## Vom Doppelspalt zum Gitter
> **Bezug zum Kerncurriculum:**
> - Ich kann die Veränderung des Interferenzmusters beim Übergang vom Doppelspalt zum Gitter erläutern.
> - Ich kann ein Experiment zur Bestimmung der Wellenlänge von weißem und monochromatischem Licht mit einem Gitter (objektiv und subjektiv) beschreiben.
> - Ich kann entsprechende Experimente auswerten.
> - Ich kann die Funktion der zugehörigen optischen Bauteile beschreiben.
> - Ich kann meine Kenntnisse zur Bestimmung des Spurabstandes bei einer CD/DVD anwenden.
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## Interferenz von N Sendern
Sichtbares Licht hat extrem kurze Wellenlängen. Beobachtungen mit einem **Doppelspalt** sind schwierig und lassen genaue Messungen nur schwer zu.
Im Folgenden soll untersucht werden, wie sich das Interferenzfeld ändert, wenn nicht nur zwei, sondern viele Wellensender jeweils einen Wellenzug aussenden, die auf einem Schirm interferieren.
Dazu kann man in einem Experiment anstelle eines Doppelspalts ein Hindernis mit mehreren Spaltöffnungen in den Weg des Lichts stellen.
> Simulation in neuem Fenster starten: Interferenzfeld von N Sendern
Durchführung
1. **Klicke** auf "Experiment Start/Stop". **Klicke** dann auf "Position festlegen", **lasse** den Ort unverändert und **klicke** dann auf "Amplituden aufzeichnen" und auf "Aufzeichnung auswerten". **Lasse** die Position des Interferenzorts unverändert (nicht mit der Maus auf die Ebene klicken).
2. **Ändere** "Anzahl Sender" auf 3, **klicke** auf "Position festlegen", "Amplituden aufzeichnen" und "Aufzeichnung auswerten". **Beobachte** die Veränderung des Interferenzmusters.
3. **Wiederhole** das Verfahren von Ziffer 2 für 4, 5, 6, und 7 Sender. **Beobachte** jeweils die Veränderung des Interferenzmusters.
Beobachtungen
**Zu 1.**: Wenn zwei Sender vorhanden sind, beobachtet man einen regelmäßigen Abstand der Maxima.
**Zu 2.**: Wenn 3 Sender vorhanden sind, beobachtet man, dass die Maxima nicht mehr alle die gleiche Amplitude haben, sondern dass sich Hauptmaxima mit einer großen Amplitude und Nebenmaxima mit einer geringeren Amplitude abwechseln.
**Zu 3.**: Bei 4 Sendern beobachtet man zwischen den Hauptmaxima jeweils zwei Nebenmaxima.
Bei 5 Sendern liegen 3 Nebenmaxima zwischen den Hauptmaxima.
Bei 6 Sendern liegen 4 Nebenmaxima zwischen den Hauptmaxima.
Bei 7 Sendern liegen 5 Nebenmaxima zwischen den Hauptmaxima.
Verallgemeinert man diese Beobachtung, so gilt, dass bei $N$ Sendern zwischen zwei Maxima $N - 2$ Nebenmaxima liegen.
Wenn man bei $N$ Sendern, die in einem geeigneten Abstand zueinander angeordnet sind, das Interferenzfeld in einem geeigneten Abstand beobachtet, stellt man fest, dass zwischen zwei Hauptmaxima $N - 2$ Nebenmaxima liegen.
Die Hauptmaxima sind weit voneinander entfernt und haben eine deutlich größere Amplitude als die Nebenmaxima. Dieser Effekt nimmt immer mehr zu, je mehr Sender man verwendet.
Quadriert man die Amplituden, um die Intensität auf dem Schirm zu bestimmen, verstärkt sich dieser Effekt weiter. Bei den Hauptmaxima beobachtet man auf dem Schirm daher eine wesentlich größere Helligkeit als bei den Nebenmaxima.
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## Übergang vom Doppelspalt zum Gitter
Ein Hindernis mit sehr vielen, regelmäßig angeordneten, extrem schmalen Öffnungen nennt man ein **optisches Gitter**.
Wenn man Interferenzmuster mit sichtbarem Licht ausmessen möchte, eignet sich ein Gitter wesentlich besser zur Erzeugung eines geeigneten Interferenzmusters, als ein Doppelspalt.
Interferenzbild eines **Doppelspalts**. Die Position eines Maximums ist nur schwer zu bestimmen, da die Intensität in der Umgebung des Maximums kaum geringer wird:
Bei einem **Fünfachspalt** werden die Nebenmaxima immer dunkler, die Hauptmaxima bleiben hell, sind aber immer noch breit:
Bei **100 regelmäßigen extrem schmalen Öffnungen** sieht man nur noch die Hauptmaxima, die im Vergleich zu den Maxima beim Doppelspalt deutlich schmaler geworden sind:
Die Abstände der Maxima bei einem Interferenzbild, das mit einem Gitter erzeugt wurde, lassen sich sehr genau messen, da die Maxima schmal sind. Bei optischen Versuchen werden daher bevorzugt optische Gitter eingesetzt.
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### Simulation: Schirmbild bei Mehrfachspalten
> Simulation in neuem Fenster starten: Vom Doppelspalt zum Gitter
Durchführung
1. **Erhöhe** die Anzahl der Spalte von 2 schrittweise bis 10 und **beobachte** die Auswirkung auf das Interferenzbild auf dem Schirm.
2. **Stelle** die Anzahl der Spalte auf 50 ein und **beobachte** die Auswirkung auf das Interferenzbild auf dem Schirm.
Beobachtungen
**Zu 1.**: Man beobachtet, dass bei $N$ Spalten $N-2$ Nebenmaxima zwischen den Hauptmaxima auftreten.
2 Spalte: kein Nebenmaximum
3 Spalte: 1 Nebenmaximum
4 Spalte: 2 Nebenmaxima
5 Spalte: 3 Nebenmaxima
6 Spalte: 4 Nebenmaxima
7 Spalte: 5 Nebenmaxima
8 Spalte: 6 Nebenmaxima
9 Spalte: 7 Nebenmaxima
10 Spalte: 8 Nebenmaxima
**Zu 2.**: Bei einer großen Anzahl von Gitteröffnungen ist die Intensität der Nebenmaxima so gering, dass wir sie nicht mehr beobachten können. Es sind nur noch die Hauptmaxima in einem großen Abstand zu sehen.
Mit einem **optischen Gitter** (regelmäßige Anordnung von sehr kleinen Öffnungen in einem Hindernis), durch welches Licht auf einen Schirm geschickt wird, kann man wenige Maxima mit großer Intensität in einem großen Abstand beobachten.
Dadurch kann man Wellenlängenmessungen mit optischem Licht sehr viel genauer durchführen, als bei den breiten, eng nebeneinanderliegenden Maxima bei einem Doppelspalt.
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### Modellierung: Interferenzbild beim Gitter
Beim Übergang vom Doppelspalt zu einem Gitter mit sehr vielen Öffnungen verändert sich das Interferenzbild deutlich. Insbesondere verschwinden die Nebenmaxima.
Von den beiden Öffnungen des Doppelspalts gehen nach dem Huygenschen Prinzip Elementarwellen aus, die auf dem Schirm interferieren.
Wir betrachten jetzt vereinfachend für jeden Spalt genau einen Wellenzug, der vom Spalt ausgesendet wird. **Beim Doppelspalt betrachten wir also zwei interferierende Elementarwellenzüge**.
Genau in der Mitte zwischen den beiden Spaltöffnungen liegt das **0. Maximum des Interferenzbilds**, denn der Wegunterschied $\Delta s$ der beiden Wellenzüge ist gleich Null ($\Delta s = 0$). Die beiden Wellenzüge interferieren konstruktiv:
Direkt neben dem 0. Maximum liegt das **1. Maximum des Interferenzbilds**. Der Wegunterschied $\Delta s$ zwischen den beiden Elementarwellenzügen beträgt genau eine Wellenlänge $\lambda$, da die beiden Wellenzüge konstruktiv interferieren.
Der Schirm ist senkrecht zur optischen Achse ausgerichtet, weswegen es zwei **1. Maxima** gibt, die links und rechts im gleichen Abstand zum 0. Maximum beobachtet werden können. Das gilt auch für das 2., 3., 4. Maximum,..: **das Interferenzbild ist symmetrisch zum 0. Maximum**.
Zwischen dem 0. und 1. Maximum gibt es einen Ort auf dem Schirm, an dem der Wegunterschied $\Delta s$ der Elementarwellenzüge eine halbe Wellenlänge $\lambda$ beträgt ($\Delta s = \frac{\lambda}{2}$).
An diesem Ort auf dem Schirm beobachtet man eine destruktive Interferenz (Auslöschung) und damit eine dunkle Stelle: das **1. Minimum**.
Statt des Wegunterschieds $\Delta s$ zwischen den Elementarwellenzügen kann man auch die **rotierenden Zeiger** betrachten, die jeweils einer Elementarwelle zugeordnet sind und die Schwingung eines **virtuellen Oszillators** am Interferenzort modellieren.
Die Überlagerung der beiden virtuellen Oszillatoren liefert dann die Oszillation des realen Oszillators am Interferenzort.
Um die Interferenz am Interferenzort zu bestimmen, lassen wir für jeden Wellenzug einen Zeiger in der Frequenz $f$ der Welle rotieren, sobald der Wellenzug ausgesendet wurde:
- Der Wellenzug bewegt sich mit der Lichtgeschwindigkeit $c$.
- Sobald der Wellenzug den Interferenzort erreicht hat, wird die Rotation des zugeordneten Zeigers in unserer Modellierung gestoppt.
- Die Summe aller Zeiger liefert den resultierenden Zeiger des realen Oszillators am Interferenzort.
- Aus der Länge des resultierenden Zeigers kann die Amplitude der Schwingung am Interferenzort abgelesen werden und das Quadrat der Amplitude liefert die Intensität des Lichts (die wir subjektiv als Helligkeit wahrnehmen) am Interferenzort.
Bei einem Doppelspalt gibt es zwei Wellenzüge, die am Interferenzort miteinander interferieren.
**Vereinfachend** nehmen wir an, dass die beiden Wellenzüge parallel zueinander verlaufen. Diese Näherung modelliert immer besser die reale Situation, je kleiner der Abstand der Gitterspalte ist und je größer der Abstand zwischen dem Doppelspalt und dem Schirm ist.
Der Weg zu einem Interferenzort ist für die beiden Wellenzüge bei einem Doppelspalt unterschiedlich lang:
Dieser Wegunterschied wird um so größer, je weiter der Interferenzort vom 0. Maximum entfernt ist:
Bei einem weiter entfernten Interferenzort muss der Wellenzug, der vom Sender 2 ausgesendet wurde, einen weiteren Weg zurücklegen, als der Wellenzug, der von Sender 1 ausgesendet wurde.
Das bedeutet für den Zeiger 2, der dem Wellenzug 2 zugeordnet ist, dass sich dieser auf dem Weg vom Sender zum Interferenzort länger als der Zeiger 1 dreht.
Wir betrachten jetzt den Rotationswinkel der beiden Zeiger abhängig vom Interferenzort.
- Beim 0. Maximum sind beide Wellenzüge gleich lang, so dass der Wegunterschied der beiden Wellenzüge Null ist und die Zeiger am Interferenzort die gleiche Phase haben.
- Bei einem neuen Interferenzort, der neben dem 0. Maximum liegt, gibt es einen Wegunterschied zwischen Wellenzug 2 und Wellenzug 1. Zeiger 2 hat am Interferenzort eine andere Phase als Zeiger 1, da der Wellenzug 2 zum neuen Interferenzort einen weiteren Weg zurücklegen muss.
- Wenn der Wegunterschied von Wellenzug 1 und Wellenzug 2 zum gewählten Interferenzort eine halbe Wellenlänge lang ist, beobachtet man ein **Minimum**. Zeiger 2 hat sich eine halbe Drehung weiter gedreht, als Zeiger 1 (Phasendifferenz: $\pi$).
- Wenn der Wegunterschied von Wellenzug 1 und Wellenzug 2 zum gewählten Interferenzort eine ganze Wellenlänge lang ist, sind beide Zeiger wieder in gleicher Phase und man beobachtet wieder ein **Maximum**. Zeiger 2 hat sich relativ zu Zeiger 1 eine ganze Drehung weiter gedreht (Phasendifferenz: $2 \pi$).
Wenn sechs Öffnungen im gleichen Abstand als Mehrfachspalt verwendet werden, dann entsteht ein **Sechsfachspalt**. Es gibt jetzt sechs Elementarwellen, die auf dem Schirm interferieren. Man beobachtet folgendes Interferenzbild:
Wir modellieren die relative Phase der Zeiger 1-6 zwischen dem 0. Maximum und dem 1. Maximum wie folgt:
0. Maximum: alle 6 Zeiger haben die gleiche Phase.
1. Maximum: alle 6 Zeiger haben wieder die gleiche Phase.
Für den Wegunterschied zwischen den Wellenzügen für den Weg zum 1. Maximum gilt:
- Der Wegunterschied zwischen Wellenzug 1 und Wellenzug 2 sei $\Delta s$, deswegen hat sich Zeiger 2 eine Umdrehung weiter gedreht als Zeiger 1.
- Der Wegunterschied zwischen Wellenzug 1 und Wellenzug 3 ist dann $2 \cdot \Delta s$, deswegen hat sich Zeiger 3 zwei Umdrehungen weiter gedreht als Zeiger 1.
- Der Wegunterschied zwischen Wellenzug 1 und Wellenzug 4 ist dann $3 \cdot \Delta s$, deswegen hat sich Zeiger 4 drei Umdrehungen weiter gedreht als Zeiger 1.
- Der Wegunterschied zwischen Wellenzug 1 und Wellenzug 5 ist dann $4 \cdot \Delta s$, deswegen hat sich Zeiger 5 vier Umdrehungen weiter gedreht als Zeiger 1.
- Der Wegunterschied zwischen Wellenzug 1 und Wellenzug 6 ist dann $5 \cdot \Delta s$, deswegen hat sich Zeiger 6 fünf Umdrehungen weiter gedreht als Zeiger 1.
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### Simulation: Vom Doppelspalt zum Gitter
> Simulation in neuem Fenster starten: Vom Doppelspalt zum Gitter - Interferenzanalyse
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### Modellierung: Gitter
Wenn die Anzahl der Spalten und damit der Sender von Elementarwellenzügen immer weiter vergrößert wird, entsteht das Schirmbild eines Gitters.
Bei den Interferenzregeln braucht man nur eine kleine Veränderung, um die Formel für den Doppelspalt auf ein Gitter übertragen zu können.
Der Abstand $g$ zwischen den Doppelspaltöffnungen wird zur Gitterkonstante $g$, die den Abstand zwischen zwei Gitteröffnungen angibt.
Für ein optisches Gitter mit der Gitterkonstanten $g$ (Abstand zwischen den Gitteröffnungen) gilt:
> [!NOTE]
> Für **konstruktive Interferenz** am n-ten Maximum gilt für den Wegunterschied $\Delta s$ zwischen den kohärenten Wellenzügen: $\Delta s = n \cdot \lambda$, also:
>
> $$ n \cdot \lambda = g \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right) \right) $$
> [!NOTE]
> Für **destruktive Interferenz** am n-ten Minimum gilt für den Wegunterschied $\Delta s$ zwischen den kohärenten Wellenzügen: $\Delta s = (2 \cdot n + 1) \cdot \frac{\lambda}{2}$, also:
>
> $$ (2 \cdot n + 1) \cdot \frac{\lambda}{2} = g \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right) \right) $$
Im Experiment mit sichtbarem Licht muss man sich in der folgenden Zeichnung den Abstand zwischen den Spaltöffnungen sehr klein und den Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm sehr groß denken.
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## Simulation: Wellenlängenmessung von Licht
Mit Hilfe der objektiven Methode und der subjektiven Methode lässt sich mit Hilfe eines Gitters die Wellenlänge einer Lichtquelle bestimmen.
> Simulation in neuem Fenster starten: Wellenlängenmessung von Licht
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