Die konstante Spannung \(U_0\) des Spannungsgeräts teilt sich auf in die Kondensatorspannung \(U_C\) (die wegen der Ladungstrennung entsteht) und die über dem ohmschen Widerstand abfallende Spannung \(U_R\) (Spannung = Energie pro Ladung. Solange ein Strom \(I\) durch den ohmschen Widerstand fließt, wandelt dieser elektrische Energie in Wärmeenergie um, daher misst man während der Kondensatoraufladung und Kondensatorentladung einen Spannungsabfall über dem Widerstand):
\[
U_C + U_R = U_0\]
Spannung am Kondensator
Für die Kapazität eines Kondensators gilt: \(C = \frac{Q}{U_C}\), also gilt für die Spannung \(U_C\) am Kondensator: \(U_C = \frac{Q}{C}\). Die Kapazität des Kondensators ist eine Konstante, beim Auflade- bzw. Entladevorgang ändert sich die Spannung und die Ladung in jedem Moment. Daher beschreibt man den zeitlichen Verlauf der Spannung \(U_C(t)\) am Kondensator wie folgt:
\[
U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}\]
Spannungsabfall über dem Widerstand
Der Widerstand wandelt elektrische Energie in Wärmeenergie um, daher erfahren die Elektronen einen Energieverlust, der um so höher ist, je größer die Stromstärke am Widerstand ist. Für den Spannungsabfall am Widerstand gilt: \(U_R = R \cdot I\). Der Widerstand im Versuch soll ein ohmscher Widerstand sein, dessen Widerstandswert bei verschiedenen Stromstärken konstant ist. Die Stromstärke \(I\) ändert sich während des Auflade- bzw. Entladevorgangs in jedem Moment. Daher beschreibt man den zeitlichen Verlauf des Spannungsabfalls am Widerstand wie folgt:
\[
U_R(t) = R \cdot I(t)\]
Die Stromstärke kann als zeitliche Änderung der Ladung am Kondensator beschrieben werden: \(I(t) = \frac{dQ(t)}{dt}\), also gilt für den Spannungsabfall am Widerstand \(U_R(t) = R \cdot \frac{dQ(t)}{dt} = R \cdot \dot{Q(t)}\). Dabei ist \(\frac{dQ(t)}{dt}\) die zeitliche Ableitung der Funktion \(Q(t)\).
Entladevorgang
Während des Entladevorgangs liegt keine Spannung von aussen an, so dass \(U_0 = 0\) und es gilt:
\[
U_C(t) + U_R(t) = \frac{Q(t)}{C} + R \cdot \frac{dQ(t)}{dt} = 0\]
Teilt man diese Gleichung durch \(R\), entsteht folgende Differentialgleichung:
\[
\frac{1}{R \cdot C} \cdot Q(t) + \frac{dQ(t)}{dt} = 0\]
Eine mögliche Lösungsfunktion ist:
\[
Q(t) = Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]
Probe:
\[
\frac{dQ(t)}{dt} = Q'(t) = Q_0 \cdot \left(- \frac{1}{R \cdot C} \right) \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]
Einsetzen:
\[
\begin{align}
\frac{1}{R \cdot C} \cdot Q(t) + \frac{dQ(t)}{dt} &= 0 \\
\frac{1}{R \cdot C} \cdot Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} &= 0 \\
\frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} &= 0 \\
0 &= 0
\end{align}\]
Damit ist \(Q(t) = Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\) eine geeignete Funktion, um die zeitliche Veränderung der Ladung auf dem Kondensator während des Entladevorgangs zu beschreiben.
Die Stromstärke \(I(t)\) ist die zeitliche Änderung der Ladung \(Q(t)\). Mit \(U_0 = \frac{Q_0}{C}\) und \(I_0 = \frac{U_0}{R}\) folgt:
\[
I(t) = \frac{dQ(t)}{dt} = Q'(t) = - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = - \frac{U_0}{R} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = - I_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]
Für die Spannung \(U_C\) am Kondensator gilt: \(U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}\), also:
\[
U_C(t) = \frac{Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}}{C} = U_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]
Der Entladevorgang eines Kondensators kann mit folgenden Formeln beschrieben werden:
Ladung \(Q(t)\) auf den Kondensatorplatten:
\[
Q(t) = Q_0 \cdot e^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]
Stromstärke \(I(t)\) im Stromkreis:
\[
I(t) = - I_{0} \cdot e^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]
Spannung \(U_C(t)\) am Kondensator:
\[
U_C(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{1}{R \cdot C}\cdot t}\]
