Die Geschwindigkeit \(v\) der Elektronen ist keine Messgröße. Die Formel soll so weiter entwickelt werden, dass nur Messgrößen enthalten sind.
Es sei \(N\) die Anzahl der in der Hallsonde vorhandenen Elektronen. Für die Durchquerung der Hallsonde benötigt ein Elektron die Zeit \(t\). Während dieser unbekannten Zeit werden alle Elektronen in der Hallsonde einmal ausgetauscht, so dass sich während der Zeit \(t\) genau \(N\) Elektronen durch die Hallsonde bewegen. Für den Strom \(I_{H}\) gilt dann:
\[
\begin{align}
I_{H} &= \frac{N \cdot e}{t} \\
t &= \frac{N \cdot e}{I_{H}}
\end{align}\]
Für die Geschwindigkeit \(v\) gilt mit \(s\) als Länge der Hallsonde:
\[
v = \frac{\text{Weg}}{\text{Zeit}} = \frac{s}{t} = \frac{s}{\frac{N \cdot e}{I_H}} = \frac{s \cdot I_H}{N \cdot e}\]
Setzt man diesen Ausdruck für die Geschwindigkeit \(v\) in die Formel für die Hallspannung \(U_H\) ein, so folgt:
\[
U_H = b \cdot \frac{s \cdot I_{H}}{N \cdot e} \cdot B\]
Mit einem mathematischen Trick kann die Ladungsträgerdichte \(n = \frac{N}{V}\) in die Formel gebracht werden. Das Volumen der Hallsonde ist \(V = b \cdot s \cdot d\). Man erweitert den Bruch mit \(\frac{d}{d}\) und ersetzt den Quotienten \(\frac{N}{V}\) dann mit \(n\).
\[
\require{action}
\def\click{\rlap{\enclose{box}{\small\text{Zeige nächsten Schritt}}}\hphantom{\longest}}
\def\={\phantom{ {} = {} }}
\def\longest{\frac{b \cdot s \cdot d}{N \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}}
\toggle
{\begin{aligned}[t]
U_H &= b \cdot \frac{s \cdot I_{H}}{N \cdot e} \cdot B\\
&\=\click
\end{aligned}}
{\begin{aligned}[t]
U_H &= b \cdot \frac{s \cdot I_{H}}{N \cdot e} \cdot B\\
&= \frac{b \cdot s \cdot d}{N \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\
&\=\click
\end{aligned}}
{\begin{aligned}[t]
U_H &= b \cdot \frac{s \cdot I_{H}}{N \cdot e} \cdot B\\
&= \frac{b \cdot s \cdot d}{N \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\
&= \frac{V}{N \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\
&\=\click
\end{aligned}}
{\begin{aligned}[t]
U_H &= b \cdot \frac{s \cdot I_{H}}{N \cdot e} \cdot B\\
&= \frac{b \cdot s \cdot d}{N \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\
&= \frac{V}{N \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\
&= \frac{1}{n \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\
&\=\click
\end{aligned}}
{\begin{aligned}[t]
U_H &= b \cdot \frac{s \cdot I_{H}}{N \cdot e} \cdot B\\
&= \frac{b \cdot s \cdot d}{N \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\
&= \frac{V}{N \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\
&= \frac{1}{n \cdot e} \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\\
&= R_H \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}
\end{aligned}}
\endtoggle\]
und damit:
\[
U_H = R_H \cdot \frac{I_{H} \cdot B}{d}\]
woraus folgt:
\[
B = \frac{U_H \cdot d}{R_H \cdot I_H}\]
mit \(R_\text{H} = \frac{1}{n \cdot e}\) = Hallkonstante des Materials, \(n = \frac{N}{V}\) = Ladungsträgerdichte, \(e\) = Ladung eines Elektrons, \(I_H\) = Stromstärke in der Hallsonde, \(d\) = Tiefe der Hallsonde.
Wenn die Hallkonstante \(R_\text{H}\) einer Hallsonde und deren Tiefe \(d\) bekannt sind, kann man aus der Stromstärke \(I_\text{H}\) des elektrischen Stroms, der durch die Hallsonde fließt und der Spannung \(U_\text{H}\) die von oben nach unten an der Hallsonde gemessen werden kann, die magnetische Flussdichte \(B\) berechnen.