## Schwingungen
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> **Bezug zum Kerncurriculum:**
> - Ich kann harmonische Schwingungen grafisch darstellen.
> - Ich kann harmonische Schwingungen mithilfe von Auslenkung, Amplitude, Periodendauer und Frequenz beschreiben.
> - Ich kann die Zeigerdarstellung oder Sinuskurven zur grafischen Beschreibung verwenden.
> - Ich kann Werte durch Ablesen an einem registrierenden Messinstrument (Oszilloskop oder geeignetes digitales Werkzeug) ermitteln.
> - Ich kann die Schwingung eines Feder-Masse-Pendels mithilfe von Energieumwandlungen beschreiben.
> - Ich kann in diesem Zusammenhang die zugehörigen t-s- und t-v-Diagramme auch bei gedämpften Schwingungen im Spezialfall exponentiell abnehmender Amplitude deuten.
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## Pendel
> [!NOTE]
>Eine Bewegung, bei der ein Körper aus einer Ruhelage ausgelenkt wird und die sich dann aufgrund der wirkenden Kräfte gleichartig wiederholt, nennt man eine **Schwingung**.
Die Bewegung eines Uhrenpendels oder einer Schaukel ist eine solche Schwingung.
Quelle: [PhET](https://phet.colorado.edu/de/simulation/pendulum-lab)
Durchführung
1. **Klicke** auf "Intro". **Lenke** das simulierte Pendel aus der Ruhelage aus und **beobachte** die Bewegung des Pendels.
2. **Variiere** die Länge der Schnur des simulierten Pendels und **beobachte** die Auswirkung auf die Bewegung des Pendels.
3. **Variiere** die Masse des simulierten Pendels und **beobachte** die Auswirkung auf die Bewegung des Pendels.
#### Durchführung
Beobachtungen
**Zu 1.**: Das Pendel bewegt sich regelmäßig hin und her.
**Zu 2.**: Je länger die Schnur ist, desto länger dauert eine Hin- und Herbewegung des simulierten Pendels.
**Zu 3.**: In einer idealen Näherung (ohne Berücksichtigung von Reibung und Luftwiderstand) zeigt eine Änderung der Masse des simulierten Pendels keine Auswirkung auf die Dauer der Hin- und Herbewegung des Pendels.
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## Begriffe
- **Ruhelage**: Wenn die am Faden befestigte Masse nicht ausgelenkt ist und sich nicht bewegt, ist sie in **Ruhe**. Die **Position**, in welcher das Pendel in Ruhe ist, nennt man **Ruhelage**. Symbol: $y_0$
- **Auslenkung (Elongation)**: Wenn sich das Fadenpendel bewegt, befindet sich der Pendelkörper zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort relativ zur Ruhelage. Die **Entfernung zur Ruhelage** nennt man **Auslenkung** oder **Elongation**. Die Auslenkung kann auf verschiedene Weisen gemessen werden: als direkte Entfernung, als Winkel, als Länge der Bahn auf der sich der schwingende Körper bewegt,... Symbol: $y(t)$
- **Phase**: Die Position des Oszillators relativ zur Ruhelage nennt man **Phase** der Schwingung. Im Unterschied zur Auslenkung wird hier nicht nur der Abstand zur Ruhelage betrachtet, sondern auch die relative Schwingungsrichtung.
- **Amplitude:** Die maximale Auslenkung des Pendelkörpers relativ zur Ruhelage nennt man **Amplitude** der Schwingung. Symbol: $A$
- **Periode:** Einen vollständigen Durchlauf der Bewegung des Pendelkörpers nennt man **Periode** der Schwingung. Dabei gilt: die Schwingung wiederholt sich, wenn die Ruhelage wieder in der gleichen Richtung verlassen wird, wie zu Beginn der Schwingung. Beim Fadenpendel ist eine Periode also die Bewegung von der Ruhelage nach z.B. links, dann durch die Ruhelage nach rechts und dann zurück zur Ruhelage.
- **Periodendauer:** Die Zeit, die der Pendelkörper für eine komplette Schwingung (eine Periode) benötigt, nennt man **Periodendauer** der Schwingung. Symbol: $T$
- **Frequenz:** Die Anzahl der Perioden pro Sekunde nennt man **Frequenz** der Schwingung. Symbol: $f$
Es gilt für den Zusammenhang zwischen der Frequenz und der Periodendauer:
$$
f = \frac{1}{T}
$$
Die Einheit der Frequenz ist: $[f] = \frac{1}{s} = 1 \, \text{Hertz} = 1 \, \text{Hz}$
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## Abbildung eines Schwingungsvorgangs
Um einen Schwingungsvorgang abzubilden, wird die Auslenkung (Elongation) über der Zeit aufgetragen.
Wenn bei der Abbildung eines Schwingungsvorgangs über der Zeit eine **sinusförmige Kurve** entsteht, wird die Schwingung als **harmonische Schwingung** bezeichnet.
Bei realen Schwingungen geht immer Energie durch **Reibungseffekte** (z.B. Luftwiderstand, Reibung in der Aufhängung,...) verloren. Eine solche reale Schwingung wird **gedämpfte Schwingung** genannt. Um eine reale Schwingung mit unveränderter Amplitude ausführen zu können, muss ständig die verloren gegangene Energie ausgeglichen werden.
**Beispiele**:
- bei einer **Schaukel** wird nach jeder Periode durch einen Anstoß die verlorene Energie wieder zugeführt.
- bei einer **mechanischen Uhr** wird die verlorene Energie durch eine gespannte Feder oder einen Akku bzw. eine Batterie ausgeglichen, bis die Feder entspannt oder der Akku bzw. die Batterie leer ist.
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### Simulation: Abbildung einer Schwingung
> Simulation in neuem Fenster starten: Harmonische Schwingung
Durchführung
- **Starte** die Simulation durch Klick auf "Start".
- **Ordne** die Begriffe *Ruhelage, Auslenkung (Elongation), Amplitude, Periode, Periodendauer* und *Frequenz* den Objekten und Vorgängen in der Simulation zu.
Beobachtungen
- **Ruhelage**: Das simulierte Pendel befindet sich hier beim Start **nicht** in der Ruhelage, sondern in einer ausgelenkten Position. Die Ruhelage ist die Position, in welcher das Pendel unter Einfluss der Gravitationskraft und der Fadenkraft bewegungslos ruht. Die resultierende Kraft auf den Pendelkörper ist hier gleich null.
- **Auslenkung (Elongation)**: Den momentanen Abstand des Oszillators (Pendelkörpers) zur Ruhelage nennt man **Auslenkung** oder **Elongation**.
- **Amplitude**: Die maximale Auslenkung aus der Ruhelage nennt man **Amplitude der Schwingung**.
- **Periode**: **Eine** vollständige Hin- und Herbewegung des Pendelkörpers nennt man **Periode**.
- **Periodendauer**: Die Zeitdauer für eine Periode nennt man **Periodendauer**.
- **Frequenz**: Die Anzahl von vollständigen Hin- und Herbewegungen (Perioden), die das Pendel in einer Sekunde schafft, nennt man **Frequenz** des Pendels.
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## Modellierung eines Schwingungsvorgangs
> [!NOTE]
> Bei der mathematischen Modellierung von Schwingungen suchen wir eine Funktion, mit deren Hilfe die Position des Oszillators (schwingenden Körpers) zu einem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden kann.
Eine Schwingung kann auf drei Weisen dargestellt werden:
- als ein Körper, der um seine Ruhelage oszilliert (schwingt), während die Zeit vergeht,
- als ein Zeiger, der um seine Achse rotiert, während die Zeit vergeht,
- als eine Sinuskurve, bei welcher die Auslenkung (Elongation) über der Zeit aufgetragen wird.
In der folgenden Simulation werden diese drei Darstellungsarten visualisiert:
> Simulation in neuem Fenster starten: Zeigerdarstellung
Durchführung
- **Starte** die Simulation durch Klick auf "Starten/Pausieren".
- **Ordne** die Begriffe *Ruhelage, Auslenkung (Elongation), Amplitude, Periode, Periodendauer* und *Frequenz* der **Zeigerdarstellung** (links), dem **Schwingungskörper** (rot, Mitte) und der **Sinuskurve** (rechts) zu.
Beobachtungen
- **Ruhelage**: Der Zeiger befindet sich beim Winkel 0° bzw. im Bogenmaß bei 0.
- **Auslenkung (Elongation)**: Die Projektion des Zeigers auf die y-Achse ist die **Auslenkung** oder **Elongation**.
- **Amplitude**: Die maximale Auslenkung aus der Ruhelage (Amplitude) entspricht der Länge des Zeigers.
- **Periode**: **Eine** vollständige Umdrehung des Zeigers entspricht einer **Periode** des Oszillators.
- **Periodendauer**: Die Zeitdauer für eine vollständige Umdrehung des Zeigers nennt man **Periodendauer**.
- **Frequenz**: Die Anzahl der vollständigen Umdrehungen des Zeigers in einer Sekunde nennt man **Frequenz**.
Der rotierende Zeiger beschreibt eine Kreisbewegung. Bei einer Kreisbewegung kann die Geschwindigkeit des rotierenden Zeigers mit der **Winkelgeschwindigkeit** $\omega$ angegeben werden.
Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ gibt an, welcher Winkel $\phi$ vom Zeiger in der Zeit $t$ überstrichen wird. Da der Zeiger den gesamten Kreis (Winkel 360°, Bogenmaß $2 \, \pi$) in der Zeit $T$ überstreicht, gilt:
$$
\omega = \frac{2 \, \pi}{T}
$$
Da die Periodendauer $T$ gleich dem Kehrwert der Frequenz $f$ ist, gilt:
$$
\omega = 2 \, \pi \cdot f
$$
Für einen beliebigen Winkel $\phi$, der in der Zeit $t$ überstrichen wird, gilt:
$$
\omega = \frac{\phi}{t}
$$
Beim rotierenden Zeiger kann man ein rechtwinkliges Dreieck einzeichnen:
Für das rechtwinklige Dreieck gilt: $\sin(\phi) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{\text{GK}}{\text{H}}$
- Die **Gegenkathete** ist die Auslenkung $y$ zur Zeit $t$ und kann als $y(t)$ geschrieben werden.
- Die **Hypotenuse** ist die Amplitude der Schwingung und kann als $A$ geschrieben werden.
- Den **Winkel** $\phi$ kann man mit der Winkelgeschwindigkeit ausdrücken: $\phi = \omega \cdot t$. Damit folgt:
$$
\begin{align}
\sin(\phi) &= \frac{\text{GK}}{\text{H}} = \frac{y(t)}{A} \\
\sin(\omega \cdot t) &= \frac{y(t)}{A} \\
y(t) &= A \cdot \sin(\omega \cdot t)
\end{align}
$$
Wenn eine Schwingung durch eine Sinusfunktion beschrieben werden kann (**harmonische Schwingung**), dann gilt für die Auslenkung $y(t)$ des Oszillators zum Zeitpunkt $t$:
$$
y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t)
$$
Die Winkelgeschwindigkeit $\omega$ kann mit der Periodendauer oder Frequenz der Schwingung ersetzt werden:
$$
y(t) = A \cdot \sin(\omega \cdot t) = A \cdot \sin \left( \frac{2 \pi}{T} \cdot t \right) = A \cdot \sin(2 \pi \cdot f \cdot t)
$$
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## Modellierung einer gedämpften Schwingung
In der Realität verliert ein schwingungsfähiges System bei einer Schwingung meist durch Reibungseffekte Energie.
> Simulation in neuem Fenster starten: Gedämpfte Schwingung
Durchführung
- **Starte** die Simulation durch Klick auf "Start".
- **Stelle** einen "Dämpfungsfaktor" ein, der kleiner als 1 ist.
- **Beobachte** die simulierte Bewegung des Pendels.
Beobachtungen
Bei einer gedämpften Schwingung geht durch Reibung dem schwingenden System ständig Energie verloren. Deswegen wird die Amplitude ständig kleiner.
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Um eine gedämpfte Schwingung zu modellieren, gehen wir davon aus, dass die Auslenkung einer Schwingung in jedem gleichen Zeitintervall (z.B. 1 Sekunde) um den gleichen Anteil abnimmt.
Mathematisch handelt es sich dann um eine **exponentielle Abnahme** der Auslenkung, da in gleichen Zeitintervallen der Bestand um den gleichen prozentualen Anteil abnimmt.
**Beispiel:** Wenn in jedem Zeitschritt die Auslenkung $y$ um 10 % abnimmt, dann wäre eine geeignete mathematische Modellierung der Veränderung der Auslenkung:
$$
y(t) = y_0 \cdot 0,9^{t} = y_0 \cdot e^{ln(0,9) \cdot t}
$$
Umwandlung der Exponentialfunktion zur Basis $0,9$ in eine Exponentialfunktion zur Basis $e$:
$$
\begin{align}
y(t) &= y_0 \cdot 0,9^t \\
\frac{y(t)}{y_0} &= 0,9^t \qquad | ln \\
ln \left(\frac{y(t)}{y_0}\right) &= ln(0,9^t) \\
ln\left(\frac{y(t)}{y_0}\right) &= t \cdot ln(0,9) \qquad | e^x \\
\frac{y(t)}{y_0} &= e^{t \cdot ln(0,9)} \\
y(t) &= y_0 \cdot e^{ln(0,9) \cdot t}
\end{align}
$$
Insgesamt kann eine **gedämpfte Schwingung**, deren Amplitude um $p$ % in jedem Zeitschritt abnimmt, wie folgt mathematisch beschrieben werden:
$$
y(t) = y(t) \cdot \sin(\omega \cdot t) = y_0 \cdot (1-\tfrac{p}{100})^t \cdot \sin(\omega \cdot t) = y_0 \cdot e^{ln \left( 1-\tfrac{p}{100} \right) \cdot t} \cdot \sin(\omega \cdot t)
$$
Zur Vereinfachung fasst man den Ausdruck $ln \left( 1-\tfrac{p}{100} \right)$ zu einer Konstanten, der **Dämpfungskonstante** $k$ zusammen. Da der Logarithmus einer Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt, negativ ist, die Dämpfungskonstante aber als positive Zahl notiert wird, gilt:
$$
k = - ln \left( 1-\tfrac{p}{100} \right)
$$
Für eine gedämpfte Schwingung gilt damit:
$$
y(t) = y_0 \cdot e^{- k \cdot t} \cdot \sin(\omega \cdot t)
$$
Plottet man eine solche Funktion, entsteht folgender **Funktionsgraph**.
> Graph in neuem Fenster öffnen
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