H2.3 Ladungen im Magnetfeld

Elektronen bewegen sich in einem Magnetfeld auf einem Kreisbogen.

Leiten Sie folgende Gleichung für dessen Radius \(r\) her:

\[ r = \frac{m_e \cdot v}{e \cdot B}\]

mit \(m_e\) = Masse eines Elektrons, \(v\) = Geschwindigkeit eines Elektrons, \(e\) = Ladung eines Elektrons, \(B\) = Stärke des Magnetfelds.

(Abi 2009 eA NAII)

Damit sich die Elektronen auf einer Kreisbahn bewegen, muss auf diese eine Zentripetalkraft \(F_{ZP}\) wirken, die stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen orientiert ist. Bewegen sich die Elektronen in einem Magnetfeld, das senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen ausgerichtet ist, wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft \(F_L\), welche nach der Drei-Finger-Regel die Funktion einer Zentripetalkraft übernimmt.

Es gilt für die Lorentzkraft \(F_L = e \cdot v \cdot B\) und für die Zentripetalkraft \(F_{ZP} = \frac{m_e \cdot v^2}{r}\). Da die Lorentzkraft die Rolle der Zentripetalkraft übernimmt, gilt:

\[ \begin{align} F_{ZP} &= F_L \\ \frac{m_e \cdot v^2}{r} &= e \cdot v \cdot B \\ r &= \frac{m_e \cdot v}{e \cdot B} \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.

Bei der Bewegung von Elektronen der Ladung \(e\), die mit der Spannung \(U_B\) beschleunigt wurden und dann mit konstanter Geschwindgkeit \(v\) in ein Magnetfeld fliegen, das senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen orientiert ist, lässt sich aus den Daten für die magnetische Flussdichte \(B\), dem Bahnradius \(r\) und der Beschleunigungsspannung \(U_B\) die Geschwindigkeit \(v\) der Teilchen mit Hilfe folgender Gleichung bestimmen:

\[ v = \frac{2 \cdot U_B}{r \cdot B}\]

Leiten Sie die hier angegebene Gleichung begründet her.

(Abi 2011 eA AII)

Die Elektronen gewinnen beim Durchfliegen eines elektrischen Felds mit der Beschleunigungsspannung \(U_B\) die elektrische Energie \(E_{el} = e \cdot U_B\). Diese elektrische Energie nehmen die Elektronen als Bewegungsenergie \(E_{kin} = \tfrac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2\) auf.

Es gilt damit:

\[ \begin{align} E_{el} &= E_{kin} \\ e \cdot U_B &= \tfrac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 \\ v^2 &= \frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m_e} \end{align}\]

Damit sich die Elektronen auf einer Kreisbahn bewegen, muss auf diese eine Zentripetalkraft \(F_{ZP}\) wirken, die stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen orientiert ist. Bewegen sich die Elektronen in einem Magnetfeld, das senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen ausgerichtet ist, wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft \(F_L\), welche nach der Drei-Finger-Regel die Funktion einer Zentripetalkraft übernimmt.

Es gilt für die Lorentzkraft \(F_L = e \cdot v \cdot B\) und für die Zentripetalkraft \(F_{ZP} = \frac{m_e \cdot v^2}{r}\). Da die Lorentzkraft die Rolle der Zentripetalkraft übernimmt, gilt:

\[ \begin{align} F_{ZP} &= F_L \\ \frac{m_e \cdot v^2}{r} &= e \cdot v \cdot B \\ \frac{m_e \cdot \frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m_e}}{r} &= e \cdot v \cdot B \\ \frac{m_e \cdot 2 \cdot e \cdot U_B}{m_e \cdot r} &= e \cdot v \cdot B \\ v &= \frac{2 \cdot U_B}{r \cdot B} \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.

Für geladene Teilchen (Energie \(E\), Ladung \(q\) und Masse \(m\)), die sich senkrecht zur Richtung eines Magnetfeldes mit der Flussdichte \(B\) bewegen, wird der Bahnradius \(r\) mit folgender Gleichung berechnet:

\[ r = \frac{\sqrt{2 \cdot E \cdot m}}{B \cdot q}\]

Leiten Sie diese Gleichung begründet her.

(Abi 2011 eA AI)

Ein geladenes Teilchen der Ladung \(q\) gewinnt beim Durchfliegen eines elektrischen Felds mit der Beschleunigungsspannung \(U_B\) die elektrische Energie \(E_{el} = q \cdot U_B\). Diese elektrische Energie nimmt das geladene Teilchen als Bewegungsenergie \(E_{kin} = \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\) auf.

Es gilt damit:

\[ \begin{align} E_{el} &= E_{kin} = E\\ E &= \tfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \\ v &= \sqrt{ \frac{2 \cdot E}{m}} \end{align}\]

Damit sich die Elektronen auf einer Kreisbahn bewegen, muss auf diese eine Zentripetalkraft \(F_{ZP}\) wirken, die stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen orientiert ist. Bewegen sich die Elektronen in einem Magnetfeld, das senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen ausgerichtet ist, wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft \(F_L\), welche nach der Drei-Finger-Regel die Funktion einer Zentripetalkraft übernimmt.

Es gilt für die Lorentzkraft \(F_L = q \cdot v \cdot B\) und für die Zentripetalkraft \(F_{ZP} = \frac{m \cdot v^2}{r}\). Da die Lorentzkraft die Rolle der Zentripetalkraft übernimmt, gilt:

\[ \begin{align} F_{ZP} &= F_L \\ \frac{m \cdot v^2}{r} &= q \cdot v \cdot B \\ r &= \frac{m \cdot v}{q \cdot B} \\ r &= \frac{m \cdot \sqrt{ \frac{2 \cdot E}{m}}}{q \cdot B} \\ r &= \frac{\sqrt{m^2 \cdot \frac{2 \cdot E}{m}}}{q \cdot B} \\ r &= \frac{\sqrt{2 \cdot E \cdot m}}{B \cdot q} \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.

Wenn ein Elektron, das mit der Beschleunigungsspannung \(U_B\) auf eine Geschwindigkeit \(v\) beschleunigt wurde, in einem zur Bewegungsrichtung senkrecht orientierten Magnetfeld der Stärke \(B\) eine Kreisbahn mit dem Radius \(r\) durchfliegt, kann aus den Bahndaten das Verhältnis von Elektronenladung \(e\) und Elektronenmasse \(m_e\), also \(\frac{e}{m_e}\), das spezifische Elementarladung genannt wird, bestimmt werden. Die Gleichung zur Bestimmung der spezifischen Elementarladung lautet:

\[ \frac{e}{m_e} = \frac{2 \cdot U_B}{B^2 \cdot r^2}\]

Leiten Sie diese Gleichung begründet her.

(Abi 2011 eA NAII)

Die Elektronen gewinnen beim Durchfliegen eines elektrischen Felds mit der Beschleunigungsspannung \(U_B\) die elektrische Energie \(E_{el} = e \cdot U_B\). Diese elektrische Energie nehmen die Elektronen als Bewegungsenergie \(E_{kin} = \tfrac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2\) auf.

Es gilt damit:

\[ \begin{align} E_{el} &= E_{kin} \\ e \cdot U_B &= \tfrac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 \\ v^2 &= \frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m_e} \\ v &= \sqrt{ \frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m_e} }\\ \end{align}\]

Damit sich die Elektronen auf einer Kreisbahn bewegen, muss auf diese eine Zentripetalkraft \(F_{ZP}\) wirken, die stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen orientiert ist. Bewegen sich die Elektronen in einem Magnetfeld, das senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen ausgerichtet ist, wirkt auf die Elektronen die Lorentzkraft \(F_L\), welche nach der Drei-Finger-Regel die Funktion einer Zentripetalkraft übernimmt.

Es gilt für die Lorentzkraft \(F_L = e \cdot v \cdot B\) und für die Zentripetalkraft \(F_{ZP} = \frac{m_e \cdot v^2}{r}\). Da die Lorentzkraft die Rolle der Zentripetalkraft übernimmt, gilt:

\[ \begin{align} F_{ZP} &= F_L \\ \frac{m_e \cdot v^2}{r} &= e \cdot v \cdot B \\ \frac{m_e \cdot v}{r} &= e \cdot B \\ \frac{e}{m_e} &= \frac{v}{B \cdot r} \\ \frac{e}{m_e} &= \frac{\sqrt{ \frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m_e} }}{B \cdot r} \\ \frac{e^2}{m_e^2} &= \frac{\frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m_e}}{B^2 \cdot r^2} \\ \frac{e}{m_e^2} &= \frac{2 \cdot U_B}{m_e \cdot B^2 \cdot r^2} \\ \frac{e}{m_e} &= \frac{2 \cdot U_B}{B^2 \cdot r^2} \\ \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.

Elektronen der Ladung \(e\) werden mit der Beschleunigungsspannung \(U_B\) auf eine Geschwindigkeit \(v\) beschleunigt. Im Magnetfeld der Stärke \(B\), wird der Durchmesser \(d\) der Elektronenbahn gemessen. Leiten Sie folgende Gleichung für die Elektronenmasse \(m_e\) bei diesem Experiment her.

\[ m_e = \frac{e \cdot d^2 \cdot B^2}{8 \cdot U_B}\]

(Abi 2014 eA AI)

Wie in der letzten Herleitung gezeigt wurde, gilt für die spezifische Elementarladung \(\frac{e}{m_e}\):

\[ \frac{e}{m_e} = \frac{2 \cdot U_B}{B^2 \cdot r^2}\]

Die Formel wird jetzt nach \(m_e\) aufgelöst und für den Radius \(r\) wird der halbe Durchmesser \(\frac{d}{2}\) eingesetzt:

\[ \begin{align} \frac{e}{m_e} &= \frac{2 \cdot U_B}{B^2 \cdot r^2} \\ m_e &= \frac{e \cdot B^2 \cdot r^2}{2 \cdot U_B} \\ m_e &= \frac{e \cdot B^2 \cdot \left( \frac{d}{2} \right) ^2}{2 \cdot U_B} \\ m_e &= \frac{e \cdot B^2 \cdot d^2}{2 \cdot U_B \cdot 2^2} \\ m_e &= \frac{e \cdot d^2 \cdot B^2 }{8 \cdot U_B} \\ \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.

Elektronen der Ladung \(e\) und der Elektronenmasse \(m_e\) werden mit der Beschleunigungsspannung \(U_B\) auf eine Geschwindigkeit \(v\) beschleunigt. Im Magnetfeld der Stärke \(B\) bewegen sich die Elektronen auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\).

Es gilt:

\[ r = \sqrt{\frac{2 \cdot m_e}{e \cdot B^2}} \cdot \sqrt{U_B}\]

Leiten Sie diese Gleichung begründet her.

(Abi 2016 eA AI)

Wie in der vorletzten Herleitung gezeigt wurde, gilt für die spezifische Elementarladung \(\frac{e}{m_e}\):

\[ \frac{e}{m_e} = \frac{2 \cdot U_B}{B^2 \cdot r^2}\]

Löst man diese Gleichung nach \(r\) auf, folgt:

\[ \begin{align} r^2 &= \frac{2 \cdot U_B \cdot m_e}{e \cdot B^2} \\ r^2 &= \frac{2 \cdot m_e}{e \cdot B^2} \cdot U_B \\ r &= \sqrt{ \frac{2 \cdot m_e}{e \cdot B^2} \cdot U_B } \\ r &= \sqrt{ \frac{2 \cdot m_e}{e \cdot B^2} } \cdot \sqrt{ U_B } \\ \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.