H1.4 Entladung eines Kondensators

Der Entladevorgang eines Kondensators kann mit folgenden Formeln beschrieben werden:

Ladung \(Q(t)\) auf den Kondensatorplatten:

\[ Q(t) = Q_0 \cdot e^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Stromstärke \(I(t)\) im Stromkreis:

\[ I(t) = - I_{0} \cdot e^{-\frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Spannung \(U_C(t)\) am Kondensator:

\[ U_C(t) = U_0 \cdot e^{-\frac{1}{R \cdot C}\cdot t}\]

Leiten Sie diese Formeln begründet her.

(Abi 2011 eA NAI)

Während des Entladevorgangs liegt keine Spannung von aussen an, so dass \(U_0 = 0\) und es gilt:

\[ U_C(t) + U_R(t) = \frac{Q(t)}{C} + R \cdot \frac{dQ(t)}{dt} = 0\]

Teilt man diese Gleichung durch \(R\), entsteht folgende Differentialgleichung:

\[ \frac{1}{R \cdot C} \cdot Q(t) + \frac{dQ(t)}{dt} = 0\]

Eine mögliche Lösungsfunktion ist:

\[ Q(t) = Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Probe:

\[ \frac{dQ(t)}{dt} = Q'(t) = Q_0 \cdot \left(- \frac{1}{R \cdot C} \right) \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Einsetzen:

\[ \begin{align} \frac{1}{R \cdot C} \cdot Q(t) + \frac{dQ(t)}{dt} &= 0 \\ \frac{1}{R \cdot C} \cdot Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} &= 0 \\ \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} &= 0 \\ 0 &= 0 \end{align}\]

Damit ist \(Q(t) = Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\) eine geeignete Funktion, um die zeitliche Veränderung der Ladung auf dem Kondensator während des Entladevorgangs zu beschreiben.

Die Stromstärke \(I(t)\) ist die zeitliche Änderung der Ladung \(Q(t)\). Mit \(U_0 = \frac{Q_0}{C}\) und \(I_0 = \frac{U_0}{R}\) folgt:

\[ I(t) = \frac{dQ(t)}{dt} = Q'(t) = - \frac{Q_0}{R \cdot C} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = - \frac{U_0}{R} \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} = - I_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Für die Spannung \(U_C\) am Kondensator gilt: \(U_C(t) = \frac{Q(t)}{C}\), also:

\[ U_C(t) = \frac{Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}}{C} = U_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Damit sind alle Formeln erfolgreich hergeleitet worden.

Für die Halbwertszeit \(t_H\) beim Entladungsvorgang eines Kondensators gilt die Gleichung: \(t_H = R \cdot C \cdot ln(2)\).

Leiten Sie diese Gleichung begründet her.

Für die Ladung \(Q(t)\) auf dem Kondensator gilt während des Entladungsvorgangs:

\[ Q(t) = Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]

Nach der Halbwertszeit \(t_H\) ist noch die Hälfte der Ladung auf den Kondensatorplatten vorhanden. Dabei gilt:

\[ Q(t_H) = \tfrac{1}{2} \cdot Q_0\]

Setzt man \(\tfrac{1}{2} \cdot Q_0\) für die Ladung \(Q(t_H)\) ein, folgt:

\[ \begin{align} Q(t) &= Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t} \\ Q(t_H) &= Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t_H} \\ \tfrac{1}{2} \cdot Q_0 &= Q_0 \cdot e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t_H} \; | \; : Q_0 \\ \tfrac{1}{2} &= e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t_H} \; | \; \ln\\ \ln \left( \tfrac{1}{2} \right) &= \ln \left(e^{- \frac{1}{R \cdot C} \cdot t_H} \right) \\ \ln \left( 2^{-1} \right) &= - \frac{1}{R \cdot C} \cdot t_H \\ t_H &= - R \cdot C \cdot \ln \left( 2^{-1} \right) \\ t_H &= - R \cdot C \cdot (-1 \cdot \ln(2)) \\ t_H &= R \cdot C \cdot \ln(2) \end{align}\]

Damit ist die Formel erfolgreich hergeleitet worden.