrt {}\\ v &= \sqrt{\frac{G \cdot m_E}{r}} \\ \end{align}\]

Die Geschwindigkeit, die notwendig ist, damit der Satellit einen Planeten auf einer Kreisbahn umfliegen kann, wird berechnet mit der Formel:

\[ v = \sqrt{\frac{G \cdot m_E}{r}}\]

\(v = \text{Bahngeschwindigkeit des Satelliten}\)
\(G = \text{Gravitationskonstante}\)
\(m_E = \text{Masse der Erde}\)
\(r = \text{Abstand zwischen Mittelpunkt der Erde und Satellit}\)

Sucht man zu einer gegebenen Geschwindigkeit \(v\) des Satelliten die notwendige Entfernung \(r\) zum Erdmittelpunkt, kann man diese Formel nach \(r\) auflösen:

\[ \begin{align} v^2 &= \frac{G \cdot m_E}{r} \quad | \cdot r, \, : v^2 \\ r &= \frac{G \cdot m_E}{v^2} \end{align}\]

Die Entfernung \(r\) zum Erdmittelpunkt, mit der ein Satellit die Erde umrunden muss, damit er diese mit der Bahngeschwindigkeit \(v\) auf einer Kreisbahn umfliegt, kann berechnet werden mit der Formel:

\[ r = \frac{G \cdot m_E}{v^2}\]

Berechnen Sie mit den realistischen Daten (die Sie im Internet oder der Formelsammlung finden) die Lösung für das Newtonsche Gedankenexperiment - also die notwendige Bahngeschwindigkeit \(v\) eines Satelliten parallel zur Erdoberfläche, der in einer Höhe von 10 km die Erde umrunden soll. Dazu nehmen Sie wie Newton an, dass der Luftwiderstand in einer Höhe von 10 km gleich Null ist.

In der folgenden Simulation können Sie die Flugbahn von Satelliten in der Nähe der Erde näherungsweise simulieren. Die Simulation rechnet nicht mit den realen Daten der Erdmasse und der Entfernung, sondern mit Modellangaben. Die Masse der Erde beträgt im Modell 200000 ME und die Entfernungseinheiten sind die Pixel des Bildschirms. In der Simulation finden Sie die Auswahlmöglichkeit zweier numerischer Verfahren zur Berechnung der Flugbahn: Eulerverfahren und Runge-Kutta-4-Verfahren.

Das Eulerverfahren stammt aus dem Jahr 1768, also der Zeit von Newton und gilt als einfachstes Verfahren zur näherungsweise Berechnung der Flugbahn des Satelliten. Beim Eulerverfahren wird einmal pro Zeitintervall die wirkende Gravitationskraft bestimmt und daraus die Beschleunigung, Geschwindigkeit und der neue Ort berechnet. Die Genauigkeit dieses Verfahrens ist direkt abhängig von der Größe des Zeitschritts. Je kleiner der Zeitschritt, desto genauer das Verfahren.

Das Runge-Kutta-Verfahren stammt aus dem Jahr 1895. In jedem Zeitschritt berechnet man bei diesem Verfahren 4 Mal die wirkende Gravitationskraft und die daraus resultierende Beschleunigung in der Nähe des Ortes, an dem sich der Satellit befindet. Aus diesen 4 Werten wird ein Mittelwert für die neue Geschwindigkeit und den neuen Ort des Satelliten nach einem Zeitschritt berechnet. Dieses Verfahren ist genauer als das Eulerverfahren, erfordert aber auch einen deutlich höheren Rechenaufwand. Das können Sie daran erkennen, dass die Bewegung des Satelliten in der Simulation langsamer erscheint, weil der Computer nicht mehr 60 Frames pro Sekunde schafft.

Machen Sie sich mit der folgenden Simulation vertraut, indem Sie virtuelle "Planeten" mit unterschiedlicher Masse in den Kosmos setzen und diese mit Hilfe der Maus durch den "Kosmos" bewegen und bearbeiten Sie dann die Aufgaben.

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