## Elektronenwellen
> **Bezug zum Kerncurriculum:**
> - Ich kann das Experiment mit der Elektronenbeugungsröhre beschreiben.
> - Ich kann die Beobachtungen mithilfe optischer Analogieversuche an Transmissionsgittern deuten.
> - Ich kann die Wellenlänge bei Quantenobjekten mit Ruhemasse mithilfe der de-Broglie-Gleichung ermitteln.
> - Ich kann in diesem Zusammenhang die Definition des Impulses nennen.
> - Ich kann durch Auswertung von Messwerten die Antiproportionalität zwischen Wellenlänge und Geschwindigkeit bestätigen.
---
## Was sind Elektronen?
Am Ende des 19. Jahrhunderts gab es Uneinigkeit in der Physik über die Natur der Elektrizität. Man konnte beobachten, wie Funken übersprangen und beim Übersprung von Funken zwischen geladenen Kugeln wurden elektromagnetische Wellen ausgesandt. Manche waren daher der Meinung, dass die Elektrizität, die in den Leitungen fließt, "wellenartig" ist.
Im Jahr 1897 gelang es Joseph Thomson mit einer neuartigen Vakuumpumpe eine Glasröhre nahezu luftleer zu pumpen. Als er in dieser Glasröhre Elektrizität freisetzte, konnte er zeigen, dass der elektrische Strahl mit elektrischen Feldern abgelenkt werden konnte. Die elektrischen Felder üben eine Kraft auf die Elektrizität aus.
Die Elektrizität musste etwas anderes sein als Licht, denn Licht konnte man nicht mit elektrischen Feldern ablenken. Thomson folgerte, dass die Elektrizität aus einzelnen Teilchen besteht und gab ihnen den Namen "Elektronen". 1906 bekam Thomson für seine Entdeckung den Nobelpreis.
Ebenfalls im Jahr 1897 fand John Townsend Hinweise, dass die Elektrizität immer in Portionen von $1 \cdot 10^{-19} \, \text{C}$ auftritt. Millikan konnte im Jahr 1910 den Wert der elektrischen Elementarladung auf $1,63 \cdot 10^{-19} \, \text{C}$ verbessern und gleichzeitig nachweisen, dass die elektrische Elementarladung immer in Vielfachen dieses Werts gemessen wird. Auf folgenden Seiten von Leifi-Physik können Sie das nachlesen:
- [Geschichte der Bestimmung der Elementarladung](https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/geschichte/geschichte-der-bestimmung-der-elementarladung)
- [Millikan-Versuch](https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/ladungen-elektrisches-feld/versuche/millikan-versuch-schwebemethode-simulation)
Bei Experimenten mit Licht mussten die Physiker*innen miterleben, dass das Modell "Licht ist eine elektromagnetische Welle" nur manche Experimente erfolgreich modelliert. Neue Experimente wie der Photoeffekt oder der Compton-Effekt konnten besser mit dem Modell "Licht besteht aus Lichtquanten" modelliert werden.
**Louis de Broglie** beschäftigte sich mit den neuen Lichttheorien und wagte im Jahr 1924 in seiner Dissertation ["Recherche sur la theorie des quanta"](https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006807/document) eine kühne Hypothese:
- Nach der neuen Theorie besteht Licht mit der Frequenz $f$ aus Energiequanten der Größe $E = h \cdot f$,
- Elektronen haben eine Masse $m$, also kann ihnen nach Albert Einstein eine Energie $E = m \cdot c^2$ zugeordnet werden,
- Dann müsste einem Elektron der Energie $E$ eine Frequenz $f = \frac{E}{h}$ bzw. Wellenlänge $\lambda$ zugeordnet werden können.
So wie bei manchen Experimenten mit Licht ein "wellenartiges" Modell zur Erklärung der Phänomene geeignet ist (Interferenzexperimente) und bei anderen ein "teilchenartiges" Modell (Photoeffekt, Comptoneffekt), müsste es Experimente mit Elektronen geben, bei denen Phänomene beobachtet werden können, die man nur mit einem "wellenartigen" Modell erklären kann, z.B. Interferenzphänomene, obwohl Millikan nachgewiesen hat, dass Elektrizität immer quantisiert in Vielfachen der Elementarladung gemessen wird.
Physiker*innen machten sich an die Arbeit Experimente mit Elektronen zu entwickeln, die nur mit einem Wellenmodell erklärt werden können. Mit dem "Davisson-Germer-Experiment" von 1927 und dem "Elektronenbeugungsexperiment" von George Thomson 1927 fand man solche Experimente. Thomson erhielt 1929 für seine Leistung den Nobelpreis für Physik und Davisson im Jahr 1937.
Nachdem die Hypothese von Louis de Broglie durch Experimente bestätigt wurde, bekam de Broglie im Jahr 1929 den Nobelpreis für Physik.
---
## Elektronenbeugungsexperiment
Ein Elektronenstrahl wird von einer Beschleunigungsspannung $U_\text{B}$ beschleunigt und trifft nach der Lochanode auf einen Kristall.
Auf dem dahinter liegenden abgerundeten Schirm ist eine Leuchtschicht aufgebracht, die bei Wechselwirkung mit Elektronen Licht aussendet.
Modelliert man die Elektronen als Wellen, dann kann bei der Wechselwirkung mit dem **polykristallinen Graphitkristall** die **Bragg-Interferenz** auftreten.
Ein polykristalliner Graphitkristall besteht aus vielen kleinen Graphitkristallen, die in beliebig viele Raumrichtungen orientiert sind.
Für manche der Mikrokristalle trifft die Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz zu, so dass auf dem Schirm unter einem bestimmten Winkel ein Maximum zu beobachten ist.
Die sehr vielen Mikrokristalle erzeugen gemeinsam ein zusammengesetztes Interferenzbild. Dieses zusammengesetzte Interferenzbild bildet konzentrische Kreise auf dem Leuchtschirm.
---
### Simulation: Entstehung des Interferenzbilds
> Simulation in neuem Fenster starten: Drehgitter
Durchführung
1. **Klicke** auf "Laser einschalten". **Lass** die Gitteranzahl bei **1** und **variiere** die Wellenlänge.
2. **Stelle** als Gitteranzahl **2** ein und **beobachte** die Auswirkung auf das Interferenzbild.
Beobachtungen
**Zu 1.**: Auf dem Schirm sieht man das typische Interferenzbild eines Laserstrahls, der ein Liniengitter passiert. Die Lage der Maxima ist von der Wellenlänge des Lasers abhängig.
**Zu 2.**: Wenn der Laserstrahl zwei gleichartige Liniengitter passiert, die in einem Winkel von 90° zueinander gedreht sind, dann beobachtet man zwei Interferenzmuster, die ebenfalls in einem Winkel von 90° zueinander gedreht sind.
**Zu 3.**: Wenn der Laserstrahl mehrere gleichartige Liniengitter passiert, die symmetrisch zueinander verdreht sind (Winkel zwischen den Gittern = 180°/Anzahl Gitter), dann beobachtet man, dass die einzelnen Interferenzmuster ebenfalls symmetrisch zueinander liegen. Bei sehr vielen Gittern geht das Interferenzmuster in konzentrische Kreise über.
> Anmerkung: In der Realität könnte das Laserlicht die übereinanderliegenden Gitter nicht passieren. Wir gehen in diesem Gedankenexperiment davon aus, dass das Licht die jeweils anderen Gitter ungehindert passieren kann.
---
### Modellierung der Bragg-Reflexion
Angenommen, Elektronen erzeugen beim Durchgang durch den polykristallinen Kristall ein Interferenzmuster, dann müsste die Lage und die Form des Schirmbilds dem Interferenzbild ähneln, das erzeugt wird, wenn man Röntgenstrahlung mit einer bestimmten Wellenlänge $\lambda$ durch den polykristallinen Kristall schickt.
Im Folgenden nehmen wir also an, dass Elektronen "wellenartig" sind und modellieren die Bragg-Reflexion entsprechend. Die Elektronenwellen werden am Gitter gebeugt und treffen unter einem bestimmten Winkel relativ zur Richtung des eingestrahlten Elektronenstrahls auf den Schirm. Dieser Winkel entspricht dem doppelten Glanzwinkel $\delta$ der Bragg-Reflektion.
Aus der Zeichnung folgt für den Zusammenhang zwischen dem Winkel $\delta$, dem Abstand $a$ zwischen Kristall und Schirm und dem Radius $r$ eines Interferenzkreises:
$$
\sin(2 \cdot \delta) = \frac{\text{GK}}{\text{H}} = \frac{r}{a}
$$
Die Rechnung soll einfach bleiben, deswegen verwenden wir für kleine Winkelweiten die Näherung $\sin(2 \cdot \delta) \approx 2 \cdot \sin(\delta)$ und es gilt:
$$
2 \cdot \sin(\delta) = \frac{r}{a}
$$
Für die Bragg-Reflexion am Gitter gilt:
$$
n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin(\delta)
$$
also:
$$
2 \cdot \sin(\delta) = \frac{n \cdot \lambda}{d}
$$
Setzt man beide Gleichungen gleich, folgt:
$$
\begin{align}
\frac{r}{a} &= \frac{n \cdot \lambda}{d} \\
\lambda &= \frac{d \cdot r}{n \cdot a}
\end{align}
$$
Wenn Elektronen "wellenartig" sind und den Elektronen eine bestimmte Wellenlänge zugeordnet werden könnte, dann müsste man die Wellenlänge $\lambda_e$ der Elektronen mit Hilfe der Elektronenstrahlröhre wie folgt bestimmen können:
> $$
> \lambda_e = \frac{d \cdot r}{n \cdot a}
> $$
mit $d$ = Abstand zweier Gitterebenen im Kristall, $r$ = Radius eines beobachteten Interferenzkreises auf dem Schirm, $n$ = n-tes Maximum, das auf dem Schirm beobachtet wird, $a$ = Abstand zwischen Kristall und Schirm.
Kristalle besitzen nicht nur eine Gitterebene. Die Atomanordnung ist in verschiedene Richtungen regelmäßig angeordnet. Man kann also mehr als nur einen Gitterabstand angeben:
Aus diesem Grund beobachtet man mehrere voneinander unabhängige Interferenzmuster. Wir betrachten exemplarisch zwei verschiedene Interferenzmuster:
- Gitterabstand $d_1$ liefert $\lambda_e = \frac{d_1 \cdot r}{n \cdot a}$
- Gitterabstand $d_2$ liefert: $\lambda_e = \frac{d_2 \cdot r}{n \cdot a}$.
---
### Simulation: Elektronenbeugung
> Simulation in neuem Fenster starten: Elektronenbeugungsexperiment
Durchführung
1. **Klicke** auf "Elektronenquelle einschalten". **Variiere** die Beschleunigungsspannung und damit die Geschwindigkeit der Elektronen und **beobachte** die Auswirkung auf das Schirmbild.
Beobachtungen
**Zu 1.**: Bei einer höheren Beschleunigungsspannung wird der Radius der Interferenzkreise auf dem Schirm kleiner. Nach $\lambda_e = \frac{d \cdot r}{n \cdot a}$ müsste schnelleren Elektronen eine kleinere Wellenlänge zugeordnet werden.
Kleine Beschleunigungsspannung, großer Kreisradius:
Große Beschleunigungsspannung, kleiner Kreisradius:
---
## Modellierung der Elektronenwellenlänge
Nach den Überlegungen von Albert Einstein, die er in seiner speziellen Relativitätstheorie entwickelt hatte, kann mit der Formel $E = m \cdot c^2$ eine Masse als Energie und eine Energie als Masse aufgefasst werden.
Ein Lichtquant, das sich mit der Lichtgeschwindigkeit $c$ bewegt, besitzt eine Energie $E_\text{Lichtquant} = h \cdot f$. Daher kann einem Lichtquant eine Masse $m = \frac{E_\text{Lichtquant}}{c^2}$ zugeordnet werden.
Ein ruhendes Elektron besitzt eine Masse $m_\text{Elektron} = 9,10938\cdot10^{-31} \, \text{kg}$. Dem ruhenden Elektron kann daher eine Energie $E = m_\text{Elektron} \cdot c^2$ zugeordnet werden.
> **Anmerkung:** Die Masse eines Körpers hängt zum einen von den Massen seiner Bestandteile (Atome, Moleküle) ab und zum anderen von den kinetischen und potenziellen Energien, die diese haben, auch wenn der Körper als Ganzes ruht. So verliert ein Körper Masse, wenn er aus einzelnen Bestandteilen zusammengesetzt wird (z.B. Kondensieren von Wasserdampf zu Wasser), denn es wird Bindungsenergie an die Umgebung abgegeben und diese Bindungsenergie entspricht nach $E = m \cdot c^2$ einer Masse.
>
> Wenn ein Körper erwärmt wird (Kochtopf mit Wasser auf Herd), dann vergrößert sich seine Masse, da dem Körper Energie zugeführt wird und sich dadurch seine Gesamtenergie vergrößert. Auch diese Veränderung kann mit $E = m \cdot c^2$ berechnet werden.
>
> Die Veränderungen der Masse und der Energie eines Körpers lassen sich nicht trennen, sobald sich die Masse eines Körpers ändert, verändert sich seine Energie und umgekehrt: **Masse und Energie sind äquivalent zueinander**.
>
> Die ursprüngliche klassische Bedeutung der Masse als ein Maß für die Menge der Materie ist in der modernen Physik nicht mehr gültig.
Aus der Formel von Albert Einstein $E = m \cdot c^2$ und der Formel von Max Planck $E = h \cdot \frac{c}{\lambda}$ folgt:
$$
\begin{align}
m_\text{Lichtquant} \cdot c^2 &= h \cdot \frac{c}{\lambda} \\
m_\text{Lichtquant} &= \frac{h \cdot c}{c^2 \cdot \lambda} = \frac{h}{c \cdot \lambda}
\end{align}
$$
Nachdem einem Lichtquant eine Masse zugeordnet wurde, kann man auch den Impuls $p_\text{Lichtquant} = m_\text{Lichtquant} \cdot c$ eines Lichtquants berechnen:
$$
\begin{align}
m_\text{Lichtquant} &= \frac{h}{c \cdot \lambda} \\
m_\text{Lichtquant} \cdot c &= \frac{h}{\lambda} \\
p_\text{Lichtquant} &= \frac{h}{\lambda}
\end{align}
$$
Aus der Äquivalenz von Energie und Masse über die Einstein-Formel $E = m \cdot c^2$ folgt, dass einem Lichtquant, das sich mit der Lichtgeschwindigkeit $c$ bewegt ein Impuls $p_\text{Lichtquant} = \frac{h}{\lambda}$ zugeordnet werden kann.
De Broglie kam auf die Idee, die Formel $p = \frac{h}{\lambda}$ auf ein Elektron zu übertragen und einem Elektron der Masse $m_e$, der Geschwindigkeit $v_e$ und dem Impuls $p_e = m_e \cdot v_e$ eine Wellenlänge $\lambda_e$ zuzuordnen:
$$
\lambda_e = \frac{h}{p_e} = \frac{h}{m_e \cdot v_e}
$$
Mit Hilfe dieser Formel kann die Wellenlänge $\lambda_e$ eines Elektrons berechnet werden, das z.B. mit einer üblichen Beschleunigungsspannung $U_\text{B} = 200 \, \text{V}$ beschleunigt wird. Im elektrischen Feld der Spannung $U_\text{B}$ gewinnt das Elektron die kinetische Energie $E_\text{kin} = \tfrac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2$. Es gilt:
$$
e \cdot U_\text{B} = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2
$$
Ein Elektron der Masse $m_e$ und der Geschwindigkeit $v_e$ hat den Impuls $p_e = m_e \cdot v$. Löst man diese Formel nach $v$ auf ($v = \frac{p_e}{m_e}$) und setzt $v$ in die Formel für die kinetische Energie ein, folgt:
$$
\begin{align}
e \cdot U_\text{B} &= \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 \\
e \cdot U_\text{B} &= \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot \left( \frac{p_e}{m_e} \right) ^2 \\
e \cdot U_\text{B} &= \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot \frac{p_e^2}{m_e^2} \\
e \cdot U_\text{B} &= \frac{p_e^2}{2 \cdot m_e}
\end{align}
$$
Setzt man in die Gleichung für den Impuls $p_e = \frac{h}{\lambda_e}$ ein, folgt:
$$
\begin{align}
e \cdot U_\text{B} &= \frac{\tfrac{h^2}{\lambda_e^2}}{2 \cdot m_e} \\
e \cdot U_\text{B} &= \frac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot \lambda_e^2} \\
\end{align}
$$
Diese Formel kann nach der Wellenlänge $\lambda_e$ aufgelöst werden:
$$
\begin{align}
e \cdot U_\text{B} &= \frac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot \lambda_e^2} \\
\lambda_e^2 &= \frac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot e \cdot U_\text{B}} \\
\end{align}
$$
> [!NOTE]
> Einem Elektron, das durch die Spannung $U_\text{B}$ beschleunigt wurde, kann die folgende Wellenlänge zugeordnet werden:
>
> $$ \lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m_e \cdot e \cdot U_\text{B}}} $$
Setzt man die Werte aus der Formelsammlung in diese Formel ein, kann man die Wellenlänge von Elektronen abschätzen:
$$
\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m_e \cdot e \cdot U_\text{B}}} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js}}{\sqrt{2 \cdot 9,109 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \cdot 200 \, \text{V}}} = 8,673 \cdot 10^{-11} \, \text{m}
$$
Diese Wellenlänge ist in der Größenordnung von Röntgenstrahlung.
Die Interferenzmuster in den Realexperimenten von Thomson und Davisson-Germer haben diese vorhergesagten Wellenlängen für Elektronen bestätigt.
---
## Aufgabe
In einer Elektronenstrahlröhre trifft ein Elektronenstrahl auf eine polykristalline Graphitfolie, die aus vielen einzelnen unregelmäßig ausgerichteten Graphitkristallen besteht. Dabei entsteht auf dem Leuchtschirm der Elektronenbeugungsröhre ein Interferenzbild, das z.B. wie folgt aussieht:
Für einen einzelnen Mini-Kristall kann die Bragg-Bedingung angewendet werden:
$$
n \cdot \lambda_e = 2 \cdot d \cdot \sin(\delta)
$$
mit $n$ = Ordnung des Maximums (hier 1), $d$ = Netzebenenabstand im Kristall, $\delta$ = Glanzwinkel, $\lambda_e$ = Elektronenwellenlänge.
Für den Ablenkwinkel $\alpha$ misst man bei einem Maximum 1. Ordnung (n = 1) und einem Netzebenenabstand von $2,4 \cdot 10^{-10} \, \text{m}$ den Wert: $\alpha = 6,4°$.
**Berechne** die Geschwindigkeit der Elektronen, mit welcher diese auf den Kristall auftreffen.
Lösungsvorschlag
Nach de-Broglie kann einem Elektron, das sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt, die Wellenlänge $\lambda_e = \frac{h}{p}$ zugeordnet werden. Ein Elektron, das die Masse $m_e$ hat und sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt, hat den Impuls $p = m_e \cdot v$.
Der Ablenkwinkel $\alpha$ des Elektronenstrahls ist der Winkel zwischen dem einfallenden Elektronenstrahl und der Richtung des reflektierten Elektronenstrahls und ist daher der doppelte Glanzwinkel $\delta$.
Also gilt für den Glanzwinkel: $\delta = 0,5 \cdot \alpha = 0,5 \cdot 6,4° = 3,2°$. Für die Geschwindigkeit $v$ gilt dann:
$$
\begin{align}
\lambda_e &= \frac{h}{p} \\
\lambda_e &= \frac{h}{m_e \cdot v} \\
v &= \frac{h}{m_e \cdot \lambda_e} \\
\end{align}
$$
Für die Wellenlänge $\lambda_e$ setzt man die Bragg-Beziehung mit $n = 1$ für das erste Maximum ein: $n \cdot \lambda_e = 2 \cdot d \cdot \sin(\delta)$
$$
\begin{align}
v &= \frac{h}{m_e \cdot \lambda_e} \\
v &= \frac{h}{m_e \cdot 2 \cdot d \cdot \sin(\delta)} \\
v &= \frac{6,62607 \cdot 10^{-34} \, \text{Js}}{9,1093837 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \cdot 2 \cdot 2,4 \cdot 10^{-10} \, \text{m} \cdot \sin(3,2°)} \\
v &= 27147149,88 \, \tfrac{m}{s}
\end{align}
$$
Nach dem Kerncurriculum soll das Ergebnis eine Stelle mehr hinter dem Komma in wissenschaftlicher Darstellung haben, als der ungenaueste gegebene Messwert.
Ablenkwinkel und Netzebenenabstand sind beide mit jeweils einer Stelle hinter dem Komma in wissenschaftlicher Darstellung angegeben, also wird die berechnete Geschwindigkeit der Elektronen mit zwei Stellen hinter dem Komma in wissenschaftlicher Darstellung angegeben:
$$
v = 27147149,88 \, \tfrac{m}{s} = 2,71 \cdot 10^{7} \, \tfrac{m}{s}
$$
---