4.5 Plancksches Wirkungsquantum

Im letzten Kapitel haben Sie gelernt, dass Licht aus Photonen besteht. Beim Photoeffekt und beim Doppelspaltversuch mit einzelnen Photonen haben Sie gelernt, dass Photonen bei der Wechselwirkung mit Materie immer eine bestimmte Energiemenge auf die Materie übertragen und dann aufhören zu existieren. In den allermeisten Fällen überträgt ein Photon seine Energie auf ein Elektron. Diesen Fall wollen wir im folgenden ausschließlich betrachten.

• Den Vorgang, dass ein Photon seine Energie auf ein Elektron überträgt, nennen wir: ein Elektron absorbiert ein Photon.

• Den Vorgang, dass ein Elektron Energie an die Umgebung als ein Photon abgibt, nennen wir: ein Elektron emittiert ein Photon.

Allgemein nennen wir diese beiden Vorgänge: ein Elektron und ein Photon wechselwirken.

Elektronen und Photonen sind Quantenobjekte. Ja nachdem welches Experiment man durchführt, muss man ein geeignetes Modell zur Beschreibung des Experiments auswählen. Ein einziges Modell, mit welchem man viele verschiedene Experimente mit Quantenobjekten modellieren kann, werden Sie erst später kennenlernen.

Wechselwirkung zwischen Elektron und Photon

Wenn uns in Experimenten die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Photonen interessiert, wählen wir für die Modellierung der Wechselwirkung das Teilchenmodell.

Wenn wir hier von einem Teilchenmodell sprechen, stellen Sie sich bitte auf keinen Fall Teilchen wie z.B. eine Art Erbse vor. Eine Erbse hat einen bestimmten Durchmesser und wenn Sie eine Erbse aufschneiden, finden Sie die grüne Erbsenmasse im Inneren der Erbse. Einem Elektron konnte bislang in keiner Messung ein Durchmesser zugeordnet werden. Als ein punktförmiges Objekt ohne Durchmesser können Sie ein Elektron auch nicht aufschneiden und hineinschauen. Es gibt nichts, was im Elektron drin wäre. Am besten stellen Sie sich das Elektron überhaupt nicht anschaulich vor. Trotzdem werden wir in Abbildungen und in den folgenden Simulationen das Elektron mit einem Kreis abbilden, in dem ein "Minussymbol" abgebildet ist. Diese Darstellung ist ein Symbol für ein Elektron, aber kein Bild eines Elektrons.

Wenn ein Elektron ein Photon absorbiert, wird die Energie des Elektrons größer. Versuche in der Elektronenstrahlröhre haben gezeigt, dass einem Elektron eine Masse \(m_e\) und eine Geschwindkeit \(v_e\) zugeordnet werden kann. Wenn die Energie eines Elektrons zunimmt, dann wird seine kinetische Energie \(E_\text{kin} = \tfrac{1}{2} \, m \cdot v^2\) größer.

Wenn ein Elektron ein Photon emittiert, verliert das Elektron kinetische Energie und wird langsamer. Das vom Elektron emittierte Photon bewegt sich im Vakuum mit der immer gleichen Lichtgeschwindigkeit \(c\). Da ein Photon nach der Absorption durch ein Elektron verschwunden ist, macht es keinen Sinn einem Photon eine Ruhemasse zuzuordnen. Wenn ein Photon sich mit der immer gleichen Geschwindigkeit bewegt und keine Ruhemasse hat, macht es keinen Sinn einem Photon eine kinetische Energie zuzuordnen. Nach Max Planck wird die Energie eines Photons mit der Formel \(E = h \cdot f\) angegeben. Im Wellenmodell haben wir mit der Frequenz \(f\) angegeben, wie oft pro Sekunde das elektrische und magnetische Feld der elektromagnetischen Welle hin und her pulsiert. Im Teilchenmodell stellen wir uns das Photon als ein Energiequant vor - es ist völlig unklar, was die Frequenz \(f\) bei einem Energiequant beschreiben soll. Eine geeignete Modellierung der Frequenz folgt später, ich bitte um etwas Geduld.

Wechselwirkung im Teilchenmodell:

• wenn ein Elektron ein Photon absorbiert, gewinnt das Elektron kinetische Energie und das Photon hört auf zu existieren.
• wenn ein Elektron ein Photon emittiert, verliert das Elektron kinetische Energie und dem Photon wird diese Energie als \(E = h \cdot f\) zugeordnet.

In diesem Kapitel werden Sie drei Experimente kennenlernen, mit denen die Konstante \(h\) bestimmt werden kann. Zu Ehren des Physikers Max Planck, der diese Konstante erstmals in seinen Formeln verwendet hatte, wird \(h\) das Plancksche Wirkungsquantum genannt.

Die "Wirkung" ist eine physikalische Größe der Dimension Energie mal Zeit. Daher hat das Plancksche Wirkungsquantum die Einheit \(\text{Js}\). In der theoretischen Physik ist die Wirkung ein Funktional. Angenommen wir haben ein Elektron, das sich vom Punkt A zum Punkt B bewegt. Das Elektron wird den Weg nehmen, für welchen die Wirkung minimal wird. Die Wirkung ist ein Zahlenwert, der mit Hilfe eines Linienintegrals über den Weg von A nach B berechnet wird. Dieses Linienintegral nennt man ein Funktional, denn es ordnet einer vektoriellen Größe (Pfad von A nach B) eine skalare Größe (eine Zahl) zu. Dass das Elektron aus der Auswahl der unendlich vielen möglichen Wege von A nach B den Weg nimmt, bei welchem die berechnete Wirkung minimal ist, nennt man das Hamiltonsche Prinzip oder das Prinzip der kleinsten Wirkung.

Sie dürfen den Begriff Wirkung, wie er beim Planckschen Wirkungsquantum verwendet wird, also nicht verwechseln mit der Wirkung, die Sie in Klasse 11 beim 3. Newtonschen Gesetz als Ursache und Wirkung (actio und reactio) kennengelernt haben.

Das "Quantum" im Begriff "Wirkungsquantum" beschreibt, dass Licht nur in Energieportionen mit Elektronen wechselwirkt. Ein Photon gibt seine Energie ganz oder gar nicht an ein Elektron ab.

Nach Albert Einstein überträgt ein Photon bei Licht der Frequenz \(f = \frac{c}{\lambda}\) an ein Elektron die Energiemenge \(E = h \cdot f\) und verschwindet dann. Das Elektron wird von den Anziehungskräften der Protonen in der Metallplatte gehalten. Wenn die vom Photon übertragene Energiemenge hinreichend groß ist, kann ein Elektron die Metallplatte verlassen. Da das Elektron, während es die Metallplatte verlässt, ständig mit den Protonen und Elektronen in der Metallplatte wechselwirkt (es wirken elektromagnetische Kräfte), verliert das Elektron eine bestimmte Energiemenge \(W_\text{A}\), die wir Auslösearbeit nennen. Bei jeder Metallsorte hat die Auslösearbeit, die nötig ist um ein Elektron aus der Metallplatte auszulösen, einen anderen Wert.

Wenn ein Photon einem Elektron Energie übertragen hat und das Elektron die Metallplatte verlässt, ist die kinetische Energie \(E_\text{kin}\) des freien Elektrons kleiner als die Energiemenge, welche das Photon an das Elektron übertragen hat:

\[ E_\text{Photon} = E_\text{kin} + W_\text{Auslösearbeit}\]

Die von der Metallplatte ausgelösten Elektronen sind verschieden schnell, auch wenn nur gleiche Lichtquanten mit gleicher übertragener Energiemenge verwendet werden (z.B. bei Laserlicht). Das liegt daran, dass die Elektronen beim Verlassen unterschiedlich viel Energie verlieren. Die bei der Gegenfeldmethode gemessene kinetische Energie ist die Energie der schnellsten Elektronen. Das sind die unmittelbar an der Oberfläche herausgelösten Elektronen.

Die Gegenfeldmethode funktioniert wie folgt: in einem luftleeren Vakuumbehälter befindet sich eine Metallplatte und gegenüberliegend eine leitende Lochanode. Durch die Öffnung der Lochanode kann Licht auf die Metallplatte gestrahlt werden. Damit alle Wellenlängen die Metallplatte erreichen, muss der Vakuumbehälter aus einem durchsichtigen Material sein, das für ultraviolettes Licht durchlässig ist. Wenn hinreichend energiereiche Lichtquanten im Licht enthalten sind, können Elektronen ausgelöst werden. Da die Metallplatte an eine Spannungsquelle angeschlossen ist, welche geerdet ist, können Elektronen auf die Metallplatte nachfließen, um den Ladungsverlust auszugleichen, so dass die emittierten Elektronen nicht wieder auf die Metallplatte zurückfallen.

Wenn freie Elektronen die Lochanode erreichen, werden sie von dieser aufgenommen und fließen durch den Stromkreis. Bei einer hinreichend großen Intensität des eingestrahlten Lichts kann auf einem in Reihe geschalteten Amperemeter eine Stromstärke gemessen werden. Bei der Gegenfeldmethode wird zwischen die Lochanode und die Metallplatte eine Gegenspannung angelegt, welche die frei durch die Luft fliegenden Elektronen abbremst. Wenn die Gegenspannung gerade so hoch ist, dass keine Elektronen mehr die Lochanode erreichen, weiß man, dass die kinetische Energie der schnellsten Elektronen \(E = e \cdot U\) sein muss (wenn Ihnen das nicht mehr klar ist, dann schauen Sie nochmals beim Thema elektrisches Feld und dort bei den Elektronenstrahlröhren nach).

Kennt man die Auslösearbeit der Metallsorte, aus welcher die verwendete Metallplatte besteht, dann kann man daraus die Energie der von den Elektronen absorbierten Lichtquanten berechnen:

\[ E_\text{Photon} = E_\text{kin} + W_\text{Auslösearbeit}\]

In der folgenden Simulation werden nur die schnellsten Elektronen dargestellt. Die Metallplatte ist an eine Spannungsquelle angeschlossen. Die leicht positive Ladung der Platte, die durch das Herauslösen von Photoelektronen entsteht, wird durch nachfließende Elektronen aus dem Stromkreis der Spannungsquelle ausgeglichen. Die Photoelektronen können sich also von der Metallplatte entfernen.

Sobald die Gegenspannung \(U\) gefunden wurde, bei der die Stromstärke \(I\) am Amperemeter gerade Null ist, können Sie mit Hilfe der Formel \(E_\text{kin} = e \cdot U\) die kinetische Energie der schnellsten Elektronen berechnen. \(e\) ist dabei die Elementarladung der Elektronen.

In der Formel

\[ E_\text{Photon} = E_\text{kin} + W_\text{Auslösearbeit}\]

ersetzen wir die Energie eines Photons mit \(E = h \cdot f\) und lösen die Gleichung nach der kinetischen Energie \(E_\text{kin}\) auf:

\[ \begin{align} E_\text{kin} &= E_\text{Photon} - W_\text{Auslösearbeit} \\ E_\text{kin} &= h \cdot f - W_\text{Auslösearbeit} \\ \end{align} \]

Das Wirkungsquantum \(h\) ist die Steigung des Graphen, wenn man die kinetische Energie \(E_\text{kin} = e \cdot U\) der herausgelösten Elektronen über der Frequenz \(f\) des eingestrahlten Lichts aufträgt.

In einem neuen Fenster starten: Kondensatormethode

Die Simulation der Gegenfeldmethode wird so erweitert, dass die Gegenspannung gemessen wird, bei welcher die Elektronen gerade nicht die Metallplatte erreiche. Die daraus berechnete kinetische Energie wird über der Frequenz der Photonen in ein Schaubild eingetragen. Die Messung wird für verschiedene Frequenzen wiederholt. Für die ermittelten Messpunkte wird mit Hilfe der linearen Regression eine lineare Funktion ermittelt. Die Steigung \(m\) in der linearen Funktion entspricht dem planckschen Wikrungsquantum \(h\).

Die lineare Funktion, welche aus den Messpunkten ermittelt wurde, hat die Form:

\[ E_\text{kin}(f) = h \cdot f - W_A\]

\(h\) ist die Steigung der linearen Funktion. Wenn Sie das simulierte Experiment korrekt durchgeführt haben, sollten Sie für die Steigung der Geraden einen Wert ermittelt haben, der etwa \(6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js}\) groß ist. Das ist der Wert des Planckschen Wirkungsquantums \(h\).

Wenn Sie in der Simulation mehrere Messreihen durchgeführt haben und sich durch einen Klick auf Messreihen anzeigen die zu den Messreihen gehörenden Geraden anzeigen lassen, sehen Sie, dass diese Geraden alle parallel sind. Bringt man \(W_A\) auf die linke Seite, dann steht links die Gesamtenergie \(E_\text{ges}\), welche ein Elektron von einem Photon der Frequenz \(f\) erhalten hat. Damit gilt:

\[ \begin{align} E_{ges} &= E_{Photon} \\ E_\text{kin}(f) + W_A &= h \cdot f \end{align}\]

Im Jahr 1895 hat Wilhelm Conrad Röntgen eine neue Art von Licht entdeckt, die er selbst X-Strahlen nannte. Ihm zu Ehren wird diese Strahlung heutzutage in Deutschland Röntgenstrahlung genannt. Röntgenstrahlung ist Licht mit extrem kurzer Wellenlänge (\(\lambda \approx \, 10^{-10} \, \text{m}\)), das manches Gewebe leicht durchdringen kann und von bestimmtem Gewebe, z.B. Knochen teilweise absorbiert wird. Röntgenlicht wird eingesetzt, um z.B. Aufnahmen des menschlichen Skeletts für medizinische Untersuchungen durchzuführen.

In einer Röntgenröhre werden Elektronen aus einer Glühkathode aufgrund des glühelektrischen Effekts emittiert. Mit Hilfe einer Beschleunigungsspannung \(U_B\) von mehreren tausend Volt werden die Elektronen der Ladung \(e\) auf die kinetische Energie \(E_\text{kin} = e \cdot U_B\) beschleunigt und treffen dann auf eine Metallanode. Die hochenergetischen Elektronen wechselwirken mit den Atomen der Metallanode und verlieren dadurch kinetische Energie. Der größte Teil dieser Energie wird in Wärmeenergie umgewandelt, so dass die Anode stark aufgeheizt wird. Ein kleiner Teil der kinetischen Energie der ankommenden Elektronen wird von der Anode als Röntgenlicht abgestrahlt und kann die Röntgenröhre durch ein für Röntgenlicht durchlässiges Glas verlassen.

Die Erzeugung von Röntgenlicht soll jetzt mit dem Vokabular der Quantenphysik beschrieben werden. Den Vorgang, der zur Aussendung von Röntgenlicht führt, kann man sich ähnlich zu den Vorgängen wie beim Photoeffekt vorstellen, nur dass die Akteure ihre Rollen tauschen. Beim Photoeffekt wurden Photonen auf eine Metallplatte geschickt und man hat beobachtet, dass Elektronen die Metallplatte verlassen. Bei der Röntgenröhre schickt man schnelle Elektronen auf eine Metallplatte und man beobachtet, dass Photonen emittiert werden.

In der Metallanode wechselwirkt ein Elektron mit Atomen der Metallanode und wird dadurch abgebremst. Sobald ein Elektron seinen Bewegungszustand ändert, emittiert es ein Photon der Energie \(E = h \cdot f = h \cdot \frac{c}{\lambda}\). Da in der Metallanode vielfältigste Bremsvorgänge stattfinden können, werden von den abgebremsten Elektronen Photonen mit den unterschiedlichsten Energien emittiert. Ein Elektron kann also mehrfach hintereinander mit Anodenatomen wechselwirken und dabei jedesmal einen Teil seiner Energie verlieren, indem es ein Photon emittiert. Es entsteht dabei ein kontinuierliches Bremsspektrum. Der größte Teil der von den abgebremsten Elektronen emittierten Photonen wird von den Atomen in der Metallanode sofort wieder absorbiert, wodurch die Atome schneller um ihre Ruhelage schwingen. Die Temperatur der Anode steigt stark an. Ein kleiner Teil der energiereichen Photonen verlässt die Metallanode und kann ausserhalb der Röntgenröhre als Röntgenstrahlung detektiert werden.

Mit Hilfe der Bragg-Interferenz kann die Wellenlänge des emittierten Röntgenlichts bestimmt werden. Zur Modellierung der Bragg-Interferenz wechseln wir zum Wellenmodell, denn das Wellenmodell ist geeignet, um Interferenzphänomene zu modellieren. Das ausgesandte Röntgenlicht trifft in der Vakuumröhre auf einen drehbaren Monokristall und wird von den Atomen reflektiert. Jedes Kristallatom denken wir uns nach dem huygenschen Prinzip als Ausgangspunkt einer Elementarwelle, die miteinander interferieren. Ausserhalb der Röntgenröhre kann man die Maxima der interferierenden Elementarwellenzüge mit einem geeigneten Detektor detektieren. Aus dem Glanzwinkel, bei welchem man ein Maximum beobachtet, kann die Wellenlänge des Röntgenlichts bestimmt werden, das an genau dieser Stelle ein Maximum hat.

In der folgenden Simulation können Sie das Verfahren der Drehkristallmethode zur Bestimmung der Wellenlänge von Röntgenlicht nachvollziehen.

Die Wellenlängen des emittierten Röntgenlichts wurde mit Hilfe der Bragg-Interferenz bestimmt. Dafür haben wir Licht mit dem Wellenmodell modelliert. Zur Bestimmung des planckschen Wirkungsquantums interessiert uns die Wechselwirkung zwischen einem Elektron und einem Röntgenphoton. Die Wechselwirkung modellieren wir mit einem Teilchenmodell und fassen dabei das Röntgenlicht als einen Strom von Lichtquanten auf, von denen jedes einzelne die Energie \(E = h \cdot f\) überträgt.

Im extremsten Fall kann man sich vorstellen, dass ein Elektron mit der kinetischen Energie \(E_\text{kin} = e \cdot U_B\) eine Vollbremsung durchführt. Bei einer Vollbremsung würde die gesamte Energie des Elektrons als ein Photon emittiert werden. Die Energie des Photons wäre dann \(E_\text{Photon} = h \cdot f_\text{Gr} = h \cdot \frac{c}{\lambda_\text{Gr}} = e \cdot U_B\). Im Spektrum der Röntgenstrahlung müsste man eine kleinste Wellenlänge \(\lambda_\text{Gr}\) beobachten, die nur von der Beschleunigungsspannung \(U_B\) abhängt. Diese kleinste Wellenlänge wird "Grenzwellenlänge" genannt.

Wenn man die Intensität über der Frequenz aufträgt würde man ein größte Frequenz \(f_\text{Gr}\) beobachten. Es gilt:

• je größer die Beschleunigungsspannung \(U_B\), desto kleiner ist die Grenzwellenlänge \(\lambda_\text{Gr}\),
• je kleiner die Beschleunigungsspannung \(U_B\), desto größer ist die Grenzwellenlänge \(\lambda_\text{Gr}\).

Und tatsächlich beobachtet man bei Experimenten mit Röntgenröhren eine kleinste auftretende Wellenlänge der Röntgenstrahlung und damit Photonen mit einer maximalen Energie, die nur von der Beschleunigungsspannung \(U_B\) abhängt, mit welcher die Elektronen beschleunigt wurden. Der Wert der Planckschen Konstante \(h\), die bei solchen Experimenten bestimmt werden kann, stimmt mit dem beim Photoeffekt bestimmten Wert überein:

Aus

\[ E_\text{Photon} = h \cdot f_\text{Gr} = h \cdot \frac{c}{\lambda_\text{Gr}} = e \cdot U_B\]

folgt

\[ \begin{align} h \cdot \frac{c}{\lambda_\text{Gr}} &= e \cdot U_B \\ h &= \frac{e \cdot U_B \cdot \lambda_\text{Gr}}{c} = \frac{e \cdot U_B}{f_\text{Gr}} = 6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js} \end{align}\]

Die Beobachtung einer unteren Grenze der Wellenlänge \(\lambda_\text{Gr}\) von Röntgenstrahlung, die direkt abhängig von der Beschleunigungsspannung \(U_B\) der auf die Anode auftreffenden Elektronen ist, ist ein weiterer experimenteller Hinweis, dass Licht nur in bestimmten Energiequanten mit Elektronen wechselwirkt.

Im Röntgenspektrum kann man neben dem kontinuierlichen Bremsspektrum Peaks beobachten, die zu bestimmten Wellenlängen gehören. Die Ursachen für diese Peaks werden im Kapitel Atomphysik besprochen.

Eine LED emittiert Photonen, weil Elektronen mit Bindungsstellen im Halbleiterkristall rekombinieren, dabei ein niedrigeres Energieniveau einnehmen und die Energiedifferenz als Photon mit \(E_\text{Photon} = h \cdot f\) aussenden. Die Farbe des von der LED ausgesandten Lichts ist also davon abhängig, wie groß die Energiedifferenz zwischen einem gebundenen und einem freien Elektron im Halbleiter ist. Diese Energiedifferenz ist vom Halbleitermaterial abhängig.

Wenn eine LED in Durchlassrichtung gepolt ist und man eine Spannung \(U\) anlegt, kann man beobachten, dass die LED ab einer Schwellspannung \(U_S\) zu leuchten beginnt. Ab der Schwellspannung \(U_S\) wird die Raumladungszone beim pn-Übergang geschlossen und Elektronen können mit Bindungsstellen rekombinieren. Bei einer angelegten Spannung \(U_S\) hat ein freies Elektron die Energie:

\[ E_{\text{el}} = e \cdot U_S\]

Diese Energie emittiert es als Photon, wenn es eine Bindung mit einem Gitteratom eingeht. Wenn man die Wellenlänge \(\lambda\) und damit die Frequenz \(f = \frac{c}{\lambda}\) des Lichts der LED mit Hilfe z.B. der objektiven oder subjektiven Methode mit einem Gitter bestimmt und die Schwellspannung \(U_S\) misst, ab der Licht emittiert wird, kann aus den gemessenen Daten die plancksche Konstante \(h\) berechnet werden:

\[ \begin{align} E_{\text{el}} &= E_{\text{Photon}} \\ e \cdot U_S &= h \cdot f \\ h &= \frac{e \cdot U_S}{f} \end{align} \]

Im Praktikum können Sie mit diesem Experiment in guter Näherung den Literaturwert für das Plancksche Wirkungsquantum \(h\) bestätigen.