Elektronenstrahl im Kondensator

Eine Elektronenstrahlröhre ist wie folgt aufgebaut:

Abbildung 1

Nach der Erzeugung, Beschleunigung und Fokussierung wird der Elektronenstrahl in einem Ablenkkondensator in y-Richtung abgelenkt. Folgende Aufgaben sind in diesem Zusammenhang denkbar.


Aufgabe

Die Flugbahn eines Elektronenstrahls in einem Ablenkkondensator (siehe Abbildung 2), kann beschrieben werden durch die Formel

\[ y(x) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2\]

  • \(y(x)\) = \(y\)-Koordinate des Elektronenstrahls an der Stelle \(x\) im Ablenkkondensator
  • \(d\) = Abstand der Kondensatorplatten
  • \(U_y\) = Spannung zwischen den Platten des Ablenkkondensators
  • \(U_B\) = Beschleunigungsspannung zwischen Glühdraht und Lochanode in \(x\)-Richtung
  • \(x\) = \(x\)-Koordinate des Elektronenstrahls im Ablenkkondensator

Leiten Sie diese Formel begründet her.

Abbildung 2

Bewegung des Elektrons in x-Richtung:

Der Elektronenstrahl erreicht den Ablenkkondensator mit der Geschwindigkeit

\[ v_x = \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}}\]

im Punkt \(O(0/0)\) (Herleitung siehe Elektronenstrahlerzeugung). In \(x\)-Richtung wirkt auf das Elektron keine Kraft. Daher bewegt sich das Elektron in \(x\)-Richtung mit der konstanten Geschwindigkeit

\[ v_x = \frac{x}{t}\]

Zum Zeitpunkt \(t\) befindet sich das Elektron dann am Ort \(x = v_x \cdot t\).

Kraftwirkung auf das Elektron im Ablenkkondensator:

Innerhalb des Ablenkkondensators wird ein Elektron von der negativ geladenen Platte abgestossen und von der positiv geladenen Platte angezogen. In \(y\)-Richtung wirkt also die Kraft \(F_{el}\). Für die elektrische Feldstärke \(E\) gilt:

\[ E = \frac{F_{el}}{q}\]

mit \(q\) = Ladung eines Elektrons und damit

\[ F_{el} = q \cdot E\]

Die elektrische Feldstärke \(E\) kann mit Hilfe der Spannung \(U_y\) beschrieben werden:

\[ E = \frac{U_y}{d}\]

Also gilt insgesamt für die auf das Elektron wirkende elektrische Kraft \(F_{el}\) im Ablenkkondensator:

\[ F_{el} = q \cdot E = q \cdot \frac{U_y}{d}\]

oder

\[ F_{el} = \frac{U_y \cdot q}{d}\]

Bewegung in y-Richtung:

Aufgrund der in \(y\)-Richtung wirkenden Kraft \(F_{el}\), wird das Elektron in \(y\)-Richtung beschleunigt. Da sich die beschleunigende Kraft \(F_{el}\) innerhalb des Plattenkondensators nicht ändert, ist die Beschleunigung \(a_y\) des Elektrons in \(y\)-Richtung konstant und es gilt das Newtonsche Grundgesetz:

\[ F = m \cdot a\]

und hier speziell

\[ F_{el} = m_e \cdot a_y\]

Für die Beschleunigung \(a_y\) gilt also mit \(F_{el} = \frac{U_y \cdot q}{d}\):

\[ a_y = \frac{F_{el}}{m_e} = \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d}\]

Bei einer beschleunigten Bewegung in \(y\)-Richtung gilt für den Ort \(y\) (siehe Formelsammlung):

\[ y = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot t^2\]

ersetzt man \(a_y\) mit \(a_y = \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d}\), folgt:

\[ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot t^2\]

\(y\)-Ablenkung in Abhängigkeit vom Ort \(x\):

Aus \(v_x = \frac{x}{t}\) folgt

\[ t = \frac{x}{v_x}\]

Damit ersetzt man \(t\) in der Formel für die Auslenkung \(y\):

\[ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot \left( \frac{x}{v_x} \right) ^2 = \frac{U_y \cdot q}{2 \cdot m_e \cdot d \cdot v_x^2} \cdot x^2\]

Für die Geschwindkeit \(v_x\) wissen wir, dass gilt:

\[ v_x = \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}}\]

Damit wird das \(v_x\) in der Formel für die Auslenkung \(y\) ersetzt:

\[ \begin{align} \require{cancel} y &= \frac{U_y \cdot q}{2 \cdot m_e \cdot d \cdot \left( \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}} \right) ^2} \cdot x^2 \\ y &= \frac{U_y \cdot q}{2 \cdot m_e \cdot d \cdot \frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e} } \cdot x^2 \\ y &= \frac{U_y \cdot \cancel{q} \cdot \cancel{m_e}}{4 \cdot \cancel{m_e} \cdot d \cdot U_B \cdot \cancel{q}} \cdot x^2 \\ \end{align}\]

und schließlich:

\[ y(x) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.


Aufgabe

Es sei \(U_y\) als Spannung zwischen den Kondensatorplatten fest eingestellt. Bei einer hinreichend geringen Geschwindigkeit \(v_x\) in x-Richtung treffen die Elektronen auf eine der Kondensatorplatten, bevor sie den Kondensator verlassen können. Dabei ist \(x\) die x-Koordinate des Auftreffpunktes auf die Platte. Die Geschwindigkeit \(v_x\) ist abhängig von der Beschleunigungsspannung \(U_B\) zwischen der Glühkathode und der Lochanode. Für den Zusammenhang zwischen \(U_B\) und \(x\) gilt:

\[ U_B = \frac{U_y}{2 \cdot d^2} \cdot x^2\]

Leiten Sie diese Formel begründet her.

(Abi 2006 EA AI)

Im ersten Schritt muss folgende Formel hergeleitet werden (siehe oben).

\[ y(x) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2\]

Im zweiten Schritt setzt man für \(y\) den Wert \(y = \frac{d}{2}\) ein, da ein Elektron von der Mitte des Kondensators aus in y-Richtung die Strecke \(\frac{d}{2}\) fliegen muss, bevor es auf die Kondensatorplatte trifft.

Also gilt:

\[ \begin{align} \require{cancel} y(x) &= \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2 \\ \frac{d}{2} &= \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2 \\ U_B &= \frac{U_y \cdot 2}{4 \cdot d^2} \cdot x^2 \\ U_B &= \frac{U_y}{2 \cdot d^2} \cdot x^2 \\ \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.


Aufgabe

In einer Elektronenstrahlröhre liegt zwischen zwei Kondensatorplatten die Spannung \(U_y\) an. Der Elektronenstrahl wird zwischen den Kondensatorplatten so abgelenkt, dass er im Abstand \(s\) zur Kondensatormitte den Kondensator verlässt. Für die Ablenkung der Elektronen im elektrischen Feld des Plattenkondensators gilt dann:

\[ s = 0,5 \cdot \frac{e \cdot U_y \cdot l^2}{m_e \cdot d \cdot {v_x}^2} \]

mit
\(s\): Abstand des Austrittspunkts von der Mittelachse
\(e\): Elementarladung
\(m_e\): Elektronenmasse
\(U_y\): Spannung zwischen den Kondensatorplatten
\(l\): Länge der Kondensatorplatten
\(d\): Abstand der Kondensatorplatten
\(v_x\): Eintrittsgeschwindigkeit der Elektronen

Leiten Sie diese Formel begründet her.

(Abi 2015 eA AII)

Abbildung 4

Bewegung des Elektrons in x-Richtung:

In \(x\)-Richtung wirkt auf das Elektron keine Kraft. Daher bewegt sich das Elektron in \(x\)-Richtung mit der konstanten Geschwindigkeit

\[ v_x = \frac{x}{t}\]

Zum Durchfliegen des Plattenkondensators der Länge \(l\) benötigt das Elektron die Zeit \(t = \frac{l}{v_x}\).

Kraftwirkung auf das Elektron im Ablenkkondensator:

Innerhalb des Ablenkkondensators wird ein Elektron von der negativ geladenen Platte abgestossen und von der positiv geladenen Platte angezogen. In \(y\)-Richtung wirkt also die Kraft \(F_{el}\). Für die elektrische Feldstärke \(E\) gilt:

\[ E = \frac{F_{el}}{e}\]

mit \(e\) = Ladung eines Elektrons und damit

\[ F_{el} = e \cdot E\]

Die elektrische Feldstärke \(E\) zwischen den Kondensatorplatten kann mit Hilfe der am Kondensator anliegenden Spannung \(U_y\) beschrieben werden:

\[ E = \frac{U_y}{d}\]

Also gilt insgesamt für die auf das Elektron wirkende elektrische Kraft \(F_{el}\) im Ablenkkondensator:

\[ F_{el} = e \cdot E = e \cdot \frac{U_y}{d}\]

oder

\[ F_{el} = \frac{U_y \cdot e}{d}\]

Bewegung in y-Richtung:

Aufgrund der in \(y\)-Richtung wirkenden Kraft \(F_{el}\), wird das Elektron in \(y\)-Richtung beschleunigt. Da sich die beschleunigende Kraft \(F_{el}\) innerhalb des Plattenkondensators nicht ändert, ist die Beschleunigung \(a_y\) des Elektrons in \(y\)-Richtung konstant und es gilt das Newtonsche Grundgesetz:

\[ F = m \cdot a\]

und hier speziell

\[ F_{el} = m_e \cdot a_y\]

Für die Beschleunigung \(a_y\) gilt also mit \(F_{el} = \frac{U_y \cdot e}{d}\):

\[ a_y = \frac{F_{el}}{m_e} = \frac{U_y \cdot e}{m_e \cdot d}\]

Bei einer beschleunigten Bewegung in \(y\)-Richtung gilt für den Ort \(y\) (siehe Formelsammlung):

\[ y = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot t^2\]

ersetzt man \(a_y\) mit \(a_y = \frac{U_y \cdot e}{m_e \cdot d}\), folgt:

\[ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot e}{m_e \cdot d} \cdot t^2\]

In der Zeit \(t = \frac{l}{v_x}\) legt das Elektron in y-Richtung den Weg \(s\) zurück, also:

\[ \begin{align} s &= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_y \cdot e}{m_e \cdot d} \cdot \left(\frac{l}{v_x} \right)^2 \\ s &= 0,5 \cdot \frac{U_y \cdot e \cdot l^2}{m_e \cdot d \cdot {v_x}^2} \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.