3.8 Wellenlängenmessung mit Gitter

Bezug zum Kerncurriculum:
Ich kann ein Experiment zur Bestimmung der Wellenlänge bei weißem und monochromaitschem Licht mit einem Gitter nach der objektiven Methode beschreiben und durchführen.

Sichtbares Licht hat extrem kurze Wellenlängen. Beobachtungen mit einem Doppelspalt sind schwierig und lassen genaue Messungen nur schwer zu. Im folgenden soll untersucht werden, wie sich das Interferenzfeld ändert, wenn man nicht nur zwei Wellensender, sondern eine Vielzahl von Wellensendern jeweils einen Wellenzug aussenden lässt, die auf einem Schirm interferieren.

Dazu kann man in einem Experiment anstelle eines Doppelspalts ein Hindernis mit mehreren Spaltöffnungen in den Weg des Lichts stellen. Wenn man darüber nachdenken möchte, wie das Interferenzbild bei vielen Sendern aussieht, kommt man in seiner Vorstellung schnell an Grenzen. Computer können hier helfen.

In der folgenden Simulation wird die Interferenz von mehr als zwei Wellenzügen modelliert.

In einem neuen Fenster starten: Interferenzfeld von N Sendern

Wenn man bei \(N\) Sendern, die in einem geeigneten Abstand zueinander angeordnet sind, das Interferenzfeld in einem geeigneten Abstand beobachtet, stellt man fest, dass zwischen zwei Hauptmaxima \(N - 2\) Nebenmaxima liegen. Die Hauptmaxima sind weit voneinander entfernt und haben eine deutlich größere Amplitude als die Nebenmaxima. Dieser Effekt nimmt immer mehr zu, je mehr Sender man verwendet.

Quadriert man die Amplituden, um die Intensität auf dem Schirm zu bestimmen, verstärkt sich dieser Effekt weiter. Bei den Hauptmaxima beobachtet man auf dem Schirm daher eine wesentlich größere Helligkeit als bei den Nebenmaxima.

Ein Hindernis mit sehr vielen, regelmäßig angeordneten, extrem schmalen Öffnungen nennt man ein optisches Gitter. Wenn man Interferenzmuster mit sichtbarem Licht ausmessen möchte, eignet sich ein Gitter wesentlich besser zur Erzeugung eines geeigneten Interferenzmusters, als ein Doppelspalt. Das wird anhand der folgenden Bilder deutlich.

Interferenzbild eines Doppelspalts. Die Position eines Maximums ist nur schwer zu bestimmen, da die Intensität in der Umgebung des Maximums kaum geringer wird:

Bei einem Fünfachspalt werden die Nebenmaxima immer dunkler, die Hauptmaxima bleiben hell, sind aber immer noch breit:

Bei 100 regelmäßigen extrem schmalen Öffnungen sieht man nur noch die Hauptmaxima, die im Vergleich zu den Maxima beim Doppelsplat deutlich schmaler geworden sind:

Die Abstände der Maxima bei einem Interferenzbild, das mit einem Gitter erzeugt wurde, lassen sich sehr genau messen, da die Maxima schmal sind. Bei optischen Versuchen werden daher bevorzugt optische Gitter eingesetzt.

In der folgenden Simulation können Sie nachvollziehen, wie sich das Interferenzbild auf dem Schirm ändert, wenn man ausgehend von einem Doppelspalt, dem Licht eine Anordnung mit immer mehr, immer kleineren Öffnungen (optisches Gitter) in den Weg stellt.

In einem neuen Fenster starten: Vom Doppelspalt zum Gitter

Mit einem optischen Gitter (regelmäßige Anordnung von sehr kleinen Öffnungen in einem Hindernis) durch welches Licht auf einen Schirm geschickt wird, kann man wenige Maxima mit großer Intensität in einem großen Abstand beobachten. Dadurch kann man Wellenlängenmessungen mit optischem Licht sehr viel genauer durchführen, als bei den breiten, eng nebeneinanderliegenden Maxima bei einem Doppelspalt.

Wenn die Anzahl der Spalte und damit der Sender von Elementarwellenzügen immer weiter vergrößert wird, entsteht das Schirmbild eines Gitters.

Den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Sender und dem Schirmbild können Sie in der folgenden Simulation nachvollziehen:

  • Die Berechnung des Abstands der Sender zum Interferenzort und die daraus resultierenden Wegunterschiede sind dabei so modelliert, dass die Wellenzüge als parallel angenommen werden. Diese Annahme führt dazu, dass der Abstand der Minima und Nebenmaxima regelmäßig ist.

  • Die Interferenz am Interferenzort und das resultierende Interferenzbild ist so modelliert, dass die Wellenzüge sich an einem Punkt treffen. Mit dieser Annahme werden die Abstände der Minima und Nebenmaxima unregelmäßiger.

Wenn die Anzahl der Gitterlinien beliebig erhöht wird (z.B. 500 Striche pro Millimeter), entsteht ein optisches Gitter bei dem die Intensität der Nebenmaxima so gering ist, dass nur noch die Hauptmaxima beobachtet werden können. Auch die Schärfe der Hauptmaxima ist deutlich besser, als bei Spaltanordnungen mit wenigen Spaltöffnungen. Da Elementarwellen aus mehr Spalten an einem Ort interferieren, wird die Intensität der Hauptmaxima bei einem Gitter größer.

Bei den Interferenzregeln braucht man nur eine kleine Veränderung, um die Formel für den Doppelspalt auf ein Gitter übertragen zu können. Der Abstand \(g\) zwischen den Doppelspaltöffnungen wird zur Gitterkonstante \(g\), die den Abstand zwischen zwei Gitteröffnungen angibt.

Für ein optisches Gitter mit der Gitterkonstanden \(g\) (Abstand zwischen den Gitteröffnungen) gilt:

Für konstruktive Interferenz am n-ten Maximum gilt für den Wegunterschied \(\Delta s\) zwischen den kohärenten Wellenzügen: \(\Delta s = n \cdot \lambda\), also:

\[ n \cdot \lambda = g \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right) \right)\]

Für destruktive Interferenz am n-ten Minimum gilt für den Wegunterschied \(\Delta s\) zwischen den kohärenten Wellenzügen: \(\Delta s = (2 \cdot n + 1) \cdot \frac{\lambda}{2}\), also:

\[ (2 \cdot n + 1) \cdot \frac{\lambda}{2} = g \cdot \sin \left( \arctan \left( \frac{a_n}{e} \right) \right)\]

Im Experiment mit sichtbarem Licht, müssen Sie sich in der folgenden Zeichnung den Abstand zwischen den Spaltöffnungen sehr klein und den Abstand zwischen Doppelspalt und Schirm sehr groß denken.