## Quantenmechanisches Modell
> **Bezug zum Kerncurriculum:**
> - Ich kann die Quantisierung der Gesamtenergie von Elektronen in der Atomhülle erläutern.
> - Ich kann dazu das Modell vom eindimensionalen Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden anwenden.
> - Ich kann die Gleichung für die Gesamtenergie eines Elektrons in diesem Modell nennen.
> - Ich kann die Gleichung für die Gesamtenergie eines Elektrons in diesem Modell herleiten.
> - Ich kann die Aussagekraft und die Grenzen dieses Modells auch unter Berücksichtigung der Unbestimmtheitsrelation beschreiben.
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## Ein Elektron im eindimensionalen Potenzialtopf
Als stark vereinfachtes Modell ersetzen wir das Coulomb-Potenzial des Wasserstoffatoms durch einen eindimensionalen Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden und der Breite L:
- Der mögliche Aufenthaltsbereich des Elektrons innerhalb dieses erlaubten Bereichs erstreckt sich **eindimensional** in einer Raumrichtung und nicht wie bei einem realen Atom in drei Raumrichtungen.
- Dem Elektron wird eine **Wellenfunktion** $\Psi$ zugeordnet. Das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion $|\Psi|^2$ liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte, das Elektron bei einer Wechselwirkung an einem bestimmten Ort zu messen.
- Das Innere des Aufenthaltsbereichs denken wir uns **kräftefrei**, so dass sich der Impuls und damit die Wellenlänge der Wellenfunktion des Elektrons im Lauf der Zeit nicht ändert.
Die experimentellen Beobachtungen zeigen, dass das Wasserstoffatom nur ganz bestimmte Photonen emittiert und absorbiert. Deswegen darf das Elektron im Wasserstoffatom nur ganz bestimmte Energien haben.
Eine erlaubte Energie im Wasserstoffatom nennen wir ein **Energieniveau**. Ein Photon wird emittiert, wenn das Elektron von einem erlaubten Energieniveau zu einem anderen erlaubten Energieniveau wechselt. Die Energiedifferenz der beiden Energieniveaus entspricht der Energie des emittierten Photons.
Im quantentheoretischen Atommodell modelliert man ein **erlaubtes Energieniveau** für das Elektron wie folgt:
- man sucht eine Wellenfunktion, die sich über die gesamte Länge des Potenzialtopfes erstreckt.
- an den Rändern des Potenzialtopfes muss die Wellenfunktion einen Knoten haben, da am Rand die Aufenthaltswahrscheinlichkeit Null ist. Das Elektron darf das Atom ja nicht verlassen.
- Im denkbar einfachsten Fall denken wir uns ein Elektron mit einem **bestimmten Energiezustand**, so dass das Elektron mit einer **Sinusfunktion** dargestellt werden kann.
Quelle: [QuVis - University of St Andrews](https://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/)
Durchführung
**1.**: **Aktiviere** die Schaltfläche **Probability density graph $|\Psi|^2$**, um die resultierende Wahrscheinlichkeitsdichte anzeigen zu lassen. **Klicke** dann auf die Energieniveaus in der mittleren Darstellung, indem du auf die gestrichelten Linien klickst. **Beobachte** die möglichen Wellenfunktionen im eindimensionalen Potenzialtopf.
**2.**: **Klicke** auf den Tab "Challenges" und **versuche** die Herausforderungen richtig zu beantworten.
Beobachtungen
**Zu 1.**: Die Wellenfunktion $\Psi$ ist eine abstrakte mathematische Funktion, die keine reale Bedeutung hat. Das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion $|\Psi|^2$ liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte, mit deren Hilfe man berechnen kann, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, das Elektron bei einer Wechselwirkung mit einem Photon in einem bestimmten Bereich im Wasserstoffatom zu messen. **Erlaubte Energieniveaus werden als stehende Wellenfunktionen im eindimensionalen Potenzialtopf modelliert**.
Auf dem Energieniveau 1 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Mitte des Atoms am größten:
Auf dem Energieniveau 2 gibt es zwei Bereiche links und rechts der Mitte des Atoms, in welcher die Wahrscheinlichkeitsdichte am größten ist:
Auf dem Energieniveau 10 gibt es viele Bereiche mit gleicher größter Wahrscheinlichkeitsdichte:
Lösungsvorschlag
**Herausforderung 1**: Betrachten wir einen Potenzialtopf mit fester Breite. **Klicke** alle Antworten an, die korrekt sind. Je größer die Quantenzahl n ist, desto:
- größer ist die Gesamtenergie des Quantenobjekts
- kleiner ist die Wellenlänge von $\Psi$
**Herausforderung 2**: Betrachten wir ein Quantenobjekt mit der Quantenzahl n = 5 in einem Potenzialtopf variabler Breite. Klicken alle Antworten an, die korrekt sind. Je größer die Breite des Potenzialtopfes, desto:
- größer ist die Wellenlänge von $\Psi$, weswegen die Frequenz wegen $c = \lambda \cdot f$ kleiner ist. Wenn die Frequenz $f$ kleiner ist, hat das Quantenobjekt bei einem breiteren Potenzialtopf wegen $E = h \cdot f$ eine kleinere Energie.
**Herausforderung 3**: Betrachten wir einen Potenzialtopf mit fester Breite. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, das Quantenobjekt in dem linken markierten Bereich zu finden?
- Der Funktionsgraph der Wahrscheinlichkeitsdichte besteht aus fünf gleich großen Teilflächen. Zwei von diesen fünf Teilflächen sind markiert. Damit ist die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{5} = 0.4$.
**Herausforderung 4**: Betrachten wir einen Potenzialtopf mit fester Breite im dargestellten Energiezustand $E_9$. Markiere mit Hilfe der Pfeile einen Bereich kleiner als die Gesamtbreite, in welchem die quantenphysikalische Wahrscheinlichkeit das Quantenobjekt zu finden, gleich groß wie die klassische Wahrscheinlichkeit ist, das Teilchen in diesem Bereich bei einer Messung zu finden.
- Klassisch kann ein Teilchen im gesamten Bereich mit gleicher Wahrscheinlichkeit gefunden werden. Die klassische Wahrscheinlichkeitsdichte ist daher $P_\text{klassisch} = \frac{1}{L}$. Multipliziert man die klassische Wahrscheinlichkeitsdichte mit der Breite $L$ ist das Ergebnis $1 = 100 \%$. Man könnte als den gesamten Bereich markieren und in beiden Fällen wäre die Wahrscheinlichkeit das Teilchen zu finden $100 \%$.
- Wenn man die Hälfte markiert, dann hat man klassisch und quantenphysikalisch jeweils eine Wahrscheinlichkeit von $0,5 = 50 \%$, da der Graph der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion symmetrisch zur Mitte des Potenzialtopfes ist.
**Herausforderung 5**: Betrachten wir einen Potenzialtopf mit fester Breite. Wie hängt die Wellenlänge von der Quantenzahl $n$ ab? Überlege dazu, wie viele Wellenlängen in den Potenzialtop bei einer gegebenen Quantenzahl $n$ passen, indem du verschiedene Energiezustände mit jeweils anderer Quantenzahl $n$ anklickst und die jeweilige Wellenfunktion betrachtest.
- Für $n = 1$ beobachtet man eine halbe Wellenlänge auf der Länge L, also gilt für die Wellenlänge $1 \cdot \frac{\lambda}{2} = L$
- Für $n = 2$ beobachtet man eine ganze Wellenlänge auf der Länge L, also gilt für die Wellenlänge $2 \cdot \frac{\lambda}{2} = L$,
- Für $n = 3$ beobachtet man drei halbe Wellenlängen auf der Länge L, also gilt für die Wellenlänge $3 \cdot \frac{\lambda}{2} = L$,
- Für $n = 4$ beobachtet man vier halbe Wellenlängen auf der Länge L, also gilt für die Wellenlänge $4 \cdot \frac{\lambda}{2} = L$,
- Für $n$ beobachtet man $n$ halbe Wellenlängen auf der Länge L, also gilt für die Wellenlänge $n \cdot \frac{\lambda}{2} = L$,
damit gilt: $\lambda = 2 \cdot \frac{L}{n}$
Wir betrachten einen eindimensionalen Potenzialtopf mit der Breite $L$. Erlaubte Energieniveaus für ein Elektron im eindimensionalen Potenzialtopf sind solche, bei welchen die dem Elektron zugeordnete Wellenfunktion mit der Wellenlänge $\lambda$ eine stehende Welle ausbildet, die am Rand jeweils einen Knoten hat.
Dem Energieniveau mit der geringsten Energie wird die Hauptquantenzahl $n = 1$ zugeordnet. Die Bedingung für eine zulässige Wellenfunktion mit der Wellenlänge $\lambda$ in einem eindimensionalen Potenzialtopf der Länge $L$ ist:
$$
L = n \cdot \frac{\lambda}{2}
$$
oder
$$
\lambda = 2 \cdot \frac{L}{n}
$$
> **Anmerkung:**
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> Die Wellenfunktionen sind **nicht** die Elektronen. Die Wellenfunktionen sind abstrakt und ermöglichen es, die Wahrscheinlichkeit zu modellieren, ein Elektron an einem bestimmten Ort, mit einem bestimmten Impuls zu messen. Vor einer Ortsmessung besitzt das Elektron im Allgemeinen keinen bestimmten Ort. Das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion $\lvert \Psi \rvert^2$ beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte fuer die möglichen Messergebnisse.
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### Berechnung der erlaubten Energieniveaus
Für die Wellenfunktionen im eindimensionalen Potenzialtopf sind nur bestimmte Werte erlaubt. Deswegen sind auch nur bestimmte Werte für den Impuls $p$ möglich.
Nach de-Broglie gilt für den Impuls eines Elektrons: $p = \frac{h}{\lambda}$. Ersetzt man die Wellenlänge $\lambda$ mit der rechten Seite der Gleichung $\lambda = 2 \cdot \frac{L}{n}$, folgt für die erlaubten Impulswerte:
$$
p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h \cdot n}{2 \cdot L}
$$
Wir denken uns den eindimensionalen Potenzialtopf im einfachsten Fall ohne eine wirkende Kraft, so dass die potenzielle Energie Null ist. Die Gesamtenergie des Elektrons ist damit nur seine kinetische Energie. Mit $p = m \cdot v$ gilt:
$$
\begin{align}
E_\text{kin} &= \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 \\
&= \frac{1}{2} \cdot \frac{m_e^2 \cdot v^2}{m_e} \\
&= \frac{p^2}{2 \cdot m_e} \\
&= \frac{\left( \frac{h \cdot n}{2 \cdot L} \right)^2}{2 \cdot m_e} \\
&= \frac{h^2}{8 \cdot m_e \cdot L^2} \cdot n^2
\end{align}
$$
Damit gilt für die erlaubten Energieniveaus in einem eindimensionalen Potenzialtopf der Länge $L$ abhängig von der Hauptquantenzahl $n$:
$$
E_\text{n} = \frac{h^2}{8 \cdot m_e \cdot L^2} \cdot n^2
$$
Mit $h$ = Plancksches Wirkungsquantum, $m_e$ = Elektronenmasse, $L$ = Breite des Potenzialtopfs, $n$ = Hauptquantenzahl.
Nur Energiewerte, die zu stehenden Wellen gehören, sind erlaubt. Wenn man geeignete Werte in die Formel einsetzt, kann man die Energieniveaus mit den Energieniveaus der Experimente vergleichen.
Es sei $L = 240 \cdot 10^{-12} \, \rm{m}$, also der Wert des Van-der-Waals-Durchmessers eines Wasserstoffatoms.
$$
\begin{align}
E_\rm{n} &= \frac{h^2}{8 \cdot m_e \cdot L^2} \cdot n^2 \\
&= \frac{(6,62607 \cdot 10^{-34} \, \rm{Js})^2}{8 \cdot 9,109384 \cdot 10^{-31} \, \rm{kg} \cdot (240 \cdot 10^{-12} \, \rm{m})^2} \cdot n^2
\end{align}
$$
Für $n = 1$ folgt $E_1 = 1,04595 \cdot 10^{-18} \, \rm{J} = 6,5 \, \rm{eV}$. Dieser Wert ist etwa halb so groß wie das experimentell ermittelte Energieniveaus von $13,6 \, \rm{eV}$. Der lineare Potentialtopf modelliert ein Wasserstoffatom nur sehr grob.
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## Elektron im zweidimensionalen Potenzialtopf
Die reale Welt ist dreidimensional. Auf dem Weg zu einer dreidimensionalen Modellierung betrachten wir Wellenfunktionen in einem zweidimensionalen Potenzialtopf. Alle anderen Vereinfachungen bleiben ansonsten bestehen.
Wenn in zwei Dimensionen der Potenzialtopf nicht symmetrisch ist, dann können in x- und y-Richtung die Wellenfunktionen unterschiedlich eingebaut werden, so dass stehende Wellen entstehen. Die Vielfalt möglicher erlaubter Energieniveaus nimmt zu.
In einem zweidimensionalen Potenzialtopf kann man stehende Wellen in zwei Dimensionen einspannen, so dass am Rand jeweils ein Knoten ist. Auch kann man sich den Potenzialtopf quadratisch oder rechteckig denken.
Quelle: [QuVis - University of St Andrews](https://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/)
Durchführung
**1.**: **Veränder** die Energieniveaus in beiden Raumrichtungen und **aktiviere** "Square well" für einen rechteckigen Potenzialtopf und "Rectangular well" für einen rechteckigen Potenzialtopf. **Beobachte** die Vielfalt der möglichen Wellenfunktionen.
**2.**: **Klicke** auf den Tab "Challenges" und **versuche** die Herausforderungen richtig zu beantworten.
Beobachtungen
**Zu 1.**: Die Wellenfunktion $\Psi$ ist eine abstrakte mathematische Funktion, die keine reale Bedeutung hat. Das Quadrat des Betrags der Wellenfunktion $|\Psi|^2$ liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte, mit deren Hilfe man berechnen kann, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, das Elektron bei einer Wechselwirkung mit einem Photon in einem bestimmten Bereich im Wasserstoffatom zu messen. **Erlaubte Energieniveaus werden als stehende Wellenfunktionen im zweidimensionalen Potenzialtopf modelliert**.
Auf jeweils dem Energieniveau 1 ist die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Mitte des Atoms am größten:
Auf jeweils dem Energieniveau 2 gibt es vier Bereiche links und rechts der Mitte des Atoms, in welcher die Wahrscheinlichkeitsdichte am größten ist:
Auf jeweils dem Energieniveau 5 gibt es viele Bereiche mit gleicher größter Wahrscheinlichkeitsdichte:
Lösungsvorschlag
**Herausforderung 1**: Gib geeignete Quantenzahlen $n_x$ und $n_y$ an, so dass die dargestellte Wahrscheinlichkeitsdichte richtig modelliert wird (bei jedem Klick auf die Ziffer 1 kommt eine neue Herausforderung):
Bestimme jeweils die Anzahl der halben Wellenlängen, die auf die Breite oder Länge des Potenzialtopfes passen:
**Herausforderung 2**: Gib geeignete Quantenzahlen $n_x$ und $n_y$ an, so dass die dargestellte Wellenfunktion richtig modelliert wird (bei jedem Klick auf die Ziffer 2 kommt eine neue Herausforderung):
Bestimme jeweils die Anzahl der halben Wellenlängen, die auf die Breite oder Länge des Potenzialtopfes passen:
**Herausforderung 3**: Gib geeignete Quantenzahlen $n_x$ und $n_y$ an, so dass für die Gesamtenergie $E_\text{ges}$ gilt: $E_\text{ges} = 10 \cdot E_1$.
Für die Gesamtenergie im quadratischen zweidimensionalen Potenzialtopf gilt: $E_\text{ges} = E_x + E_y = (n_x^2 + n_y^2) \cdot E_1$. Man muss also eine Kombination von $n_x$ und $n_y$ finden, so dass $(n_x^2 + n_y^2) = 10$:
**Herausforderung 4**: Gib geeignete Quantenzahlen $n_x$ und $n_y$ an, so dass die Kombination eine andere ist, als die dargestellte Wellenfunktion, aber beide Zustände die gleiche Energie haben.
- Suche die richtigen Quantenzahlen $n_x$ und $n_y$ für die dargestellte Welle.
- Berechne $n_x^2 + n_y^2$.
- Suche eine andere Kombination mit dem gleichen Ergebnis für $n_x^2 + n_y^2$. Am einfachsten findet man das, indem man die Werte für $n_x$ und $n_y$ vertauscht.
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## Elektron im dreidimensionalen Potenzialtopf
Ein reales Wasserstoffatom existiert in drei Dimensionen. Es muss ein dreidimensionales Potenzial in der Modellierung betrachtet werden, das sich mit der Entfernung zum Proton ändert. Elektronen haben auch weitere Eigenschaften wie z.B. einen Spin, die berücksichtigt werden müssen.
Bernd Thaller von der Universität Graz hat Visualisierungen von dreidimensionalen Wellenfunktionen eines Wasserstoffatoms erstellt:
[Visualisierung eines Wasserstoffatoms](https://gams.uni-graz.at/o:qm.5).
Applet zum Wasserstoffatom:
[3D-Wellenfunktionen eines Wasserstoffatoms](https://www.falstad.com/qmatom/)
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## Elektronen in komplexeren Atomen
Wasserstoffatome ($\rm{H}$) können sich zu einem Wasserstoffmolekül ($\rm{H}_2$) verbinden. Die atomaren Wellenfunktionen überlagern sich dann zu Molekülwellenfunktionen.
Durch Überlagerung von Wellenfunktionen können sich deren Wahrscheinlichkeitsamplituden teilweise oder vollständig auslöschen. Dadurch kann die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte an einem Ort klein oder null werden.
> Simulation in neuem Fenster starten: Wellenfunktionen im Potenzialtopf
> Quelle: [Weber State University](https://physics.weber.edu/schroeder/software/)
Durchführung
**1.**: **Stelle** im ersten und zweiten Kreis von links jeweils eine Amplitude ein, indem du mit gedrückter linker Maustaste den Radius des rotierenden komplexen Zeigers einstellst. **Beobachte** die resultierende Wellenfunktion. **Wechsle** zwischen der Ansicht **Dichte/Phase** und **Real/Imag**. Die Kombination zweier Wellenfunktionen liefert eine deutlich komplexere resultierende Wellenfunktion.
**2.**: **Stelle** die Simulation durch Klick auf **Nullamplitude** zurück und **experimentiere** mit der Kombination von jeweils zwei anderen Grundwellenfunktionen. Wenn die Amplitude über den Anzeigebereich hinausgeht, kann die Anzeige durch einen Klick auf **Normalisieren** auf den sichtbaren Bereich gezoomt werden.
**3.**: **Kombiniere** beliebig viele Wellenfunktionen und **beobachte** die Entstehung beliebig komplexer resutlierender Wellenfunktionen.
Beobachtung
**Zu 1. und 2.**: Die Grundschwingungen lassen sich noch gut nachvollziehen. Bereits die Überlagerung weniger Grundschwingungen bildet hochkomplexe Wellenfunktionen.
Durch die Überlagerung von mehr als zwei Wellenfunktionen, kann man stark vereinfacht die Überlagerung der Wellenfunktionen bei der Bildung mehratomiger Moleküle wie z.B. Ozon ($O_3$) modellieren.
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## Kritik am quantenmechanischen Atommodell
Auch wenn das quantenmechanische Atommodell einen Durchbruch bei der Beschreibung der atomaren Welt bedeutete, ist es inzwischen ein historisches Atommodell, so wie das Rutherfordsche oder Bohrsche Atommodell. Je nach Situation können nach dem Korrespondenzprinzip diese historischen Modelle verwendet werden, um bestimmte Phänomene zu modellieren, jedoch scheitert auch das quantenmechanische Modell bei der Modellierung von experimentellen Erkenntnissen, die z.B. beim Beschleuniger im Forschungszentrum CERN gewonnen wurden:
- relativistische Effekte bei großen Energien werden nicht berücksichtigt
- Atome mit vielen Elektronen lassen sich nur angenähert mit numerischen Methoden modellieren
- die Vielfalt der Quantenobjekte, die am CERN gefunden werden, lässt sich nicht modellieren
- die Vakuumquantenfluktuation lässt sich nicht modellieren
- ...
Das aktuelle Modell ist die **Quantenfeldtheorie** mit dem Namen **Standardmodell der Elementarteilchenphysik**. In der Quantenfeldtheorie modelliert man die Kraft zwischen dem Elektron und dem Proton durch den ständigen Austausch von Photonen. Ein Photon wird deswegen auch **Austauschboson der elektromagnetischen Wechselwirkung** genannt. Wir unterscheiden
- **virtuelle Photonen**, welche zwischen dem Elektron und Proton ausgetauscht werden. Die virtuellen Photonen vermitteln die elektromagnetische Anziehungskraft und können nicht beobachtet werden.
- **reale Photonen**, welche vom Elektron des Wasserstoffatoms emittiert oder absorbiert werden. Die realten Photonen werden mit der Umgebung ausgetauscht und können beobachtet werden.
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## Video-Empfehlung
- [Schrödingergleichung Tunneleffekt](https://www.youtube.com/watch?v=pcOdX6y-LIg&list=PLmDf0YliVUvGGAE-3CbIEoJM3DJHAaRzj&index=29)
- [Pauliprinzip, Orbitale, Kernmodell](https://www.youtube.com/watch?v=YtMsShYU3AY&list=PLmDf0YliVUvGGAE-3CbIEoJM3DJHAaRzj&index=30)
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