3.12 Vom Doppelspalt zum Gitter

Bezug zum Kerncurriculum:
Ich kann die Veränderung des Interferenzmusters beim Übergang vom Doppelspalt zum Gitter erläutern.

Sichtbares Licht hat extrem kurze Wellenlängen. Beobachtungen mit einem Doppelspalt sind schwierig und lassen genaue Messungen nur schwer zu. Im folgenden soll untersucht werden, wie sich das Interferenzfeld ändert, wenn man nicht nur zwei Wellensender, sondern eine Vielzahl von Wellensendern jeweils einen Wellenzug aussenden lässt, die auf einem Schirm interferieren.

Dazu kann man in einem Experiment anstelle eines Doppelspalts ein Hindernis mit mehreren Spaltöffnungen in den Weg des Lichts stellen. Wenn man darüber nachdenken möchte, wie das Interferenzbild bei vielen Sendern aussieht, kommt man in seiner Vorstellung schnell an Grenzen. Computer können hier helfen.

In der folgenden Simulation wird die Interferenz von mehr als zwei Wellenzügen modelliert.

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Wenn man bei \(N\) Sendern, die in einem geeigneten Abstand zueinander angeordnet sind, das Interferenzfeld in einem geeigneten Abstand beobachtet, stellt man fest, dass zwischen zwei Hauptmaxima \(N - 2\) Nebenmaxima liegen. Die Hauptmaxima sind weit voneinander entfernt und haben eine deutlich größere Amplitude als die Nebenmaxima. Dieser Effekt nimmt immer mehr zu, je mehr Sender man verwendet.

Quadriert man die Amplituden, um die Intensität auf dem Schirm zu bestimmen, verstärkt sich dieser Effekt weiter. Bei den Hauptmaxima beobachtet man auf dem Schirm daher eine wesentlich größere Helligkeit als bei den Nebenmaxima.

Ein Hindernis mit sehr vielen, regelmäßig angeordneten, extrem schmalen Öffnungen nennt man ein optisches Gitter. Wenn man Interferenzmuster mit sichtbarem Licht ausmessen möchte, eignet sich ein Gitter wesentlich besser zur Erzeugung eines geeigneten Interferenzmusters, als ein Doppelspalt. Das wird anhand der folgenden Bilder deutlich.

Interferenzbild eines Doppelspalts. Die Position eines Maximums ist nur schwer zu bestimmen, da die Intensität in der Umgebung des Maximums kaum geringer wird:

Bei einem Fünfachspalt werden die Nebenmaxima immer dunkler, die Hauptmaxima bleiben hell, sind aber immer noch breit:

Bei 100 regelmäßigen extrem schmalen Öffnungen sieht man nur noch die Hauptmaxima, die im Vergleich zu den Maxima beim Doppelsplat deutlich schmaler geworden sind:

Die Abstände der Maxima bei einem Interferenzbild, das mit einem Gitter erzeugt wurde, lassen sich sehr genau messen, da die Maxima schmal sind. Bei optischen Versuchen werden daher bevorzugt optische Gitter eingesetzt.

In der folgenden Simulation können Sie nachvollziehen, wie sich das Interferenzbild auf dem Schirm ändert, wenn man ausgehend von einem Doppelspalt, dem Licht eine Anordnung mit immer mehr, immer kleineren Öffnungen (optisches Gitter) in den Weg stellt.

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Mit einem optischen Gitter (regelmäßige Anordnung von sehr kleinen Öffnungen in einem Hindernis) durch welches Licht auf einen Schirm geschickt wird, kann man wenige Maxima mit großer Intensität in einem großen Abstand beobachten. Dadurch kann man Wellenlängenmessungen mit optischem Licht sehr viel genauer durchführen, als bei den breiten, eng nebeneinanderliegenden Maxima bei einem Doppelspalt.

Beim Übergang vom Doppelspalt zu einem Gitter mit sehr vielen Öffnungen verändert sich das Interferenzbild deutlich. Insbesondere verschwinden die Nebenmaxima. Ausgehend vom Doppelspalt wird im folgenden der Grund für das Verschwinden der Nebenmaxima gesucht. Die Überlegungen starten wir beim Doppelspalt:

Von den beiden Öffnungen des Doppelspalts gehen nach dem Huygenschen Prinzip Elementarwellen aus, die auf dem Schirm interferieren. Wir betrachten jetzt vereinfachend für jeden Spalt genau einen Wellenzug, der vom Spalt ausgesendet wird. Beim Doppelspalt betrachten wir also zwei interferierende Elementarwellenzüge.

Genau in der Mitte zwischen den beiden Spaltöffnungen liegt das 0. Maximum des Interferenzbilds, denn der Wegunterschied \(\Delta s\) der beiden Wellenzüge ist gleich Null (\(\Delta s = 0\)). Die beiden Wellenzüge interferieren konstruktiv:

Direkt neben dem 0. Maximum liegt das 1. Maximum des Interferenzbilds. Der Wegunterschied \(\Delta s\) zwischen den beiden Elementarwellenzügen beträgt genau eine Wellenlänge \(\lambda\), da die beiden Wellezüge konstruktiv interferieren. Der Schirm ist senkrecht zur optischen Achse ausgerichtet, weswegen es zwei 1. Maxima gibt, die links und rechts im gleichen Abstand zum 0. Maximum beobachtet werden können. Das gilt auch für das 2., 3., 4. Maximum,..: das Interferenzbild ist symmetrisch zum 0. Maximum.

Zwischen dem 0. und 1. Maximum gibt es einen Ort auf dem Schirm, an dem der Wegunterschied \(\Delta s\) der Elementarwellenzüge eine halbe Wellenlänge \(\lambda\) beträgt (\(\Delta s = \frac{\lambda}{2}\)). An diesem Ort auf dem Schirm beobachtet man eine destruktive Interferenz (Auslöschung) und damit eine dunkle Stelle: das 1. Minimum.

Statt des Wegunterschieds \(\Delta s\) zwischen den Elementarwellenzügen kann man auch die rotierenden Zeiger betrachten, die jeweils einer Elementarwelle zugeordnet sind und die Schwingung eines virtuellen Oszillators am Interferenzort modellieren. Die Überlagerung der beiden virtuellen Oszillatoren liefert dann die Oszillation des realen Oszillators am Interferenzort.

Um die Interferenz am Interferenzort zu bestimmen, lassen wir für jeden Wellenzug einen Zeiger in der Frequenz \(f\) der Welle rotieren, sobald der Wellenzug ausgesendet wurde. Der Wellenzug bewegt sich mit der Lichtgeschwindigkeit \(c\). Sobald der Wellenzug den Interferenzort erreicht hat, wird die Rotation des zugeordneten Zeigers gestoppt. Die Summe aller Zeiger liefert den resultierenden Zeiger des realen Oszillators am Interferenzort. Aus der Länge des resultierenden Zeigers kann die Amplitude der Schwingung am Interferenzort abgelesen werden und das Quadrat der Amplitude liefert die Intensität des Lichts (also die Helligkeit) am Interferenzort.

Bei einem Doppelspalt gibt es zwei Wellenzüge, die am Interferenzort miteinander interferieren. Vereinfachend nehmen wir an, dass die beiden Wellenzüge parallel zueinander verlaufen. Diese Näherung modelliert immer besser die reale Situation, je kleiner der Abstand der Gitterspalte ist und je größer der Abstand zwischen dem Doppelspalt und dem Schirm ist.

Der Weg zu einem Interferenzort ist für die beiden Wellenzüge bei einem Doppelspalt unterschiedlich lang:

Dieser Wegunterschied wird um so größer, je weiter der Interferenzort vom 0. Maximum entfernt ist:

Bei einem weiter entfernten Interferenzort muss der Wellenzug, der vom Sender 2 ausgesendet wurde, einen weiteren Weg zurücklegen, als der Wellenzug, der von Sender 1 ausgesendet wurde. Das bedeutet für den Zeiger 2, der dem Wellenzug 2 zugeordnet ist, dass sich dieser auf dem Weg vom Sender zum Interferenzort länger als der Zeiger 1 dreht.

Wir betrachten jetzt den Rotationswinkel der beiden Zeiger abhängig vom Interferenzort.

  • Beim 0. Maximum sind beide Wellenzüge gleich lang, so dass der Wegunterschied der beiden Wellenzüge Null ist und die Zeiger am Interferenzort die gleiche Phase haben.

  • Bei einem neuen Interferenzort, der neben dem 0. Maximum liegt, gibt es einen Wegunterschied zwischen Wellenzug 2 und Wellenzug 1. Zeiger 2 hat am Interferenzort eine andere Phase als Zeiger 1, da der Wellenzug 2 zum neuen Interferenzort einen weiteren Weg zurücklegen muss.

  • Wenn der Wegunterschied von Wellenzug 1 und Wellenzug 2 zum gewählten Interferenzort eine halbe Wellenlänge lang ist, beobachtet man ein Minimum. Zeiger 2 hat sich eine halbe Drehung weiter gedreht, als Zeiger 1 (Phasendifferenz: \(\pi\)).

  • Wenn der Wegunterschied von Wellenzug 1 und Wellenzug 2 zum gewählten Interferenzort eine ganze Wellenlänge lang ist, sind beide Zeiger wieder in gleicher Phase und man beobachtet wieder ein Maximum. Zeiger 2 hat sich relativ zu Zeiger 1 eine ganze Drehung weiter gedreht (Phasendifferenz: \(2 \pi\)).

Wenn sechs Öffnungen im gleichen Abstand als Mehrfachspalt verwendet werden, dann entsteht ein Sechsfachspalt. Es gibt jetzt sechs Elementarwellen, die auf dem Schirm interferieren. Man beobachtet folgendes Interferenzbild:

Wir modellieren die relative Phase der Zeiger 1-6 zwischen dem 0. Maximum und dem 1. Maximum wie folgt:

  1. Maximum: alle 6 Zeiger haben die gleiche Phase.
  2. Maximum: alle 6 Zeiger haben wieder die gleiche Phase.

Für den Wegunterschied zwischen den Wellenzügen für den Weg zum 1. Maximum gilt:

  • Der Wegunterschied zwischen Wellenzug 1 und Wellenzug 2 sei \(\Delta s\), deswegen hat sich Zeiger 2 eine Umdrehung weiter gedreht als Zeiger 1
  • Der Wegunterschied zwischen Wellenzug 1 und Wellenzug 3 ist dann \(2 \cdot \Delta s\), deswegen hat sich Zeiger 3 zwei Umdrehungen weiter gedreht als Zeiger 1
  • Der Wegunterschied zwischen Wellenzug 1 und Wellenzug 4 ist dann \(3 \cdot \Delta s\), deswegen hat sich Zeiger 4 drei Umdrehungen weiter gedreht als Zeiger 1
  • Der Wegunterschied zwischen Wellenzug 1 und Wellenzug 5 ist dann \(4 \cdot \Delta s\), deswegen hat sich Zeiger 5 vier Umdrehungen weiter gedreht als Zeiger 1
  • Der Wegunterschied zwischen Wellenzug 1 und Wellenzug 6 ist dann \(5 \cdot \Delta s\), deswegen hat sich Zeiger 6 fünf Umdrehungen weiter gedreht als Zeiger 1

Interferenzanalyse

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Wenn die Anzahl der Spalte und damit der Sender von Elementarwellenzügen immer weiter vergrößert wird, entsteht das Schirmbild eines Gitters.

Den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Sender und dem Schirmbild können Sie in der folgenden Simulation nachvollziehen:

  • Die Berechnung des Abstands der Sender zum Interferenzort und die daraus resultierenden Wegunterschiede sind dabei so modelliert, dass die Wellenzüge als parallel angenommen werden. Diese Annahme führt dazu, dass der Abstand der Minima und Nebenmaxima regelmäßig ist.

  • Die Interferenz am Interferenzort und das resultierende Interferenzbild ist so modelliert, dass die Wellenzüge sich an einem Punkt treffen. Mit dieser Annahme werden die Abstände der Minima und Nebenmaxima unregelmäßiger.

Wenn die Anzahl der Gitterlinien beliebig erhöht wird (z.B. 500 Striche pro Millimeter), entsteht ein optisches Gitter bei dem die Intensität der Nebenmaxima so gering ist, dass nur noch die Hauptmaxima beobachtet werden können. Auch die Schärfe der Hauptmaxima ist deutlich besser, als bei Spaltanordnungen mit wenigen Spaltöffnungen. Da Elementarwellen aus mehr Spalten an einem Ort interferieren, wird die Intensität der Hauptmaxima bei einem Gitter größer.

Bei den Interferenzregeln braucht man nur eine kleine Veränderung, um die Formel für den Doppelspalt auf ein Gitter übertragen zu können. Der Abstand \(g\) zwischen den Doppelspaltöffnungen wird zur Gitterkonstante \(g\), die den Abstand zwischen zwei Gitteröffnungen angibt.

Für ein optisches Gitter mit der Gitterkonstanden \(g\) (Abstand zwischen den Gitteröffnungen) gilt:

Für konstruktive Interferenz am n-ten Maximum gilt für den Wegunterschied \(\Delta s\) zwischen den kohärenten Wellenzügen: \(\Delta s = n \cdot \lambda\), also:

\[ n \cdot \lambda = g \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right) \right)\]

Für destruktive Interferenz am n-ten Minimum gilt für den Wegunterschied \(\Delta s\) zwischen den kohärenten Wellenzügen: \(\Delta s = (2 \cdot n + 1) \cdot \frac{\lambda}{2}\), also:

\[ (2 \cdot n + 1) \cdot \frac{\lambda}{2} = g \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right) \right)\]

Im Experiment mit sichtbarem Licht, müssen Sie sich in der folgenden Zeichnung den Abstand zwischen den Spaltöffnungen sehr klein und den Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm sehr groß denken.