## Stehende Wellen
> **Bezug zum Kerncurriculum:**
> - Ich kann Interferenzphänomene für folgende „Zwei-Wege-Situationen“ beschreiben und deuten: stehende Welle.
> - Ich kann die Zeigerdarstellung oder eine andere geeignete Darstellung zur Beschreibung und Deutung verwenden.
> - Ich kann ein Experiment zur Bestimmung der Wellenlänge von Ultraschall bei durch Reflexion entstandenen stehenden Wellen beschreiben.
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Wir betrachten eine Situation, bei welcher sich zwei Wellenzüge eindimensional aufeinander zu bewegen und sich auf einer bestimmten Strecke überlagern.
Wenn beide Wellenzüge die gleiche Frequenz, gleiche Phasengeschwindigkeit und gleiche Amplitude haben, bildet sich bei der Überlagerung eine regelmäßige **stehende Welle**:
- an manchen Orten **verstärken** sich die beiden Wellenzüge immer: es entstehen **Maxima**, die mit doppelter Amplitude schwingen.
- an manchen Stellen **löschen** sich die beiden Wellenzüge immer aus: es entstehen **Minima** ohne beobachtbare Schwingung.
Am Ort eines Maximums gibt es zu einem Wellenberg der Welle 1 immer ein Wellenberg der Welle 2 und wenn ein Wellental von Welle 1 am Ort des Maximums ist, gibt es an der gleichen Stelle immer ein Wellental von Welle 2. Der Abstand zwischen zwei Maxima bzw. zwei Minima beträgt eine halbe Wellenlänge, also $\lambda/2$.
Beobachtet man eine stehende Welle und misst den Abstand zwischen dem Maximum an der Position $x_1$ und dem Maximum an der Stelle $x_0$, kann aus diesem Abstand die Wellenlänge berechnet werden:
$$
\lambda = 2 \cdot (x_1 - x_0)
$$
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### Simulation: stehende Welle
> Simulation in neuem Fenster starten: Stehende Welle (kohärente Wellenzüge)
Durchführung
**Klicke** auf "Experiment Start/Stop", um die Simulation zu starten und **klicke** auf "Start/Stop" um die Oszillation zu starten. **Beobachte** das Verhalten der blauen resultierenden Welle.
Beobachtungen
Wenn die beiden Wellenzüge **kohärent** sind, also **gleiche Frequenz**, gleiche Phasengeschwindigkeit und gleiche Amplitude haben, entsteht eine Welle, bei der die Positionen der Maxima und Minima sich nicht ändern und die Amplitude der Schwingung eines bestimmten Oszillators gleich bleibt. Man nennt eine solche Welle eine **stehende Welle**.
Bei einer stehenden Welle ist die Auslenkung maximal, wenn die beiden sich überlagernden Wellenzüge genau übereinander stehen.
Die Auslenkung ist minimal, wenn die beiden Wellenzüge um eine halbe Wellenlänge zueinander versetzt stehen.
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### Simulation: Schwebung
Wenn sich zwei Wellenzüge mit **unterschiedlichen Frequenzen** überlagern, dann haben sie **keine feste Phasenbeziehung** zueinander. Die Positionen der Maxima und Minima der entstehenden Welle ändert sich ständig, ebenso wie die Amplitude der Schwingung an einem Ort. Eine solche Welle nennt man eine **Schwebung**.
Wenn die beiden aufeinander zu laufenden Wellenzüge zwar gleiche Frequenzen, aber verschiedene Amplituden haben, ist die resultierende Welle auch keine stehende Welle.
> Simulation in neuem Fenster starten: Schwebung (nicht kohärente Wellenzüge)
Durchführung
1. **Klicke** auf "Experiment Start/Stop", um die Simulation zu starten und **klicke** auf "Start/Stop" um die Oszillation zu starten. **Beobachte** das Verhalten der blauen resultierenden Welle.
2. **Stelle** bei zwei unterschiedlichen Frequenzen sehr verschiedene Amplituden ein und **beobachte** die Auswirkung auf die resultierende Welle.
3. **Stelle** bei zwei gleichen Frequenzen sehr verschiedene Amplituden ein und **beobachte** die Auswirkung auf die resultierende Welle.
Beobachtungen
**Zu 1.**: Die Orte der Maxima und Minima verändern sich ständig und wandern entlang der Interferenzstrecke. Die Amplitude der Oszillatoren an einem Ort ändert sich ständig.
**Zu 2.**: Bei der resultierenden Welle beobachtet man eine Welle mit kleiner Amplitude und hoher Frequenz, die von einer Welle mit großer Amplitude und geringer Frequenz **getragen** wird.
**Zu 3.**: Wenn die Frequenzen der beiden Wellen gleich sind, die Amplituden aber sehr unterschiedlich, dann ist die resultierende Welle der Welle mit der großen Amplitude sehr ähnlich, ändert aber ständig die Amplitude um den Betrag der Amplitude der anderen Wellen.
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## Experimente zur Wellenlängenmessung
### Reflektion an Wand
> Simulation in neuem Fenster starten: Wellenlängenmessung bei stehenden Wellen
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### Kundtsches Interferenzrohr
Das **Kundtsche Interferenzrohr** ist ein Glasrohr, in das eine geringe Menge eines sehr leichten Materials (Korkmehl, Styroporkügelchen,...) eingefüllt wird. Das Material wird auf die gesamte Länge des Rohrs verteilt und sammelt sich aufgrund der Schwerkraft unten im Glasrohr.
Auf der einen Seite des Glasrohrs wird ein Lautsprecher angebracht, der einen Sinus-Ton mit nur einer einzigen Tonhöhe (Frequenz $f$) aussendet. Eine solche Schallwelle ist eine **longitudinale Welle**, bei welcher die Luftmoleküle **in Ausbreitungsrichtung um ihre Ruhelage schwingen**. Auf der anderen Seite des Glasrohrs befindet sich ein bewegliches Hindernis (Stempel), an welchem die Schallwelle reflektiert wird.
Am Stempel können sich die Moleküle im Festkörper kaum bewegen, weswegen die Luftmoleküle nur sehr wenig Energie an die Festkörpermoleküle übertragen können. **Die Schwingung wird mit einem Phasensprung von $\pi$ reflektiert**. Die virtuellen Oszillatoren schwingen am Stempel in entgegengesetzter Phase, so dass ein Schwingungknoten entsteht und der reale Oszillator nicht schwingt. Die reflektierte Welle bewegt sich durch das Glasrohr zurück zum Lautsprecher.
Wenn der Lautsprecher eingeschaltet ist, schwingen die Luftmoleküle um ihre Ruhelage. Nur die Schallwelle, also die Schwingungsenergie bewegt sich durch das Glasrohr vom Lautsprecher zum Stempel und zurück. Die vom Lautsprecher ausgesandte Welle und die am Stempel reflektierte Welle überlagern sich im Glasrohr. Um diese Überlagerung zu modellieren, denken wir uns an jedem Punkt im Glasrohr zwei virtuelle Oszillatoren. Der eine virtuelle Oszillator gehört zur Welle, die vom Lautsprecher ausgesendet wird und der andere virtuelle Oszillator gehört zur Welle, die am Stempel reflektiert wird.
Die Interferenz zweier longitudinaler Wellen kann man nur schwer darstellen. Deswegen **denken** wir uns die Schallwelle als Transversalwelle und **lassen** die virtuellen Oszillatoren quer zur Ausbreitungsrichtung schwingen. Nachdem die Interferenz fertig modelliert ist, können wir die Schwingung des realen Oszillators wieder **longitudinal** in Ausbreitungsrichtung denken.
Wenn die Lautsprecherwelle und die reflektierte Welle eine Länge haben, so dass am offenen Ende beim Lautsprecher ein Minimum (Schwingungsknoten) entsteht, kann nur sehr wenig Energie in das Rohr transportiert werden. Die Schwingungsamplitude im Rohr ist gering.
Einen **Schwingungsknoten (Minimum) beim Lautsprecher** beobachtet man immer dann, wenn die Entfernung zwischen dem offenen Ende und dem Stempel ein **geradzahliges Vielfaches der Viertel-Wellenlänge** ist.
Wenn die Lautsprecherwelle und die reflektierte Welle eine Länge haben, so dass am offenen Ende beim Lautsprecher ein Maximum (Schwingungsbauch) entsteht, kann sehr viel Energie in das Rohr transportiert werden und die Schwingungsamplitude im Rohr ist maximal. Die Lautsprecherwelle und die reflektierte Welle schwingen in **Resonanz**.
Einen **Schwingungsbauch (Maximum) beim Lautsprecher** beobachtet man immer dann, wenn die Entfernung zwischen dem offenen Ende und dem Stempel ein **ungeradzahliges Vielfaches der Viertel-Wellenlänge** ist.
**Bestimmung der Wellenlänge mit dem Kundtschen Rohr**:
- Man stellt den Stempel so ein, dass die stehende Welle in Resonanz schwingt.
- Die Bestandteile des leichten Materials (z.B. Korkmehl) werden von den stark schwingenden Luftmolekülen bewegt. Das Korkmehl sammelt sich vor allem an den Stellen, wo die stehende Welle ein Minimum hat. Man misst den Abstand zweier Anhäufungen des Korkmehls, um den Abstand $d$ zweier Minima zu bestimmen. Um die Genauigkeit der Messung zu verbessern, misst man den Gesamtabstand $x$ von $n+1$ Minima (also $n$ Abstände) und teilt diese Entfernung durch $n$: $d = \frac{x}{n}$.
- Die Entfernung von einem Minimum zum nächsten Minimum entspricht bei einer stehenden Welle einer halben Wellenlänge. Wenn $d$ die Entfernung zweier Minima ist, dann gilt für die Wellenlänge $\lambda = 2 \cdot d$.
Nachdem man die Wellenlänge $\lambda$ bestimmt hat, kann man die **Schallgeschwindigkeit** $c$ berechnen. Dazu muss die Frequenz $f$ des Lautsprechers bekannt sein:
$$
c = \lambda \cdot f
$$
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> Simulation in neuem Fenster starten: Kundtsches Interferenzrohr
Durchführung
1. **Klicke** auf "Experiment Start/Stop", um die Simulation zu starten und **klicke** auf "Lautsprecher an/aus" um eine simulierte Schallwelle in das Kundtsche Rohr auszusenden. **Beobachte** die Auswirkung auf das am Boden des Rohrs liegende simulierte Material.
2. **Verändere** die Position des beweglichen Stempels und suche eine Position, in welcher die resultierende Amplitude der stehenden Welle sehr gering ist.
3. **Verändere** die Position des beweglichen Stempels und suche eine Position, in welcher die resultierende Amplitude der stehenden Welle maximal ist (Resonanz).
4. **Aktiviere** "Amplituden anzeigen", "Wellendarstellung" und/oder "Zeigerdarstellung" und **beobachte** die Interferenz der beiden sich überlagernden Wellenzüge.
5. **Variiere** die Frequenz des Lautsprechers und **suche** wieder eine Stempelposition mit sehr geringer und maximaler Amplitude.
Beobachtungen
**Zu 1.**: Wenn die Lautsprecherwelle und die reflektierte Schallwelle interferieren, bildet sich ein regelmäßiges Muster auf dem Boden des Kundtschen Rohrs.
**Zu 2.**: Minimale Amplitude
**Zu 3.**: Maximale Amplitude (Resonanz)
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### Quinckesches Interferenzrohr
Das **Quinckesche Interferenzrohr** ist eine Apparatur, bei welcher ein Lautsprecher einen Sinus-Ton mit einer einzigen Tonhöhe (Frequenz $f$) aussendet, die in ein Rohr eintritt und an einer Rohrkreuzung auf zwei Teilwellen aufgeteilt wird. Eine solche Schallwelle ist eine **longitudinale Welle**, bei welcher die Luftmoleküle **in Ausbreitungsrichtung um ihre Ruhelage schwingen**. Die Interferenz zweier longitudinaler Wellen kann man nur schwer darstellen. Deswegen **modellieren** wir die Schallwelle als Transversalwelle und denken uns die modellierten Schwingungen der einzelnen Oszillatoren in Ausbreitungsrichtung.
Die beiden Rohre treffen sich auf der anderen Seite der Apparatur wieder, so dass die beiden Teilwellen interferieren. Am Interferenzort ist eine Öffnung, an welcher ein Mikrofon die Überlagerung der beiden Teilwellen aufzeichnen kann.
Mit dem Quinckeschen Rohr kann die **Wellenlänge der Schallwelle** bestimmt werden:
- Man stellt den Auszug des Quinckeschen Rohrs so ein, dass mit dem Mikrofon ein **Minimum** registriert wird (keine Lautstärke) und notiert den Auszug (z.B. $x_0 = 10 \, \text{mm}$).
- Man verändert den Auszug langsam weiter, bis das nächste Minimum am Mikrofon registriert wird. Der zweite Auszug wird notiert (z.B. $x_1 = 50 \, \text{mm}$).
- Man berechnet dann die Differenz der beiden Werte (z.B. $d = x_1 - x_0 = 50 - 10 = 40 \, \text{mm}$). Wenn der Auszug um $d = 40 \, \text{mm}$ verändert wurde, dann hat sich die Weglänge des rechten Wellenzugs um $2 \cdot d = 80 \, \text{mm}$ geändert, da die Schallwelle den Auszug zweimal durchläuft.
- Bei der Messung des ersten Minimums überlagerten sich der linke und der rechte Wellenzug so, dass sich immer ein Wellenberg und ein Wellental am Mikrofonort trafen. Im Zeigermodell rotieren die virtuellen Zeiger am Interferenzort in entgegengesetzter Phase ($180° = \pi$).
- Wenn man das Rohr vom Minimum weiter zum **nächsten** Minimum auszieht, dann ist der rechte Wellenzug um eine Wegdifferenz $\Delta s = 2 \cdot d$ länger als der linke Wellenzug geworden. Uns interessiert nicht, wie lang die Weglängen der beiden Wellenzüge tatsächlich sind, sondern uns interessiert nur, wie sich die Länge der Wellenzüge relativ zueinander geändert hat, wenn man das Rohr von einem Minimum zum nächsten auszieht.
- Die Änderung der Differenz der Weglängen der beiden Wellenzüge nennen wir **Gangunterschied** $\Delta s$ der beiden Wellenzüge.
- Wenn man den Auszug vergrößert, dann bleibt die Länge des linken Wellenzugs unverändert. Damit beim Mikrofon wieder ein Minimum registriert wird, muss der rechte Wellenzug so verlängert werden, dass wieder immer ein Wellenberg auf ein Wellental trifft, bzw. die virtuellen Zeiger entgegengesetzt zueinander rotieren.
Dafür muss der Auszug so verändert werden, dass der **rechte Wellenzug eine ganze Wellenlänge länger geworden** ist. Wäre der Gangunterschied nur eine halbe Wellenlänge lang gewesen, dann würde am Mikrofonort immer ein Wellenberg auf einen Wellenberg bzw. Wellental auf ein Wellental treffen (im Zeigermodell würden die Zeiger ohne Phasendifferenz rotieren) und man würde am Mikrofon ein Maximum registrieren.
Damit gilt für das Quinckesche Rohr: Wenn man am Mikrofon ein Minimum registriert und den Auszug so verändert, dass man wieder ein Minimum registriert, dann entspricht die **Änderung des Auszugs** $d$ einem **halben Gangunterschied** $\Delta s$ und damit einer **halben Wellenlänge** $\lambda$:
$$
\lambda = \Delta s = 2 \cdot d = 2 \cdot 40 \, \text{mm} = 80 \, \text{mm}
$$
Natürlich könnte man das Experiment auch so durchführen, dass man am Mikrofon ein Maximum registriert und den Auszug so verändert, dass man wieder ein Maximum registriert. Nachdem man die Wellenlänge $\lambda$ bestimmt hat, kann man die **Schallgeschwindigkeit** $c$ berechnen. Dazu muss die Frequenz $f$ des Lautsprechers bekannt sein:
$$
c = \lambda \cdot f
$$
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> Simulation in neuem Fenster starten: Quinckesches Interferenzrohr
Durchführung
1. **Klicke** auf "Experiment Start/Stop", um die Simulation zu starten. Der simulierte Lautsprecher ist ständig eingeschaltet und mit einem Klick auf "Pause/Weiter" kann eine Situation angehalten werden.
2. **Stelle** den Auszug so ein, dass am Mikrofon ein Minimum registriert wird. **Aktiviere** "Wellendarstellung" und **beobachte** die Interferenz am Mikrofon.
3. **Aktiviere** "Zeigerdarstellung" und **beobachte** die Interferenz am Mikrofon.
4. **Verändere** den Auszug so, dass sich die Interferenz vom Minimum zum nächsten Minimum ändert. **Beobachte** während der Veränderung des Auszugs die Interferenz am Mikrofon.
5. **Pausiere** die Simulation und **verschiebe** den Auszug wieder von einem Minimum zu einem Minimum am Mikrofon. **Beobachte**, wie sich die Länge des rechten Wellenzugs in Bezug auf die Wellenlänge ändert.
6. **Verändere** die Frequenz des Lautsprechers und **bestimme** mit der veränderten Frequenz nochmals die Modell-Wellenlänge.
Beobachtungen
**Zu 2. und 3.**: Wenn man am Mikrofon ein Minimum registriert, schwingen die beiden Wellenzüge am Interferenzort in entgegengesetzter Phase.
**Zu 4.**: Die Länge des linken Wellenzugs bleibt unverändert, die Länge des rechten Wellenzugs ändert sich um die doppelte Länge des Auszugs.
**Zu 5.**: Wenn man am Mikrofon ein Minimum registriert und dann bei pausierter Simulation den Auszug so verändert, dass am Mikrofon wieder ein Minimum registriert wird, dann hat sich die Länge des rechten Wellenzugs um genau eine Wellenlänge vergrößert.
**Zu 6.**: Je höher die Frequenz des Lautsprechers ist, desto kleiner ist die Wellenlänge des ausgesandten Schalls.
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