Schickt man Mikrowellen auf eine Anordnung von einigen Reihen mit Metallstäben (die Reihen haben einen Abstand \(d\)), dann kann man unter einem Glanzwinkel \(\alpha\) mit einem geeigneten Detektor Maxima feststellen.
Leiten Sie begründet mit Hilfe einer geeigneten Skizze eine Formel für den Zusammenhang zwischen der Wellenlänge \(\lambda\) der Mikrowellenstrahlung und dem Glanzwinkel \(\alpha\) her.
(Abi 2006 eA II, Abi 2009 eA AI, 2012 eA AI)
Für diese Herleitung wird das klassische Modell "Mikrowellenstrahlung ist eine elektromagnetische Welle (= Licht)" gewählt.
Die Situation wird mit Hilfe der folgenden Skizze veranschaulicht:
Zu Vereinfachung der Rechnung wird im folgenden wieder die Näherung verwendet, dass bei einem hinreichend großen Abstand zwischen dem Hindernis und dem Detektor die interferierenden Wellenzüge als parallel angenommen werden können. Dann können die Sätze der Trigonometrie am rechtwinkeligen Dreieck angewendet werden.
Wie in Abbildung 1 gezeigt wird, legt der Lichtstrahl 2 aufgrund der versetzten Reihen von Metallstäben bis zum Detektor einen weiteren Weg als der Lichtstrahl 1 zurück. Der Gangunterschied beträgt insgesamt \(\Delta s\).
Nach dem huygenschen Prinzip senden die Metallstäbe gleichphasige Elementarwellen aus. Ist der Gangunterschied zweier gleichphasiger Wellenzüge ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda\), verstärken sie sich zu einem Maximum (konstruktive Interferenz). Es gilt dann
\[
\Delta s = n \cdot \lambda \:\:\: \text{mit} \:\:\: n = 0, 1, 2,...\]
Den Glanzwinkel \(\alpha\), unter dem der Mikrowellenstrahl die Metallstabreihe trifft, findet man in dem rechtwinkeligen Dreieck wieder, das durch das Lot auf den zweiten Lichtstrahl, den Abstand \(d\) zwischen den beiden Metallstabreihen und der Hälfte des Gangunterschieds \(\Delta s\) gebildet wird (siehe Abbildung 2).
Es gilt also
\[
sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} = \frac{\frac{\Delta s}{2}}{d} = \frac{\Delta s}{2 \cdot d}\]
Mit \(\Delta s = n \cdot \lambda\) folgt:
\[
sin(\alpha) = \frac{n \cdot \lambda}{2 \cdot d}\]
Formt man diese Gleichung so um, dass \(n \cdot \lambda\) auf der linken Seite stehen, folgt
\[
n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot sin(\alpha)\]
Damit ist der Zusammenhang zwischen der Wellenlänge \(\lambda\) und dem Glanzwinkel \(\alpha\) erfolgreich hergleitet worden.