Bezug zum Kerncurriculum:
Ich kann die Energiebilanz für einen freien geladenen Körper im elektrischen Feld eines Plattenkondensators angeben und die Geschwindigkeit eines geladenen Körpers im homogenen elektrischen Feld eines Plattenkondensators mithilfe dieser Energiebilanz ermitteln.
Die anziehenden und abstoßenden Kräfte zwischen elektrischen Ladungen kann man nutzen, um einen Elektronenstrahl zu erzeugen und diesen mit Hilfe von Kondensatorplatten abzulenken.
Lange Zeit wurden mit dieser Technik Röhrenfernseher und Röhrenmonitore gebaut. Früher wurden auch Messgeräte, wie das Oszilloskop, mit Elektronenstrahl-Technik gebaut. Heute sind es meist LCD-Monitore, die zum Einsatz kommen und digital angesteuert werden.
Bevor ein Elektronenstrahl entstehen kann, muss man es erst einmal schaffen, Elektronen aus einem Festkörper herauszulösen. Wenn das geschafft ist, dürfen die freien Elektronen nicht gleich wieder von Atomen eingefangen werden, weswegen man die Elektronen in einem Hohlraum freisetzt, aus dem nahezu alle Luft abgesaugt wurde (Vakuum).
Um freie Elektronen zu bekommen, wird an einen dünnen Draht eine Heizspannung \(U_H\) von einigen Volt (z.B. \(6 \: V\)) angelegt. Der Draht wird dann von einem Elektronenstrom der Stärke \(I_H\) durchströmt. Aufgrund der Wechselwirkungen der fließenden Elektronen mit den Drahtatomen wird ein großer Anteil der elektrischen Energie in Wärmeenergie umgewandelt, so dass der Draht zu glühen beginnt. Im Vakuum fehlen die Sauerstoffatome der Luft, weswegen der Draht nicht verbrennt. Ausserdem ist er aus einem speziellen Metall gebaut (z.B. Wolfram) das eine hohe Schmelztemperatur hat.
In dem glühenden Draht wechselwirken einige der strömenden Elektronen zufällig so mit den Atomen, dass ihre kinetische Energie immer weiter zunimmt. Irgendwann haben einzelne Elektronen zufällig genügend Energie, um die Bindungskräfte des Metalls zu überwinden und den Draht zu verlassen. Da um den Glühdraht herum Vakuum herrscht, können sich die freien Elektronen bewegen, ohne dabei mit Luftatomen zu wechselwirken. Es bildet sich eine Elektronenwolke um den Glühdraht.
Die freien Elektronen sollen in einem Oszilloskop oder einem Röhrenmonitor als feiner Strahl zielgerichtet auf dem Leuchtschirm auftreffen. Aus der Elektronenwolke soll ein feiner Strahl aus Elektronen entstehen und die Elektronen sollen sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit bewegen.
Damit die Elektronenwolke räumlich begrenzt ist, umgibt man diese mit einem Metallzylinder, der negativ geladen wird. Die Elektronen erfahren von den Elektronen im negativ geladenen Zylinder eine abstoßende Kraft, so dass sie von diesem nicht aufgenommen werden und sich nur innerhalb des Zylinders bewegen können. Ein solcher Zylinder wird auch Wehnelt-Zylinder genannt.
An das Ende des Wehnelt-Zylinders wird eine Metallscheibe angebracht, die in der Mitte eine Öffnung hat. Legt man an den Glühdraht eine negative Spannung an und an den die Metallscheibe eine positive Spannung, werden die Elektronen in Richtung der Metallscheibe beschleunigt. Wenn die Elektronen die Lochanode erreichen, können nur die Elektronen die Lochanode passieren, welche durch das Loch fliegen. Alle anderen werden von der Metallanode aufgenommen und fließen zurück zum Spannungsgerät.
Im folgenden soll die Freisetzung einer Elektronenwolke und die Erzeugung eines Elektronenstrahls simuliert werden. Dazu stellen wir uns Elektronen als kleine Kugel der Masse \(m\) vor, die eine elektrische Masse der Ladungsmenge \(q = 1,602 \cdot 10^{-19} \, \rm{C}\) trägt. Im Thema Quantenphysik werden Sie Experimente kennenlernen, die es notwendig machen, ein neues physikalischen Modell zur Beschreibung von Elektronen einzuführen, aber im Moment verwenden wir das newtonsche mechanische Modell.
Klicken Sie auf den Tab "Durchführung" und führen Sie das interaktive Experiment im Tab "Interaktives Experiment" wie beschrieben durch.
In einem neuen Fenster starten: Erzeugung des Elektronenstrahls
Die Beschleunigung der Elektronen zwischen dem Glühdraht und der Lochanode kann mit Hilfe der Bewegung einer geladenen Kugel zwischen zwei geladenen Kondensatorplatten modelliert werden.
Wenn die Kondensatorplatten eine elektrische Kraft auf die geladenen Kugel ausüben, wird diese nach dem Newtonschen Grundgesetz \(F = m \cdot a\). beschleunigt. In der folgenden Simulation wird die Bewegung einer geladenen Kugel in einem elektrischen Feld simuliert.
Klicken Sie auf den Tab "Durchführung" und führen Sie das interaktive Experiment im Tab "Interaktives Experiment" wie beschrieben durch.
In einem neuen Fenster starten: Ladung im Plattenkondensator
Für einen kinematischen/dynamischen Ansatz zur Berechnung der Elektronen nach dem Passieren der Lochanode, müsste man die Zeit messen können, die ein Elektron für die Strecke zwischen Glühdraht und Lochanode benötigt. An diese Größe kommt man messtechnisch nicht heran. Deswegen wird ein anderer Ansatz gewählt: der Energieansatz. In der letzten Simulationen konnten Sie beobachten, dass ein Elektron Energie gewinnt, wenn es von der Beschleunigungsspannung \(U_\rm{B}\) beschleunigt wird. Für die Spannung gilt:
\[ U_\text{B} = \frac{E_\text{el}}{q}\]
Beim Durchlaufen des elektrischen Felds, das durch die Beschleunigungsspannung \(U_B\) erzeugt wird, gewinnt das Elektron die Energie \(E_\text{el}\). Diese Energie gewinnt es als kinetische Energie, denn seine Geschwindigkeit wird größer. Es gilt also:
\[ E_\text{el} = E_\text{kin}\]
mit \(E_\text{el} = U_\text{B} \cdot q\) und \(E_\text{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_\text{e} \cdot v^2\) (\(q\) ist die Ladung und \(m_\text{e}\) ist die Masse eines Elektrons).
Einsetzen liefert:
\[ U_\text{B} \cdot q = \frac{1}{2} \cdot m_\text{e} \cdot v^2\]
also
\[ U_\text{B} = \frac{m_\text{e} \cdot v^2}{2 \cdot q}\]
Um einen Elektronenstrahl mit der Geschwindigkeit \(v\) zu erzeugen, muss man die Elektronen mit der Beschleunigungsspannung \(U_\text{B} = \frac{m_\text{e} \cdot v^2}{2 \cdot q}\) beschleunigen (gilt nur für Geschwindigkeiten von deutlich weniger als 10% der Lichtgeschwindigkeit, sonst müssen relativistische Effekte berücksichtigt werden).
Die Gleichung
\[ E_\text{kin} = E_\text{el}\]
mit \(E_\text{kin} = \frac{1}{2} \cdot m_\text{e} \cdot v^2\) und \(E_\text{el} = U_\text{B} \cdot q\) kann auch nach der Geschwindigkeit \(v\) aufgelöst werden:
\[ \require{action} \def\click{\rlap{\enclose{box}{\small\text{Zeige nächsten Schritt}}}\hphantom{\longest}} \def\={\phantom{ {} = {} }} \def\longest{\sqrt{\frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}}}} \toggle {\begin{aligned}[t] \frac{1}{2} \cdot m_\text{e} \cdot v^2 &= U_\text{B} \cdot q \\ &\=\click \end{aligned}} {\begin{aligned}[t] \frac{1}{2} \cdot m_\text{e} \cdot v^2 &= U_\text{B} \cdot q \\ v^2 &= \frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}} \\ &\=\click \end{aligned}} {\begin{aligned}[t] \frac{1}{2} \cdot m_\text{e} \cdot v^2 &= U_\text{B} \cdot q \\ v^2 &= \frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}} \\ v &= \sqrt{\frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}}} \end{aligned}} \endtoggle\]
Wenn der Elektronenstrahl mit der Beschleunigungsspannung \(U_\text{B}\) beschleunigt wird, erreichen die Elektronen eine Geschwindigkeit von \(v = \sqrt{\frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}}}\).
Wenn der Elektronenstrahl die Lochanode passiert hat, nehmen wir vereinfachend an, dass in x-Richtung keine Kraft mehr auf ihn wirkt und er sich mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung bewegt. Platziert man einen Kondensator parallel zur x-Richtung, dann kann der Elektronenstrahl durch die in die y-Richtung wirkende elektrische Kraft abgelenkt werden. Für die Ablenkung in y-Richtung gilt folgende Formel:
\[ y(x) = \frac{U_\text{y}}{4 \cdot d \cdot U_\text{B}} \cdot x^2\]
Bevor diese Formel mathematisch hergeleitet wird, sollen Sie das Verhalten des Elektronenstrahls im Kondensator mit Hilfe einer Simulation studieren:
Klicken Sie auf den Tab "Durchführung" und führen Sie das interaktive Experiment im Tab "Interaktives Experiment" wie beschrieben durch.
In einem neuen Fenster starten: Elektronenstrahlröhre
Bewegung des Elektrons in x-Richtung:
Der Elektronenstrahl erreicht den Ablenkkondensator mit der Geschwindigkeit
\[ v_\text{x} = \sqrt{\frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}}}\]
im Punkt \(\text{O}(0/0)\) (Herleitung siehe Elektronenstrahlerzeugung). In \(x\)-Richtung wirkt auf das Elektron keine Kraft. Daher bewegt sich das Elektron in \(x\)-Richtung mit der konstanten Geschwindigkeit
\[ v_\text{x} = \frac{x}{t}\]
Zum Zeitpunkt \(t\) befindet sich das Elektron dann am Ort \(x = v_\text{x} \cdot t\).
Kraftwirkung auf das Elektron im Ablenkkondensator:
Innerhalb des Ablenkkondensators wird ein Elektron von der negativ geladenen Platte abgestossen und von der positiv geladenen Platte angezogen. In \(y\)-Richtung wirkt also die Kraft \(F_\text{el}\). Für die elektrische Feldstärke \(E\) gilt:
\[ E = \frac{F_\text{el}}{q}\]
mit \(q\) = Ladung eines Elektrons und damit
\[ F_\text{el} = q \cdot E\]
Die elektrische Feldstärke \(E\) kann mit Hilfe der Spannung \(U_\text{y}\) beschrieben werden:
\[ E = \frac{U_\text{y}}{d}\]
Also gilt insgesamt für die auf das Elektron wirkende elektrische Kraft \(F_\text{el}\) im Ablenkkondensator:
\[ F_\text{el} = q \cdot E = q \cdot \frac{U_\text{y}}{d}\]
oder
\[ F_\text{el} = \frac{U_\text{y} \cdot q}{d}\]
Bewegung in y-Richtung:
Aufgrund der in \(y\)-Richtung wirkenden Kraft \(F_\text{el}\), wird das Elektron in \(y\)-Richtung beschleunigt. Da sich die beschleunigende Kraft \(F_\text{el}\) innerhalb des Plattenkondensators nicht ändert, ist die Beschleunigung \(a_\text{y}\) des Elektrons in \(y\)-Richtung konstant und es gilt das Newtonsche Grundgesetz:
\[ F = m \cdot a\]
und hier speziell
\[ F_\text{el} = m_\text{e} \cdot a_\text{y}\]
Für die Beschleunigung \(a_\text{y}\) gilt also mit \(F_\text{el} = \frac{U_\text{y} \cdot q}{d}\):
\[ a_\text{y} = \frac{F_\text{el}}{m_\text{e}} = \frac{U_\text{y} \cdot q}{m_\text{e} \cdot d}\]
Bei einer beschleunigten Bewegung in \(y\)-Richtung gilt für den Ort \(y\) (siehe Formelsammlung):
\[ y = \frac{1}{2} \cdot a_\text{y} \cdot t^2\]
ersetzt man \(a_\text{y}\) mit \(a_\text{y} = \frac{U_\text{y} \cdot q}{m_\text{e} \cdot d}\), folgt:
\[ y = \frac{1}{2} \cdot \frac{U_\text{y} \cdot q}{m_\text{e} \cdot d} \cdot t^2\]
\(y\)-Ablenkung in Abhängigkeit vom Ort \(x\):
Aus \(v_\text{x} = \frac{x}{t}\) folgt
\[ t = \frac{x}{v_\text{x}}\]
Damit ersetzt man \(t\) in der Formel für die Auslenkung \(y\):
\[ \require{action} \def\click{\rlap{\enclose{box}{\small\text{Zeige nächsten Schritt}}}\hphantom{\longest}} \def\={\phantom{ {} = {} }} \def\longest{\frac{1}{2} \cdot \frac{U_\text{y} \cdot q}{m_\text{e} \cdot d} \cdot \left( \frac{x}{v_\text{x}} \right) ^2} \toggle {\begin{aligned}[t] y &= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_\text{y} \cdot q}{m_\text{e} \cdot d} \cdot t^2 \\ &\=\click \end{aligned}} {\begin{aligned}[t] y &= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_\text{y} \cdot q}{m_\text{e} \cdot d} \cdot t^2 \\ y &= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_\text{y} \cdot q}{m_\text{e} \cdot d} \cdot \left( \frac{x}{v_\text{x}} \right) ^2 \\ &\=\click \end{aligned}} {\begin{aligned}[t] y &= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_\text{y} \cdot q}{m_\text{e} \cdot d} \cdot t^2 \\ y &= \frac{1}{2} \cdot \frac{U_\text{y} \cdot q}{m_\text{e} \cdot d} \cdot \left( \frac{x}{v_\text{x}} \right) ^2 \\ y &= \frac{U_\text{y} \cdot q}{2 \cdot m_\text{e} \cdot d \cdot v_x^2} \cdot x^2 \end{aligned}} \endtoggle\]
Für die Geschwindkeit \(v_\text{x}\) wissen wir, dass gilt:
\[ v_\text{x} = \sqrt{\frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}}}\]
Damit wird das \(v_\text{x}\) in der Formel für die Auslenkung \(y\) ersetzt:
\[ \require{action} \require{cancel} \def\click{\rlap{\enclose{box}{\small\text{Zeige nächsten Schritt}}}\hphantom{\longest}} \def\={\phantom{ {} = {} }} \def\longest{\frac{U_\text{y} \cdot q}{2 \cdot m_\text{e} \cdot d \cdot \left( \sqrt{\frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}}} \right) ^2} \cdot x^2} \toggle {\begin{aligned}[t] y &= \frac{U_\text{y} \cdot q}{2 \cdot m_\text{e} \cdot d \cdot \left( \sqrt{\frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}}} \right) ^2} \cdot x^2 \\ &\=\click \end{aligned}} {\begin{aligned}[t] y &= \frac{U_\text{y} \cdot q}{2 \cdot m_\text{e} \cdot d \cdot \left( \sqrt{\frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}}} \right) ^2} \cdot x^2 \\ y &= \frac{U_\text{y} \cdot q}{2 \cdot m_\text{e} \cdot d \cdot \frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}} } \cdot x^2 \\ &\=\click \end{aligned}} {\begin{aligned}[t] y &= \frac{U_\text{y} \cdot q}{2 \cdot m_\text{e} \cdot d \cdot \left( \sqrt{\frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}}} \right) ^2} \cdot x^2 \\ y &= \frac{U_\text{y} \cdot q}{2 \cdot m_\text{e} \cdot d \cdot \frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}} } \cdot x^2 \\ y &= \frac{U_\text{y} \cdot \cancel{q} \cdot \cancel{m_\text{e}}}{4 \cdot \cancel{m_\text{e}} \cdot d \cdot U_\text{B} \cdot \cancel{q}} \cdot x^2 \\ &\=\click \end{aligned}} {\begin{aligned}[t] y &= \frac{U_\text{y} \cdot q}{2 \cdot m_\text{e} \cdot d \cdot \left( \sqrt{\frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}}} \right) ^2} \cdot x^2 \\ y &= \frac{U_\text{y} \cdot q}{2 \cdot m_\text{e} \cdot d \cdot \frac{2 \cdot U_\text{B} \cdot q}{m_\text{e}} } \cdot x^2 \\ y &= \frac{U_\text{y} \cdot \cancel{q} \cdot \cancel{m_\text{e}}}{4 \cdot \cancel{m_\text{e}} \cdot d \cdot U_\text{B} \cdot \cancel{q}} \cdot x^2 \\ y &= \frac{U_\text{y}}{4 \cdot d \cdot U_\text{B}} \cdot x^2 \end{aligned}} \endtoggle\]
und in der funktionalen Schreibweise:
\[ y(x) = \frac{U_\text{y}}{4 \cdot d \cdot U_\text{B}} \cdot x^2\]
Damit ist die Formel begründet hergeleitet worden.
