M.1 Was ist ein Messwert?
Bei der Durchführung von Experimenten sammelt man Messwerte. Auf der Grundlage dieser Messwerte versucht man Vorhersagen für zukünftige Experimente ableiten zu können. Diese Vorhersagen sind dann leicht möglich, wenn man die Messwerte mit Hilfe einer mathematischen Formel angenähert darstellen kann. Die Suche nach einer geeigneten Funktion nennt man Regression.
Im Abitur gibt es immer wieder Aufgaben, bei denen Sie zu einer Messtabelle eine Funktion finden sollen, durch welche die Messwerte angenähert berechnet werden können.
Beispiel:
Ein Auto fährt auf einer geraden, ebenen Strecke. Mit Hilfe einer Zeitmesseinrichtung (z.B. Stoppuhr) und einer Längenmesseinrichtung (z.B. Laserentfernungsmesser) wird zu bestimmten Zeitpunkten seine Position gemessen. Dabei notiert man folgende Messwerte:
| Messtabelle | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Zeit \(t\) in s | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Ort \(s\) in m | 11 | 23 | 32 | 42 | 55 | 67 | 76 | 89 |
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Stellen Sie diese Messwerte grafisch dar.
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Ermitteln Sie aus den Messwerten der Tabelle den zwischen \(s\) und \(t\) bestehenden funktionalen Zusammenhang \(s(t)\).
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Dokumentieren Sie Ihre Vorgehensweise.
Grafische Darstellung der Messwerte
Funktionaler Zusammenhang
Die grafische Darstellung der Messwerte lässt einen linearen Zusammenhang vermuten, also wird als Regressionsmethode die lineare Regression gewählt.
Um die lineare Regression durchzuführen, werden die Werte für die Zeit \(t\) als unabhängige Werte und die Werte für die Strecke \(s\) als von der Zeit \(t\) abhängige Werte gewählt. Die lineare Regression z.B. mit dem GTR liefert:
\[ y = 11,06 \cdot x - 0,39\]
Physikalisierung des funktionalen Zusammenhangs
Als y-Achsenabschnitt liefert die lineare Regression \(-0,39\). Das macht physikalisch keinen Sinn, da zum Zeitpunkt \(t = 0 \: \text{s}\) die Messung des Wegs bei \(s = 0 \: \text{m}\) beginnt. Das Wertepaar \(t = 0 \: \text{s}\) und \(s(0) = 0 \: \text{m}\) wird also in die Messtabelle aufgenommen und die Regression damit nochmals durchgeführt.
| Messtabelle | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Zeit \(t\) in s | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Ort \(s\) in m | 0 | 11 | 23 | 32 | 42 | 55 | 67 | 76 | 89 |
Mit diesen Werten liefert die lineare Regression folgenden Funktionsterm:
\[ y = 10,93 \cdot x\]
Für \(y\) setzt man jetzt die Strecke \(s\) in Abhängigkeit von \(t\) und für \(x\) setzt man die Zeit \(t\). Damit lässt sich der Funktionsterm wie folgt schreiben:
\[ s(t) = 10,93 \cdot t\]
Auf der linken Seite hat der Weg \(s(t)\) die physikalische Einheit \(\text{m}\) (Meter). Rechts wird für \(t\) als Einheit \(\text{s}\) (Sekunden) eingesetzt. Das passt noch nicht. Als bekommt die Steigung die Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\), so dass sich Sekunden kürzen und Meter als Einheit bleibt. Diese Wahl macht Sinn, denn die Steigung im Zeit-Weg-Diagramm entspricht der Geschwindigkeit \(v\), welche die Einheit \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\) hat.
Also beschreibt folgende Gleichung den Zusammenhang zwischen der Zeit \(t\) und der zurückgelegten Strecke \(s\) bei den vorliegenden Messwerten in guter Näherung:
\[ s(t) = 10,93 \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t\]
Nicht immer lassen sich Messwerte durch eine solch einfache Formel mathematisch beschreiben. Oft sehen die Formeln deutlich komplizierter aus. In diesem Kapitel wird gezeigt, wie Messwerte richtig dargestellt werden, wie man die richtige Regressionsmethode wählt, die Physikalisierung der mathematischen Formel gelingt und wie man mit Messunsicherheiten umgeht.