Das Elektron erreicht den Ablenkkondensator im Punkt \(O(0/0)\). Nachdem es den Ablenkkondensator im Punkt \(R\) verlassen hat, fliegt es geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit weiter, denn es wirkt auf das Elektron keine Kraft mehr (idealisiert).
Es trifft im Punkt \(Q(x_Q/y_Q)\) auf den Schirm. Dabei ist \(x_Q = l + s\).
Auf dem Weg vom Ablenkkondensator zum Schirm (vom Kondensator zum Schirm = KS) legt das Elektron den Weg \(y_{\text{KS}}\) zurück. Insgesamt hat es also folgenden Weg in y-Richtung zurückgelegt:
\[
y_Q = y(l) + y_{\text{KS}}\]
Bestimmung von \(y_{KS}\):
Zwischen Ablenkkondensator und Schirm bewegt sich das Elektron mit der Geschwindigkeit \(v_x\) fort, da es zu keinem Zeitpunkt nach Verlassen der Lochanode in \(x\)-Richtung beschleunigt wurde. Bis zum Auftreffen auf den Schirm vergeht also die Zeit
\[
t_{\text{KS}} = \frac{s}{v_x}\]
Im Ablenkkondensator (Kondensator = K) wird das Elektron für die Zeit
\[
t_{\text{K}} = \frac{l}{v_x}\]
mit der Beschleunigung \(a_y\) beschleunigt (siehe obige Herleitung):
\[
a_y = \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d}\]
Beim Verlassen des Ablenkkondensators hat das Elektron also in \(y\)-Richtung die Geschwindigkeit \(v_y\):
\[
v_y = a_y \cdot t_{\text{K}} = \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot \frac{l}{v_x}\]
Auf dem Weg vom Ablenkkondensator zum Schirm legt das Elektron in \(y\)-Richtung also folgenden Weg zurück:
\[
y_{\text{KS}} = v_y \cdot t_{\text{KS}} = \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot \frac{l}{v_x} \cdot \frac{s}{v_x}\]
Setzt man jetzt für die Geschwindigkeit \(v_x = \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}}\) ein (siehe Herleitung zur Elektronenstrahlerzeugung), dann folgt:
\[
\begin{align}
\require{cancel}
y_{\text{KS}} &= \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d} \cdot \frac{l}{v_x} \cdot \frac{s}{v_x} \\
&= \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d \cdot v_x^2} \cdot l \cdot s \\
&= \frac{U_y \cdot q}{m_e \cdot d \cdot \left( \sqrt{\frac{2 \cdot U_B \cdot q}{m_e}} \right)^2} \cdot l \cdot s \\
&= \frac{U_y \cdot \cancel{q}}{\cancel{m_e} \cdot d \cdot \left( \frac{2 \cdot U_B \cdot \cancel{q}}{\cancel{m_e}} \right) } \cdot l \cdot s
\end{align}\]
Also legt das Elektron auf dem Weg vom Ablenkkondensator zum Schirm in \(y\)-Richtung folgenden Weg zurück:
\[
y_{\text{KS}} = \frac{U_y}{2 \cdot d \cdot U_B} \cdot l \cdot s\]
Bestimmung von \(y(l)\):
Innerhalb des Ablenkkondensators bewegt sich das Elektron beschleunigt in \(y\)-Richtung. Dabei gilt für die \(y\)-Koordinate in Abhängigkeit vom Ort \(x\) (Herleitung siehe oben):
\[
y(x) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot x^2\]
Wenn die Ablenkspannung \(U_y\) so eingestellt wird, dass ein Elektron den Ablenkkondensator verlassen kann ohne auf einer der Kondensatorplatten aufzutreffen, gilt für die \(y\)-Koordinate an der Stelle \(x = l\):
\[
y(l) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot l^2\]
- \(d\) = Abstand der Kondensatorplatten
- \(U_y\) = Spannung zwischen den Platten des Ablenkkondensators
- \(U_B\) = Beschleunigungsspannung zwischen Glühdraht und Lochanode in \(x\)-Richtung
- \(l\) = Länge des Ablenkkondensators
Bestimmung des insgesamt zurückgelegten Wegs \(y_Q\) in \(y\)-Richtung:
Der insgesamt in \(y\)-Richtung zurückgelegte Weg \(y_Q\) ist die Summe aus \(y(l)\) und \(y_{\text{KS}}\):
\[
y_Q = y(l) + y_{\text{KS}}\]
mit
\[
y(l) = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot l^2\]
und
\[
y_{\text{KS}} = \frac{U_y}{2 \cdot d \cdot U_B} \cdot l \cdot s\]
Setzt man diese Ausdrücke in die Summe \(y_Q = y(l) + y_{\text{KS}}\) ein, folgt:
\[
\begin{align}
y_Q &= \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot l^2 + \frac{U_y}{2 \cdot d \cdot U_B} \cdot l \cdot s \\
&= \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot \left(l^2 + 2 \cdot l \cdot s \right)
\end{align}\]
Also
\[
y_Q = \frac{U_y}{4 \cdot d \cdot U_B} \cdot \left(l^2 + 2 \cdot l \cdot s \right)\]
Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.
