H2.5 Induktion

In einem Leiterstück der Länge \(d\), das sich senkrecht zu einem Magnetfeld der Stärke \(B\) mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt, wird eine Spannung \(U_\text{ind}\) induziert und es gilt:

\[ U_\text{ind} = B \cdot v \cdot d\]

Leiten Sie diese Formel begründet her.

In einem geraden Stück Metall befinden sich frei bewegliche Elektronen. Bewegt man einen Leiter der Länge \(d\) mit der Geschwindigkeit \(v\) senkrecht zu einem Magnetfeld mit der magnetischen Flussdichte \(B\), dann wirkt auf die Elektronen im Leiter die Lorentzkraft \(F_L\), mit \(F_L = e \cdot v \cdot B\). Die Elektronen werden aufgrund der wirkenden Lorentzkraft im Fall der folgenden Skizze nach links verschoben. Am linken Ende baut sich also ein Elektronenüberschuss auf, am rechten Ende des Leiters ein Elektronenmangel. Dadurch entsteht im Leiter ein elektrisches Feld \(E\) in dem auf ein Elektron die elektrische Kraft \(F_\text{el}\) wirkt.

Die Ladungsverschiebung erfolgt im Leiter solange, bis die Lorentzkraft \(F_L\) und die elektrische Kraft \(F_\text{el}\) im Gleichgewicht sind. In dieser Gleichgewichtssituation kann man zwischen den Enden des Leiters eine Spannung messen, die als Induktionsspannung \(U_\text{ind}\) bezeichnet wird. Das elektrische Feld im Inneren des Leiters ist homogen, da überall ein Gleichgewicht zwischen Lorentzkraft und elektrische Kraft herrscht. Es gilt also:

\[ E = \frac{U_\text{ind}}{d}\]

Aufgrund des Kräftegleichgewichts folgt:

\[ \begin{align} F_\text{el} &= F_L \\ e \cdot E &= e \cdot v \cdot B \\ \frac{U_\text{ind}}{d} &= v \cdot B \\ U_\text{ind} &= B \cdot v \cdot d \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.

Eine Leiterschleife der Länge \(d\) bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit \(v\) senkrecht durch ein Magnetfeld der Stärke \(B\). Leiten Sie ausgehend vom Induktionsgesetz \(| U_{\text{ind}} | = N \cdot \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) folgende Gleichung begründet her. Das Vorzeichen der Induktionsspannung soll dabei keine Rolle spielen.

\[ | U_{\text{ind}} | = N \cdot B \cdot v \cdot d\]

mit \(\Phi\) = magnetischer Fluss, \(t\) = Zeit, \(v\) = Geschwindigkeit, \(U_{\text{ind}}\) = induzierte Spannung, \(N\) = Windungszahl, \(B\) = magnetische Flussdichte, \(d\) = Länge der Leiterschleife

(Abi 2012 eA AII)

Für den Betrag der Induktionspannung gilt, wenn \(A\) die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche der Induktionsscheife ist:

\[ | U_{ind} | = N \cdot \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = N \cdot \frac{\Delta (A \cdot B)}{\Delta t}\]

Die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche \(A\) ändert sich, da die Leiterschleife mit der Geschwindigkeit \(v\) durch das Magnetfeld bewegt wird. Die Stärke des Magnetfeldes \(B\) ist konstant. Es folgt:

\[ | U_{ind} | = N \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t} \cdot B\]

Für die Geschwindigkeit der Leiterschleife gilt \(v = \frac{\Delta s}{\Delta t}\) und damit:

\[ \Delta s = v \cdot \Delta t\]

Die Änderung der vom Magnetfeld durchsetzten Fläche der Leiterschleife kann damit wie folgt beschrieben werden:

\[ \Delta A = d \cdot \Delta s = d \cdot v \cdot \Delta t\]

Setzt man diese Formel in das Induktionsgesetz ein, folgt:

\[ | U_{ind} | = N \cdot \frac{\Delta A}{\Delta t} \cdot B = N \cdot \frac{d \cdot v \cdot \Delta t}{\Delta t} \cdot B = N \cdot d \cdot v \cdot B = N \cdot B \cdot v \cdot d\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.