H2.2 Wienfilter

Mit einem Wien-Filter kann man aus einem Strahl geladener Objekte diejenigen mit einer bestimmten Geschwindigkeit \(v\) herausfiltern.

Erklären Sie die Funktionsweise eines Wienfilters und leiten Sie begründet eine Formel her, die den Zusammenhang zwischen den Feldgrößen und der Geschwindigkeit angibt.

(Abi 2010 eA AII, 2014 eA AI)

Der Strahl mit den geladenen Objekten soll im folgenden ein Elektronenstrahl sein. Im gewählten Beispiel soll das Magnetfeld B in die Ebene zeigen und das elektrische Feld E aus Sicht der Kraftwirkung auf ein Elektron als negativer Probeladung von unten nach oben gerichtet sein.

Sobald der Elektronenstrahl den Bereich des geladenen Kondensators erreicht, erfährt ein Elektron eine elektrische Kraft \(F_{el}\) nach oben, da es vom Minuspol abgestoßen und vom Pluspol angezogen wird. Durch das gleichzeitig im Kondensator vorhandene Magnetfeld erfährt das Elektron nach der linken-Hand-Regel eine Lorentzkraft \(F_L\) nach unten (siehe Abbildung 2).

Alle Elektronen, welche mit der betragsgleichen Kraft nach oben und unten abgelenkt werden, können den Wienfilter geradlinig durchfliegen (grauer Strahl). Überwiegt die elektrische Kraft \(F_{el}\), werden die Elektronen nach oben abgelenkt (roter Strahl). Ist der Betrag der Lorentzkraft \(F_L\) größer, werden die Elektronen nach unten abgelenkt (grüner Strahl).

Im folgenden soll hergeleitet werden, welche Geschwindigkeit ein Elektron haben muss, um den Wien-Filter geradlinig zu durchfliegen. Für die elektrische Kraft \(F_{el}\), welche im Kondensator auf ein Elektron wirkt, gilt:

\[ F_{el} = q \cdot E\]

mit \(q\) = Ladung eines Elektrons, \(E\) = Elektrische Feldstärke

Für die Lorentzkraft \(F_L\), welche im Bereich des Magnetfelds auf ein Elektron wirkt, gilt:

\[ F_L = q \cdot v \cdot B\]

mit \(q\) = Ladung eines Elektrons, \(v\) = Geschwindigkeit eines Elektrons, \(B\) = magnetische Flussdichte

Für die Elektronen, welche den Wien-Filter geradlinig durchfliegen, gilt:

\[ F_L = F_{el}\]

Setzt man die Formeln ein, folgt:

\[ \begin{align} F_L &= F_{el} \\ q \cdot v \cdot B &= q \cdot E \\ v \cdot B &= E \\ v &= \frac{E}{B} \end{align}\]

Damit hat man gezeigt: Alle Elektronen mit der Geschwindigkeit \(v = \frac{E}{B}\) können den Wienfilter geradlinig durchfliegen. Da bei der Herleitung die Ladung \(q\) weggefallen ist, gilt diese Formel für alle geladenen Objekte, also auch z.B. Protonen und Ionen.

Begründen Sie, dass die Geschwindigkeit von α-Teilchen, die geradlinig durch ein elektrisches Feld der Stärke \(E\) und ein dazu senkrecht gerichtetes Magnetfeld der Stärke \(B\) fliegen, durch die Gleichung

\[ v = \frac{U_K}{B \cdot d}\]

berechnet werden kann.

Dabei gilt: \(v\) = Geschwindigkeit der α-Teilchen, \(U_K\) = Spannung zwischen den felderzeugenden Kondensatorplatten, \(d\) = Abstand der Kondensatorplatten

(Abi 2010 eA NAII)

Auf ein positiv geladenes α-Teilchen der Ladung \(q\) wirkt im Bereich des Plattenkondensators mit dem Plattenabstand \(d\), an dem die Spannung \(U_K\) anliegt die elektrische Kraft \(F_{el}\):

\[ F_{el} = q \cdot E = q \cdot \frac{U_K}{d}\]

Für die Lorentzkraft \(F_L\), welche im Bereich des Magnetfelds auf ein α-Teilchen wirkt, gilt:

\[ F_L = q \cdot v \cdot B\]

mit \(q\) = Ladung eines α-Teilchen, \(v\) = Geschwindigkeit eines α-Teilchen, \(B\) = magnetische Flussdichte

Für die α-Teilchen, welche den Wien-Filter geradlinig durchfliegen, gilt:

\[ F_L = F_{el}\]

Setzt man die Formeln ein, folgt:

\[ \begin{align} F_L &= F_{el} \\ q \cdot v \cdot B &= q \cdot E \\ v \cdot B &= \frac{U_K}{d} \\ v &= \frac{U_K}{B \cdot d} \end{align}\]

Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.