wpk.1 Gravitation

Astronomen beobachten Objekte im Kosmos und messen deren Zeit und Ort, also wann welches Objekt wo war. Ein Planetarium visualisiert diese Messdaten, z.B. das Online-Planetarium Stellarium von Alexander Wolf (Altai State Pedagogical University): https://stellarium-web.org/ (Quellcode verfügbar unter: https://github.com/Stellarium/stellarium-web).

Neben der Sammlung von Daten zu Sternen, Planeten, Galaxien,... beschäftigen sich Astronomen auch mit weiteren Fragen: Wie entstand das Universum? Wie entwickelt es sich? Wird das Universum ein Ende haben und wenn ja, wie wird das Ende sein? Welche physikalischen Formeln beschreiben den Kosmos in guter Näherung? Gibt es neben unserem Universum noch weitere Universen? Die Suche nach Antworten auf diese Frage führte zur Entwicklung einer Teilwissenschaft der Astronomie, nämlich der Kosmologie.

Die Kosmologie beschäftigt sich mit der Entstehung, der Entwicklung und den Strukturen des Universums.

Der Beginn der modernen Kosmologie kann bei einer der wohl bekanntesten Legenden der Wissenschaftsgeschichte verortet werden. Überliefert wurde diese Geschichte von William Stukeley der 1752 in MEMOIRS OF Sr. ISAAC NEWTON'S by life folgendes schrieb:

on 15 April 1726 I paid a visit to Sr. Isaac, at his lodgings in Orbels buildings, Kensington: din'd with him, & spent the whole day with him, alone. I acquainted him with my intentions of retiring into the country; & had pitchd on Grantham. I had a brother there in business, who had a family. he had been apprentice to Mr Chrichloe apothecary there, a great acquaintance, & schoolfellow of Sr. Isaacs.

Sr. Isaac expressed an approbation of my purpose: & especially for Grantham, wh is near the place of his nativity: & where he went to the grammar school. he said, he had frequently thought of spending the last of his days, in that very place: and charg'd me, that if that house to the east of the ch, cd now be purchasd at any reasonable price, that I shd do it immediately in his name, & he wd answer the demand. that house had belong'd to the family of the Skipwith's. he said his old acquaintance Mrs Vincent lived <15r> there & a few more, whom he knew.

after dinner, the weather being warm, we went into the garden, & drank thea under the shade of some appletrees, only he, & myself. amidst other discourse, he told me, he was just in the same situation, as when formerly, the notion of gravitation came into his mind. "why shd that apple always descend perpendicularly to the ground," thought he to him self: occasion'd by the fall of an apple, as he sat in a comtemplative mood: "why shd it not go sideways, or upwards? but constantly to the earths centre? assuredly, the reason is, that the earth draws it. there must be a drawing power in matter. & the sum of the drawing power in the matter of the earth must be in the earths center, not in any side of the earth. therefore dos this earth|apple| fall perpendicularly, or toward the center. if matter thus draws matter; it must be in proportion of its quantity. therefore the apple draws the earth, as well as the earth draws the apple."

That there is a power like that we here call gravity wh extends its self thro' the universe < text from f 15r resumes > & thus by degrees, he began to apply this property of gravitation to the motion of the earth, & of the heavenly bodys: to consider thir distances, their magnitudes, thir periodical revolutions: to find out, that this property, conjointly <16r> with a progressive motion impressed on them in the beginning, perfectly solv'd thir circular courses; kept the planets from falling upon one another, or dropping all together into one center. & thus he unfolded the Universe. this was the birth of those amazing discoverys, whereby he built philosophy on a solid foundation, to the astonishmt. of all Europe.

Quelle: The Newton Project. Hervorhebungen hinzugefügt.

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Die Frage, warum der Apfel auf die Erde fällt, beantwortete Newton damit, dass die Erde eine Gravitationskraft auf den Apfel ausübt. Isaac Newton verallgemeinerte diese Aussage zu:

Alle Körper, die eine Masse haben, ziehen sich gegenseitig an.

Diese Idee formulierte Newton in mathematischer Sprache, dem

Gravitationsgesetz:

\[ F_{G} = G \, \cfrac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

\(F_{G} = \text{Kraft zwischen zwei Massen in Newton (N)}\)
\(G = \text{Gravitationskonstante}\)
\(m_1, m_2 = \text{Masse der beiden Körper in Kilogramm (kg)}\)
\(r = \text{Abstand der beiden Körper in Meter (m)}\)

Die Erde zieht den Apfel mit einer Kraft an und genauso zieht der Apfel die Erde mit einer Kraft an. Isaac Newton erkannte, dass beide Kräfte gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet sind. Auch ein Kürbis zieht eine Erbse an, die neben ihm auf dem Feld liegt und umgekehrt. Die Frage war, wie groß ist diese Kraft. Um diese Frage beantworten zu können, muss die im Gravitationsgesetz enthaltenen Gravitationskonstante G bekannt sein.

Diese Messung gelang erstmals Henry Cavendish im Jahr 1797. Er bestimmte für die Gravitationskonstante einen Wert von

\[ G = 6,74 \cdot 10^{-11} \tfrac{m^3}{kg \, s^2}\]

Recherchieren Sie, wie Henry Cavendish im Jahr 1797 erstmals die Gravitationskonstante \(G\) gemessen hatte und vergleichen Sie den damals bestimmten Wert mit dem heute gültigen Wert, den Sie der Formelsammlung entnehmen können.

Erstellen Sie eine Präsentation mit Ihren Erkenntnissen.

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Mit Hilfe der Gravitationskonstanten kann das Gravitationsgesetz auf beliebige Körper angewendet und bei bekannter Masse die Kraft zwischen zwei Körpern berechnet werden. Im Gravitationsgesetz steht der Abstand zwischen beiden Körpern im Nenner und wird quadriert. Was bedeutet das anschaulich?

  • Stellen Sie in der folgenden App die Masse beider Körper auf 1000 kg und setzen Sie den Abstand auf 8 m. Merken Sie sich die Länge der Kraftpfeile. Verändern Sie dann den Abstand zwischen den Körpern auf 4 m. Wie verändert sich die wirkende Kraft?

  • Gehen Sie wieder auf einen Abstand von 8 m und halbieren Sie die Masse eines der beiden Körper von 1000 kg auf 500 kg. Wie verändert sich jetzt die Gravitationskraft?

(Quelle: PhET)

Gravitationskraft

Die Gravitationskraft verhält sich umgekehrt quadratisch zum Abstand zwischen den Körpern. Das bedeutet, wenn sich der Abstand zwischen den Körpern verdoppelt, dann wirkt nur noch ein Viertel der Gravitationskraft. Anders herum: wenn man den Abstand zwischen den Körpern halbiert, wirkt die vierfache Gravitationskraft.

Die Gravitationskraft verhält sich proportional zur Masse eines der Körper. Halbiert man die Masse eines der Körper, dann halbiert sich die Gravitationskraft. Verdreifacht man die Masse eines der Körper, dann verdreifacht sich die Gravitationskraft.

Im folgenden soll mit Hilfe des Gravitationsgesetzes die Masse der Erde berechnet werden. Newton formulierte einen weiteren Grundsatz:

Ein Körper, auf den von außen eine Kraft \(F\) wirkt, verändert seinen Bewegungszustand. Er wird beschleunigt.

Die wirkende Kraft ist proportional zur bewirkten Beschleunigung: \(F \sim a\).

Die Masse des Körpers bestimmt, wie groß die Beschleunigung ist: \(F = m \cdot a\).

Übertragen auf den Apfel bedeutet das: wenn auf den Apfel die Gravitationskraft \(F_G\) wirkt, dann fällt der Apfel beschleunigt.

\[ F_G = m_{\text{Apfel}} \cdot a_{\text{Apfel}}\]

\(F_G = \text{auf den Apfel wirkende Gravitationskraft}\)
\(m_{\text{Apfel}} = \text{Masse des Apfels}\)
\(a_{\text{Apfel}} = \text{Beschleunigung des Apfels}\)

Daraus folgt:

\[ a_{\text{Apfel}} = \frac{F_G}{m_{\text{Apfel}}}\]

Setzt man für die beschleunigende Kraft das Gravitationsgesetz \(F_{G} = G \cdot \cfrac{m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Apfel}}{r^2}\) ein, folgt:

\[ a_{\text{Apfel}} = \frac{G \cdot \cfrac{m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Apfel}}{r^2}}{m_{\text{Apfel}}} = \frac{G \cdot m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Apfel}}{m_{\text{Apfel}} \cdot r^2} = \frac{G \cdot m_{\text{Erde}}}{r^2}\]

Diese Formel kann nach der Erdmasse \(m_{\text{Erde}}\) aufgelöst werden:

\[ m_{\text{Erde}} = \frac{a_{\text{Apfel}} \cdot r^2}{G}\]

  • Die Beschleunigung des Apfels kann man messen und sie beträgt in Nordeuropa \(a_{\text{Apfel}} = 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}\).
  • Der Erdradius war schon zur Zeit von Newton bekannt und beträgt im Mittel \(6371000 \, \text{m}\).
  • Cavendish hat für die Gravitationskonstanten folgenden Wert ermittelt: \(G = 6,74 \cdot 10^{-11} \tfrac{\text{m}^3}{\text{kg s}^2}\)

Mit diesen Daten folgt für die Masse der Erde:

\[ m_{\text{Erde}} = \frac{9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}²} \cdot (6371000 \, \text{m})^2}{6,74 \cdot 10^{-11} \tfrac{\text{m}^3}{\text{kg s}^2}} = 5,91 \cdot 10^{24} \, \text{kg} = 5.910.000.000.000.000.000.000.000 \, \text{kg}\]

Dieser Wert ist bereits in der Größenordnung des heute gültigen Werts von \(m_{\text{Erde}} = 5,9722 \cdot 10^{24} \, \text{kg}\).