In der Physik gehört zur Modellierung von beobachteten Phänomenen die mathematische Modellierung, mit welcher es möglich ist, Messergebnisse von Experimenten vorherzusagen. Bei der mathematischen Modellierung von Schwingungen suchen wir eine Funktion mit deren Hilfe die Position des Oszillators (schwingenden Körpers) zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden kann.
Eine Schwingung bei der keine Energie verloren geht, ist ein periodischer Vorgang, der sich ständig auf die gleiche Weise wiederholt. Einen solchen Vorgang kennen Sie von Uhren: der Zeiger einer Uhr dreht sich unentwegt mit gleichem Tempo im Uhrzeigersinn und kann damit genau angeben, wie spät es gerade ist.
Eine Schwingung kann auf drei Weisen dargestellt werden:
- als ein Körper, der um seine Ruhelage oszilliert (schwingt), während die Zeit vergeht
- als ein Zeiger der um seine Achse rotiert, während die Zeit vergeht
- als eine Sinuskurve bei welcher die Auslenkung (Elongation) über der Zeit aufgetragen wird
In der folgenden Simulation werden diese drei Darstellungsarten visualisiert:
- Starten Sie die Simulation durch Klick auf "Starten/Pausieren". Ordnen Sie die Begriffe Ruhelage, Auslenkung (Elongation), Amplitude, Periode, Periodendauer und Frequenz der Zeigerdarstellung (links), dem Schwingungskörper (rot, Mitte) und der Sinuskurve (rechts) zu.
zu 1.: Ruhelage: Der Zeiger befindet sich beim Winkel 0° bzw. im Bogenmaß bei 0.

Auslenkung (Elongation): Die Projektion des Zeigers auf die y-Achse ist die Auslenkung oder Elongation.

Amplitude: Die maximale Auslenkung aus der Ruhelage (Amplitude) entspricht der Länge des Zeigers.

Periode: Eine vollständige Umdrehung des Zeigers entspricht einer Periode des Oszillators.
Periodendauer: Die Zeitdauer für eine vollständige Umdrehung des Zeigers nennt man Periodendauer.
Frequenz: Die Anzahl der vollständigen Umdrehungen des Zeigers in einer Sekunde nennt man Frequenz.
Der rotierende Zeiger beschreibt eine Kreisbewegung. Bei einer Kreisbewegung kann die Geschwindigkeit des rotierenden Zeigers mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) angegeben werden. Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) gibt an, welcher Winkel \(\phi\) vom Zeiger in der Zeit \(t\) überstrichen wird. Da der Zeiger den gesamten Kreis (Winkel 360°, Bogenmaß \(2 \, \pi\)) in der Zeit \(T\) überstreicht, gilt
\[
\omega = \frac{2 \, \pi}{T}\]
Da die Periodendauer \(T\) gleich dem Kehrwehrt der Frequenz \(f\) ist, gilt:
\[
\omega = 2 \, \pi \cdot f\]
Für einen beliebigen Winkel \(\phi\), der in der Zeit \(t\) überstrichen wird, gilt:
\[
\omega = \frac{\phi}{t}\]
Beim rotierenden Zeiger kann man ein rechtwinkeliges Dreieck einzeichnen:

Für das rechtwinkelige Dreieck gilt: \(sin(\phi) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{GK}}{\text{H}}\)
Die Gegenkathete ist die Auslenkung \(y\) zur Zeit \(t\) und kann als \(y(t)\) geschrieben werden. Die Hypothenuse ist die Amplitude der Schwingung und kann als \(A\) geschrieben werden. Den Winkel \(\phi\) kann man mit der Winkelgeschwindigkeit ausdrücken: \(\phi = \omega \cdot t\). Damit folgt:
\[
\begin{align}
sin(\phi) &= \frac{\text{GK}}{\text{H}} = \frac{y(t)}{A} \\
sin(\omega \cdot t) &= \frac{y(t)}{A} \\
y(t) &= A \cdot sin(\omega \cdot t)
\end{align} \]
Wenn eine Schwingung durch eine Sinusfunktion beschrieben werden kann (harmonische Schwingung), dann gilt für die Auslenkung \(y(t)\) des Oszillators zum Zeitpunkt \(t\):
\[
y(t) = A \cdot sin(\omega \cdot t)\]
Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) kann mit der Periodendauer oder Frequenz der Schwingung ersetzt werden:
\[
y(t) = A \cdot sin(\omega \cdot t) = A \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right) = A \cdot sin(2 \pi \cdot f \cdot t)\]