Elektrisches Feld


Bezug zum Kerncurriculum:
Ich kann Feldlinienbilder für das homogene Feld und das Feld einer Punktladung skizzieren.
Ich kann die Bedeutung elektrischer Felder für eine technische Anwendung (z.B. Laserdrucker, Kopierer,...) beschreiben.
Ich kenne die Einheit der elektrischen Ladung und kann die physikalische Größe "elektrische Feldstärke" erklären und deren Formel und Einheit angeben.
Ich kann Experimente zur Bestimmung der elektrischen Feldstärke auf der Grundlage von Kraftmessungen beschreiben. Ich kann den Zusammenhang zwischen der Feldstärke in einem Plattenkondensator und der anliegenden Spannung beschreiben.


Feldlinienbilder für elektrische Felder

Elektrische Ladungen üben aufeinander abstoßende und anziehende Wirkungen aus. In einem Gedankenexperiment soll in die Nähe von kleinen Kugeln, die elektrisch geladen sind (Elektronenüberschuss oder Elektronenmangel) ein elektrisch positiv geladener Wattebausch, den wir "Probeladung" nennen, gesetzt werden. Diese Probeladung denken wir uns vereinfacht so, dass diese zwar eine Kraft von den anderen geladenen Kugeln erfährt, die anderen Körper aber nicht beeinflusst.

In der Nähe einer elektrisch negativ geladenen Kugel bewegt sich die Probeladung geradlinig auf die Kugel zu, da sie er von dieser angezogen wird. Befinden sich mehr als eine geladene Kugel in der Nähe der Probeladung, kann deren Flugbahn krummlinig werden, da die Probeladung gleichzeitig von mehreren elektrisch geladenen Kugeln angezogen oder abgestoßen wird. Wie Sie in der Simulation "Coulombkraft" im letzten Kapitel gesehen haben, wird die resultierende Kraft auf eine Probeladung mit Hilfe der Parallelogrammregel für Kraftpfeile ermittelt. Die Kraftpfeile nennen wir in der Oberstufe Kraft-Vektoren.

Der Raum in der Umgebung von elektrisch geladenen Kugeln, in welchem diese elektrische Kräfte ausüben, wird elektrisches Feld genannt.

In der folgenden Simulation können Sie den Raum in der Nähe von elektrisch geladenen Kugeln erkunden.

Experiment: Elektrisches Feld

Klicken Sie auf den Tab "Durchführung" und führen Sie das interaktive Experiment im Tab "Interaktives Experiment" wie beschrieben durch. Danach können Sie Ihre Beobachtungen und Folgerungen mit Aussagen in den Tabs "Beobachtungen" und "Folgerungen" vergleichen. In der Simulation denken wir uns die elektrischen Ladungen so, dass Sie unbeweglich an einer Position fest verankert sind. Nur die Probeladung kann sich bewegen und deren Bewegung denken wir uns mit einer konstanten Geschwindigkeit.

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Elektrische Felder in technischen Anwendungen

In vielen elektrischen Geräten werden elektrische Felder erzeugt, um eine gewünschte Wirkung zu erzielen. Im folgenden finden Sie einige Beispiele für die technische Anwendung elektrischer Felder:

  • Fotokopierer
  • Laserdrucker
  • Oszilloskop
  • Rauchgasreinigung: Wenn feinstaubbelasteter Rauch durch ein Metallrohr geschickt wird, bei dem in der Mitte ein Draht ist und zwischen dem Draht und den Wänden eine hohe Spannung angelegt wird, können Staubteilchen geladen und zu den Wänden beschleunigt werden. Dort sammeln sich die Staubteilchen als Belag und können z.B. durch Klopfen, Herabfallen und Aufsammeln in einem Sammelbehälter abtransportiert werden.

Elektrische Feldstärke \(E\)

Ein Plattenkondensator ist eine experimentelle Anordnung von zwei metallischen Platten, die an eine Spannungsquelle angeschlossen sind. Wenn die Spannungsquelle eingeschaltet wird, pumpt die Spannungsquelle Elektronen auf die Platte, die mit dem Minuspol verbunden ist. Der Pluspol zieht Elektronen von der anderen Platte herunter. Die ein Platte ist also negativ geladen und die andere Platte ist positiv geladen. Wenn sich zwischen den Platten ein elektrisch geladener Körper befindet, erfährt dieser eine Kraft von den Platten.

Kraft im Plattenkondensator

Die elektrische Kraft auf einen positiv geladenen Körper setzt sich zusammen aus der anziehenden Kraft der negativen und der abstoßenden Kraft der positiven Platte. Diese beiden Kräfte ergänzen sich zu einer elektrischen Gesamtkraft auf den geladenen Körper, der sich zwischen den Platten befindet. Befindet sich der geladene Körper näher an der negativ geladenen Platte, ist dessen anziehende Kraft größer als die abstoßende Kraft der positiv geladenen Platte und umgekehrt. Denkt man sich einen idealen Plattenkondensator (die Feldlinien sind parallel), dann ist die elektrische Gesamtkraft, die auf den geladenen Körper wirkt, überall im Kondensator gleich groß.

Befindet sich ein stark geladener Körper bei einer bestimmten Spannung zwischen den Kondensatorplatten, dann wirkt auf diesen eine große elektrische Kraft. Ist der Körper nur schwach elektrisch geladen, dann wirkt auf ihn nur eine schwache elektrische Kraft. Teilt man die elektrische Kraft durch die Ladung des geladenen Körpers, bekommt man eine Größe, mit der man die Stärke des elektrischen Feldes im Plattenkondensator bei unterschiedlichen Spannungen vergleichen kann. Die elektrische Feldstärke wird als eine neue physikalische Größe festgelegt:

Wenn auf einen elektrisch geladenen Körper der Ladung \(Q\) in einem elektrischen Feld die elektrische Kraft \(F_{el}\) wirkt, dann sagt man, das elektrische Feld hat eine elektrische Feldstärke \(E\) der Größe:

\[ E = \frac{F_{el}}{Q}\]

Die Einheit der elektrischen Feldstärke ist

\[ [E] = \frac{[F]}{[Q]} = \frac{N}{C}\]

Experiment: Pendel im Kondensator

Mit Hilfe eines metallüberzogenen Tischtennisballs, der als Pendel zwischen zwei Kondensatorplatten hin- und herschwingt, kann die elektrische Feldstärke experimentell bestimmt werden. Machen Sie sich mit Hilfe der folgenden Simulation mit dem Verhalten eines Pendels im Plattenkondensator vertraut.

Klicken Sie dazu auf den Tab "Durchführung" und führen Sie das interaktive Experiment im Tab "Interaktives Experiment" wie beschrieben durch. Sie können danach Ihre Beobachtungen und Folgerungen mit Aussagen in den Tabs "Beobachtungen" und "Folgerungen" vergleichen.

In einem neuen Fenster starten: Pendel im Plattenkondensator

Für die experimentelle Bestimmung der elektrischen Feldstärke \(E\) im Plattenkondensator bei einer bestimmten Spannung \(U\) kann die stabile Gleichgewichtslage des Pendels genutzt werden. Das Pendel erfährt wegen der Schwerkraft der Erde eine Kraft senkrecht nach unten und wegen der wirkenden elektrischen Kraft eine Kraft in Richtung der Kondensatorplatten. Die Schnur lenkt diese Kräfte zum Teil um, so dass zum einen die Schnur gespannt wird und zum anderen das Pendel eine Kraft tangential zu der Kreisbahn erfährt, auf welcher es sich bewegt. Wenn das Pendel in der Luft still steht, dann ist die horizontale Komponente der Seilkraft und der elektrische Kraftvektor vom Betrag gleich groß und entgegengesetzt gerichtet.

Gleichgewichtslage

In dieser Gleichgewichtslage findet man zwei rechtwinkelige Dreiecke:

Mit Hilfe dieser beiden rechtwinkeligen Dreiecke und den Sätzen der Trigonometrie (Sinus, Cosinus, Tangens,...) kann man eine Formel für die elektrische Feldstärke herleiten, in welcher Größen stehen, die man experimentell messen kann.



Im unteren rechtwinkeligen Dreieck ist \(F_G\) die Ankathete und \(F_\rm{el}\) die Gegenkathete zum Winkel \(\alpha\). Damit gilt:

\(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{F_{el}}{F_G}\)

Nach \(F_\rm{el}\) auflösen:

\(F_\text{el} = F_\text{G} \cdot \tan \left( \alpha \right)\)
Im oberen rechtwinkeligen Dreieck ist die Seillänge \(L\) die Hypothenuse und die Strecke \(s\) ist die Gegenkathete zum Winkel \(\alpha\). Damit gilt:

\(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} = \frac{s}{L}\)

Nach \(\alpha\) auflösen:

\(\alpha = \arcsin \left( \frac{s}{L} \right)\)
\(\alpha = \arcsin \left( \frac{s}{L} \right)\) kann man in das Argument von \(\tan(\alpha)\) einsetzen: \(F_\text{el} = F_\text{G} \cdot \tan \left( \arcsin \left( \frac{s}{L} \right) \right)\)
Für die Gewichtskraft \(F_\text{G}\) gilt \(F_\text{G} = m \cdot g\), wobei \(g\) der Ortsfaktor ist. Damit gilt für die elektrische Kraft: \(F_\text{el} = m \cdot g \cdot \tan \left( \arcsin \left( \frac{s}{L} \right) \right)\)
Die elektrische Feldstärke \(E\) ist per Definition die elektrische Kraft pro Ladung, also: \(E = \frac{F_\rm{el}}{Q}\)
Setzt man die gefundene Formel für die elektrische Kraft \(F_\rm{el}\) ein, folgt insgesamt für die elektrische Feldstärke \(E\): \(E = \frac{F_\text{el}}{Q} = \frac{m \cdot g}{Q} \cdot \tan \left( \arcsin \left( \frac{s}{L} \right) \right)\)

Damit ist eine geeignete Formel hergeleitet worden, um im Pendelexperiment die elektrische Feldstärke \(E\) messen und berechnen zu können:

\[ E = \frac{m \cdot g}{Q} \cdot \tan \left( \arcsin \left( \frac{s}{L} \right) \right)\]


Näherung

In einem realen Experiment verwendet man eine sehr lange Schnur für die Aufhängung der Pendelkugel und die Auslenkung des Pendels wird sehr klein sein. Man beobachtet also nur sehr kleine Auslenkungswinkel. Für kleine Winkel \(\alpha < 5°\) gilt in guter Näherung:

\[ \tan(\alpha) \approx \sin(\alpha)\]

Beispiel: \(\sin(3°) = 0,05234\) und \(\tan(3°) = 0,05240\).

Damit gilt für kleine Winkel \(\alpha\) folgende Näherung:

\[ \tan \left( \arcsin \left( \alpha \right) \right) \approx \alpha\]

Ersetzt man \(\alpha\) mit \(\frac{s}{L}\), dann folgt:

\[ \tan \left( \arcsin \left( \frac{s}{L} \right) \right) \approx \frac{s}{L}\]

Also kann man in der Formel für die elektrische Feldstärke bei kleinen Auslenkungswinkeln den Ausdruck \(\tan \left( \arcsin \left( \frac{s}{L} \right) \right)\) mit \(\frac{s}{L}\) ersetzen:

Für kleine Auslenkungswinkel gilt im Pendelexperiment für die elektrische Feldstärke \(E\):

\[ E = \frac{m \cdot g \cdot s}{Q \cdot L}\]


Messung der Größen

Die notwendigen Messgrößen \(m\), \(g\), \(s\), \(Q\) und \(L\) können in einem realen Experiment wie folgt gemessen werden:

  • Die Masse \(m\) kann mit einer geeigneten Waage gemessen werden.

  • Der Ortsfaktor \(g\) kann der Formelsammlung entnommen werden: \(g = 9,81 \frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\).

  • In einem realen Experiment wird die Auslenkung \(s\) des Pendels sehr klein sein. Wenn man die Auslenkung mit Hilfe einer Lampe auf einen entfernten Schirm projiziert, kann man eine größere Strecke leicht messen und die gesuchte Strecke mit Hilfe des Strahlensatzes berechnen. Zuerst misst man in der Ruhelage bei ungeladenem Kondensator die Entfernung \(a\) zwischen Lampe und Kugel im Kondensator. Dann die Entfernung \(a'\) zwischen Lampe und Schirm auf den projiziert wird. Dann markiert man auf dem Schirm die Projektion der Position der Kugel in Ruhelage. Schließlich lädt man den Kondensator auf und misst auf dem Schirm die Länge \(s'\), also die Projektion der Strecke \(s\) auf den Schirm bei ausgelenkter Kugel. Nach dem Strahlensatz folgt \(\frac{a}{a'} = \frac{s}{s'}\). Damit kann man \(s\) mit folgender Formel berechnen: \(s = \frac{a}{a'} \cdot s'\).

  • Die Schnurlänge \(L\) kann mit einem geeigneten Metermaß gemessen werden.

  • Die Ladung \(Q\) kann mit der "Pendelmethode" gemessen werden. Pro Anschlag wird die Ladung \(Q_K\) von einer Platte zur anderen transportiert. Bei der Hin- und Herbewegung der Kugel fließt ein pulsierender Gleichstrom, der das Vorzeichen der Ladung bei jeder Plattenberührung ändert. Ein geeignetes Messgerät kann jeweils den Betrag des pulsierenden Gleichstroms bestimmen und die mittlere Stromstärke anzeigen. Ist \(t_1\) die Zeit, die die Kugel von einer Platte zur anderen benötigt, gilt damit: \(\overline{I} = \frac{Q_K}{t_1}\). Während einer Messung zählt man jetzt z.B. 100 Pendelbewegungen von einer Platte zur anderen und misst dabei mit einer Stoppuhr die Zeit \(t_{100}\) für alle 100 Pendelbewegungen. Für die Zeit für eine Pendelbewegung gilt dann: \(t_1 = \frac{t_{100}}{100}\). Ließt man vom Messgerät die mittlere Stromstärke \(\overline{I}\) während der 100 Pendelbewegungen ab, kann man damit die Ladung der Kugel angenähert berechnen: \(Q_K = \overline{I} \cdot t_1\).

Beispiel:

In einem Experiment wurde an zwei Kondensatorplatten, die einen Abstand \(d\) haben, eine Spannung \(U\) angelegt. Das Pendel wurde elektrisch geladen und man konnte eine Auslenkung beobachten. Dabei wurden folgende Größen gemessen, mit deren Hilfe die elektrische Feldstärke berechnet wird.

  • Masse der Pendelkugel \(m = 1,3 \, \rm{g}\)
  • Ortsfaktor \(g = 9,81 \, \frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\)
  • Auslenkung \(s = 2,1 \, \rm{cm}\)
  • Schnurlänge \(L = 1,5 \, \rm{m}\)
  • Ladung \(Q = 2,5 \, \rm{nC}\)

Schritt 1: Umwandlung der Messgrößen in SI-Einheiten

  • Masse der Pendelkugel \(m = 1,3 \, \rm{g} = 1,3 \cdot 10^{-3} \, \rm{kg}\)
  • Ortsfaktor \(g = 9,81 \, \frac{\rm{N}}{\rm{kg}}\)
  • Auslenkung \(s = 2,1 \, \rm{cm} = 2,1 \cdot 10^{-2} \, \rm{m}\)
  • Schnurlänge \(L = 1,5 \, \rm{m}\)
  • Ladung \(Q = 2,5 \, \rm{nC} = 2,5 \cdot 10^{-9} \, \rm{C}\)

Schritt 2: Einsetzen der Messgrößen in die Formel

\[ E = \frac{m \cdot g}{Q} \cdot \tan \left( \arcsin \left( \frac{s}{L} \right) \right) = \frac{1,3 \cdot 10^{-3} \, \rm{kg} \cdot 9,81 \, \tfrac{\rm{N}}{\rm{kg}}}{2,5 \cdot 10^{-9} \, \rm{C}} \cdot \tan \left( \arcsin \left( \frac{2,1 \cdot 10^{-2} \, \rm{m}}{1,5 \, \rm{m}} \right) \right) = 71423,799988 \, \tfrac{\rm{N}}{\rm{C}}\]

Schritt 3: Bestimmen der maximal anzuzeigenden Stellen hinter dem Komma

Die ungenaueste gegebene Messgröße hat eine Stelle hinter dem Komma in der wissenschaftlichen Darstellung. Wie im Kerncurriculum gefordert, geben wir das Ergebnis mit einer Stelle mehr, also mit zwei Stellen hinter dem Komma in der wissenschaftlichen Darstellung an:

\[ E = 71423,799988 \, \tfrac{\rm{N}}{\rm{C}} = 7,14 \cdot 10^{4} \, \tfrac{\rm{N}}{\rm{C}}\]

Die elektrische Feldstärke in dem Plattenkondensator beträgt: \(E = 7,14 \cdot 10^{4} \, \tfrac{\rm{N}}{\rm{C}}\).

In Worten: Würde man einen Körper zwischen die Kondensatorplatten bringen, der mit einer elektrischen Ladung von \(1 \, \rm{C}\) geladen ist, würde auf diesen eine elektrische Kraft von etwas mehr als \(70.000 \, \rm{N}\) wirken.


Spannung und elektrische Feldstärke

Die elektrische Feldstärke verändert sich, wenn die Spannung \(U\), welche an den Platten anliegt, verändert wird oder man den Abstand zwischen den Platten verändert. Dieses Verhalten sollen Sie in der Pendelsimulation nachvollziehen.

Experiment: Pendel im Kondensator

Klicken Sie dazu auf den Tab "Durchführung" und führen Sie das interaktive Experiment im Tab "Interaktives Experiment" wie beschrieben durch.

In einem neuen Fenster starten: Pendel im Plattenkondensator

Folgerungen:

  • Die elektrische Feldstärke wird größer, wenn die Spannung steigt.
  • Die elektrische Feldstärke wird größer, wenn der Abstand der Platten kleiner wird.

Wir vermuten, dass dieser Zusammenhang proportional bzw. antiproportional ist. Daher folgt aus \(E \sim U\) und \(E \sim \frac{1}{d}\), dass \(E = \frac{U}{d}\)

Für den Zusammenhang zwischen der angelegten Spannung \(U\), dem Abstand \(d\) der Kondensatorplatten und der elektrischen Feldstärke \(E\) gilt

\[ E = \frac{U}{d}\]

Beim letzten Beispiel wurde berechnet, dass im Plattenkondensator eine elektrische Feldstärke von

\[ E = 7,14 \cdot 10^{4} \, \tfrac{\rm{N}}{\rm{C}}\]

wirkt. Wenn die Platten des Plattenkondensators eine Entfernung von 10 cm haben, kann berechnet werden, welche Spannung im Realexperiment angelegt werden muss:

Aus \(E = \frac{U}{d}\) folgt \(U = E \cdot d = E = 7,14 \cdot 10^{4} \, \tfrac{\rm{N}}{\rm{C}} \cdot 0,10 \, \rm{m} = 7,14 \, \rm{kV}\)

Man müsste also eine Spannung von etwa 7140 Volt an den Plattenkondensator anlegen, um bei einem Plattenabstand von 10 cm eine elektrische Feldstärke von \(E = 7,14 \cdot 10^{4} \, \tfrac{\rm{N}}{\rm{C}}\) zu erzeugen.