3.2 Feder-Masse-Pendel

Bezug zum Kerncurriculum:
Ich kann die Gleichung für die Periodendauer eines Feder-Masse-Pendels und das lineare Kraftgesetz angeben und die zugehörigen Abhängigkeiten experimentell bestätigen.

Wenn auf eine Feder eine Kraft \(F\) ausgübt wird, verformt sich die Feder. Bis zu einer bestimmten Grenzkraft, die von der Feder abhängt, ist diese Verformung umkehrbar, so dass die Feder in ihre entspannte Position zurückkehrt, ohne dass sie ihre Form dauerhaft geändert hätte. Diese Verformung nennt man elastische Verformung der Feder. Übt man zu viel Kraft auf die Feder aus, beginnt sich die Kristallstruktur im Metall der Feder zu verändern und die Feder bleibt dauerhaft verformt. Eine solche dauerhafte Verformung nennt man plastische Verformung der Feder.

Im Bereich der elastischen Verformung der Feder gilt das Hooksche Gesetz: die Kraft \(F\), die auf die Feder wirkt, ist proportional zur Ausdehnung \(s\) der Feder: \(F \sim s\). In der folgenden Simulation können Sie das Hooksche Gesetz studieren.

Quelle: PhET

Je nachdem, welche Feder man verwendet, muss man für die Auslenkung der Feder mehr oder weniger Kraft aufwenden. Wenn man mit der Kraft \(F\) an der Feder zieht und diese daraufhin um den Weg \(s\) ausgelenkt wird, kann der Quotient aus Kraft \(F\) und Auslenkung \(s\) als ein Maß für die "Festigkeit" der Feder verwendet werden. Dieser Quotient wird Federkonstante \(D\) genannt. Für die Federkonstante \(D\) gilt also:

\[ D = \frac{F}{s}\]

Die Einheit der Federkonstante ist \([D] = \frac{N}{m}\). Die Federkonstante gibt an, wie viel Kraft bewirkt werden muss, um die Feder um \(s = 1 \, \rm{m}\) zu dehnen.

Wenn die Federkonstante \(D\) einer Feder bekannt ist, kann man ausrechnen, wie viel Kraft \(F\) bewirkt werden muss, um die Feder um die Strecke \(s\) zu dehnen:

\[ F = D \cdot s\]

Wenn eine Feder die Federkonstante \(D\) hat, und um die Strecke \(s\) gedehnt wird, dann speichert sie bei der Dehnung die potentielle Energie

\[ E_\text{Spann} = \tfrac{1}{2} \cdot D \cdot s^2\]

als Spannenergie. Sobald man die Feder loslässt, kann die gespeicherte Spannenergie genutzt werden, um die Feder zu beschleunigen, so dass sie in Richtung ihrer Ruhelage entspannt wird.

Wenn die Feder an einer Halterung befestigt und an die Feder eine Masse \(m\) gehängt wird, bewirkt die Gravitationskraft, dass die Feder gedehnt wird. Sobald die Rückstellkraft der Feder und die Gravitationskraft im Gleichgewicht sind, befindet sich das Feder-Masse-Pendel in seiner Ruhelage.

Bewirkt man eine zusätzliche Kraft, um die Masse aus ihrer Ruhelage auszulenken, wird die Feder weiter gespannt und speichert potentielle Energie in Form von Spannenergie. Lässt man dann die Masse los, bewirkt die Rückstellkraft, dass die Masse beschleunigt wird. Die gespeicherte potentielle Energie wird in Bewegungsenergie umgewandelt. Dieser Prozess wiederholt sich periodisch, so dass das Feder-Masse-Pendel anfängt zu schwingen.

Das Verhalten eines Feder-Masse-Pendels können Sie in der folgenden Simulation studieren.

Quelle: PhET

Die Auswertung der Experimente zum Feder-Masse-Pendel liefert folgende Hypothesen:

  • Die Periodendauer \(T\) ist proportional zu \(\sqrt{m}\), mit \(m\) = Masse des Pendelkörpers
  • Die Periodendauer \(T\) ist proportional zu \(\frac{1}{\sqrt{D}}\), mit \(D\) = Federkonstante der Feder

Die Periodendauer \(T\) eines Feder-Masse-Pendels wird beschrieben mit folgender Formel:

\[ T = 2 \pi \cdot \sqrt{\cfrac{m}{D}}\]

dabei ist \(m\) = Masse des schwingenden Körpers, \(D\) = Federkonstante der verwendeten Feder.

Damit haben wir eine Formel gefunden, welche die Periodendauer eines Feder-Masse-Pendels in Abhängigkeit der Masse und der Federkonstante beschreibt.

Für die Beobachtung eines Feder-Masse-Pendel gilt also:

  • Je größer die Masse \(m\) ist, desto größer ist die Periodendauer \(T\) (langsame Schwingung bei großer Masse)
  • Je größer die Federkonstante \(D\) ist, desto kleiner ist die Periodendauer \(T\) (schnelle Schwingung bei großer Federkonstante)