3.1 Schwingungen

Eine Bewegung, bei der ein Körper aus einer Ruhelage ausgelenkt wird und die sich dann aufgrund der wirkenden Kräfte gleichartig wiederholt, nennt man eine Schwingung. Die Bewegung eines Uhrenpendels oder einer Schaukel ist eine solche Schwingung. In der folgenden Simulation können Sie eine Schwingung beobachten.

Am Beispiel des Fadenpendels der obigen Simulation werden die Begriffe festgelegt, die zur Beschreibung einer Schwingung verwendet werden:

• Ruhelage: Wenn die am Faden befestigte Masse nicht ausgelenkt ist und sich nicht bewegt, ist sie in Ruhe. Die Position, in welcher das Pendel in Ruhe ist, nennt man Ruhelage. Symbol: \(y_0\)
• Auslenkung (Elongation): Wenn sich das Fadenpendel bewegt, befindet sich der Pendelkörper zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort relativ zur Ruhelage. Die Entfernung zur Ruhelage nennt man Auslenkung oder Elongation. Die Auslenkung kann auf verschiedene Weisen gemessen werden: als direkte Entfernung, als Winkel, als Länge der Bahn auf der sich der schwingende Körper bewegt,... Symbol: \(y(t)\)
• Phase: Die Position des Oszillators relativ zur Ruhelage nennt man Phase der Schwingung. Im Unterschied zur Auslenkung wird hier nicht nur der Abstand zur Ruhelage betrachtet, sondern auch auf welcher Seite relativ zur Ruhelage sich der Oszillator befindet.
• Amplitude: Die maximale Auslenkung des Pendelkörpers relativ zur Ruhelage nennt man Amplitude der Schwingung. Symbol: \(A\)
• Periode: Einen vollständigen Durchlauf der Bewegung des Pendelkörpers nennt man Periode der Schwingung. Dabei gilt: die Schwingung wiederholt sich, wenn die Ruhelage wieder in der gleichen Richtung verlassen wird, wie zu Beginn der Schwingung. Beim Fadenpendel ist eine Periode also die Bewegung von der Ruhelage nach z.B. links, dann durch die Ruhelage nach rechts und dann zurück zur Ruhelage.
• Periodendauer: Die Zeit, die der Pendelkörper für eine komplette Schwingung (eine Periode) benötigt, nennt man Periodendauer der Schwingung. Symbol: \(T\)
• Frequenz: Die Anzahl der Perioden pro Sekunde nennt man Frequenz der Schwingung. Symbol: \(f\)

Es gilt für den Zusammenhang zwischen der Frequenz und der Periodendauer:

\[ f = \frac{1}{T}\]

Die Einheit der Frequenz ist: \([f] = \frac{1}{s} = 1 \, \text{Hertz} = 1 \, \text{Hz}\)

Um einen Schwingungsvorgang abzubilden, geht man wie folgt vor: Die Auslenkung (Elongation) wird über der Zeit aufgetragen. Wenn bei der Abbildung eines Schwingungsvorgangs über der Zeit eine sinusförmige Kurve entsteht, wird die Schwingung als harmonische Schwingung bezeichnet.

Bei realen Schwingungen geht immer Energie durch Reibungseffekte (z.B. Luftwiderstand, Reibung in der Aufhängung,...) verloren. Eine solche reale Schwingung wird gedämpfte Schwingung genannt. Um eine reale Schwingung ungedämpft ausführen zu können, muss ständig die verloren gegangene Energie ausgeglichen werden.

Beispiele:

• bei einer Schaukel wird nach jeder Periode durch einen Anstoß die verlorenen Energie wieder zugeführt
• bei einer mechanischen Uhr wird die verlorene Energie durch eine gespannte Feder oder eine/n Akku/Batterie ausgeglichen, bis die Feder entspannt oder der/die Akku/Batterie leer ist.

In der folgenden Simulation wird die Schwingung eines Modellpendel auf die Zeichenfläche abgebildet, die sich unter dem Pendel in y-Richtung bewegt. Die eingeführten Begriffe (Amplitude, Periodendauer,...) sind in der Simulation aufgeführt.

In der Physik gehört zur Modellierung von beobachteten Phänomenen die mathematische Modellierung, mit welcher es möglich ist, Messergebnisse von Experimenten vorherzusagen. Bei der mathematischen Modellierung von Schwingungen suchen wir eine Funktion mit deren Hilfe die Position des Oszillators (schwingenden Körpers) zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden kann.

Eine Schwingung bei der keine Energie verloren geht, ist ein periodischer Vorgang, der sich ständig auf die gleiche Weise wiederholt. Einen solchen Vorgang kennen Sie von Uhren: der Zeiger einer Uhr dreht sich unentwegt mit gleichem Tempo im Uhrzeigersinn und kann damit genau angeben, wie spät es gerade ist.

Eine Schwingung kann auf drei Weisen dargestellt werden:

• als ein Körper, der um seine Ruhelage oszilliert (schwingt), während die Zeit vergeht
• als ein Zeiger der um seine Achse rotiert, während die Zeit vergeht
• als eine Sinuskurve bei welcher die Auslenkung (Elongation) über der Zeit aufgetragen wird

In der folgenden Simulation werden diese drei Darstellungsarten visualisiert:

Der rotierende Zeiger beschreibt eine Kreisbewegung. Bei einer Kreisbewegung kann die Geschwindigkeit des rotierenden Zeigers mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) angegeben werden. Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) gibt an, welcher Winkel \(\phi\) vom Zeiger in der Zeit \(t\) überstrichen wird. Da der Zeiger den gesamten Kreis (Winkel 360°, Bogenmaß \(2 \, \pi\)) in der Zeit \(T\) überstreicht, gilt

\[ \omega = \frac{2 \, \pi}{T}\]

Da die Periodendauer \(T\) gleich dem Kehrwehrt der Frequenz \(f\) ist, gilt:

\[ \omega = 2 \, \pi \cdot f\]

Für einen beliebigen Winkel \(\phi\), der in der Zeit \(t\) überstrichen wird, gilt:

\[ \omega = \frac{\phi}{t}\]

Beim rotierenden Zeiger kann man ein rechtwinkeliges Dreieck einzeichnen:

Für das rechtwinkelige Dreieck gilt: \(sin(\phi) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{GK}}{\text{H}}\)

Die Gegenkathete ist die Auslenkung \(y\) zur Zeit \(t\) und kann als \(y(t)\) geschrieben werden. Die Hypothenuse ist die Amplitude der Schwingung und kann als \(A\) geschrieben werden. Den Winkel \(\phi\) kann man mit der Winkelgeschwindigkeit ausdrücken: \(\phi = \omega \cdot t\). Damit folgt:

\[ \begin{align} sin(\phi) &= \frac{\text{GK}}{\text{H}} = \frac{y(t)}{A} \\ sin(\omega \cdot t) &= \frac{y(t)}{A} \\ y(t) &= A \cdot sin(\omega \cdot t) \end{align} \]

Die Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) kann mit der Periodendauer oder Frequenz der Schwingung ersetzt werden:

\[ y(t) = A \cdot sin(\omega \cdot t) = A \cdot sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right) = A \cdot sin(2 \pi \cdot f \cdot t)\]

In der Realität verliert ein schwingungsfähiges System bei einer Schwingung meist durch Reibungseffekte Energie. Das können Sie in der folgenden Simulation beobachten, wenn Sie den Dämpfungsfaktor auf einen Wert kleiner als 1 einstellen (die verlangsamte Bewegung des Pendelkörpers liegt an der Rechenleistung des PCs).

Um eine gedämpfte Schwingung zu modellieren, gehen wir davon aus, dass die Amplitude einer Schwingung in jedem gleichen Zeitintervall (z.B. 1 Sekunde) um den gleichen Anteil abnimmt. Mathematisch handelt es sich dann um eine exponentielle Abnahme der Amplitude, da in gleichen Zeitintervallen der Bestand um den gleichen prozentualen Anteil abnimmt.

Beispiel: Wenn in jedem Zeitschritt die Amplitude \(A\) um 10% abnimmt, dann wäre eine geeignete Modellierung der Veränderung der Amplitude:

\[ A(t) = A_0 \cdot 0,9^t = A_0 \cdot e^{ln(0,9) \cdot t}\]

Umwandlung der Exponentialfunktion zur Basis \(0,9\) in eine Exponentialfunktion zur Basis \(e\):

\[ \begin{align} A(t) &= A_0 \cdot 0,9^t \\ \frac{A(t)}{A_0} &= 0,9^t \qquad | ln \\ ln \left(\frac{A(t)}{A_0}\right) &= ln(0,9^t) \\ ln\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) &= t \cdot ln(0,9) \qquad | e^x \\ \frac{A(t)}{A_0} &= e^{t \cdot ln(0,9)} \\ A(t) &= A_0 \cdot e^{ln(0,9) \cdot t} \end{align}\]

Insgesamt kann eine gedämpfte Schwingung deren Amplitude um \(p\) % in jedem Zeitschritt abnimmt, wie folgt mathematisch beschrieben werden:

Zur Vereinfachung fasst man den Ausdruck \(ln \left( 1-\tfrac{p}{100} \right)\) zu einer Konstanten, der Dämpfungskonstanen \(k\) zusammen. Da der Logarithmus einer Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt negativ ist, die Dämpfungskonstante aber als positivie Zahl notiert wird, gilt:

\[ k = - ln \left( 1-\tfrac{p}{100} \right)\]

Für eine gedämpfte Schwingung gilt damit:

Plottet man eine solche Funktion, entsteht die Sinuskurve der gedämpften Schwingung.