2.2 Ladungen im Magnetfeld

Bezug zum Kerncurriculum:
Ich kann die Bewegung von freien Elektronen unter Einfluss der Lorentzkraft beschreiben.
Ich kann die Richtung (Dreifingerregel) und den Betrag der Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im homogenen Magnetfeld ermitteln.
Ich kann ein Experiment mit vorgegebenen Komponenten zur Bestimmung von B auf der Grundlage einer Kraftmessung planen, durchführen und auswerten.
Ich kann die Definition der magnetischen Flussdichte B (Feldstärke B) in Analogie zur elektrischen Feldstärke nennen und die Definition mithilfe geeigneter Messdaten begründen.

Die Bewegung von Elektronen in einer Elektronenstrahlröhre haben Sie im Thema "Elektrisches Feld" kennengelernt. Wenn Elektronen durch eine Beschleunigungsspannung auf eine bestimmte kinetische Energie gebracht wurden, bewegen sie sich nach der Lochanode mit einer konstanten Geschwindigkeit. Mit einem geladenen Plattenkondensator kann man den Elektronenstrahl ablenken.

Bringt man einen Permanentmagneten in die Nähe der Elektronenstrahlröhre, kann man beobachten, dass der Elektronenstrahl auch durch einen Magneten abgelenkt werden kann. Das bedeutet, dass Elektronen in einem Magnetfeld eine Kraft erfahren. Das gilt für alle elektrisch geladenen Körper. Die Kraft, welche geladene Körper in einem Magnetfeld erfahren wird "Lorentzkraft" genannt.

Man kann beobachten, dass:

  • die Ablenkung mimimal ist (keine Lorentzkraft), wenn sich die geladenen Körper parallel zu den magnetischen Feldlinien bewegen
  • die Ablenkung maximal ist (maximale Lorentzkraft), wenn sich die geladenen Körper senkrecht zu den magnetischen Feldlinien bewegen.

Wenn sich geladene Körper senkrecht zu einem Magnetfeld bewegen, kann die Richtung der Lorentzkraft mit den Drei-Finger-Regeln bestimmt werden. Dazu spreizt man den Daumen, den Zeigefinger und den Mittelfinger im rechten Winkel zueinander ab:

  • der Daumen wird in die Flugrichtung der geladenen Körper ausgerichtet,
  • der Zeigefinger wird in die Richtung des Magnetfelds ausgerichtet,
  • der Mittelfinger zeigt die Richtung der Lorentzkraft an.

Für die Bewegung von negativ geladenen Körpern im Magnetfeld gilt:

Linke-Hand-Regel

Für die Bewegung von positiv geladenen Körpern im Magnetfeld gilt:

Rechte-Hand-Regel

In der folgenden Simulation können Sie die Bewegung geladener Körper (Ionen) studieren, die sich senkrecht zu einem Magnetfeld bewegen. Das Magnetfeld ist wie folgt in der Simulation dargestellt:

  • Wenn das Magnetfeld in die Ebene gerichtet ist, wird ein Kreuz gezeichnet,
  • Wenn das Magnetfeld aus der Ebene heraus gerichtet ist, wird ein Punkt gezeichnet.

Klicken Sie auf den Tab "Durchführung" und führen Sie das interaktive Experiment im Tab "Interaktives Experiment" wie beschrieben durch.

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Elektrisch geladene Ionen bewegen sich in einem Magnetfeld, das senkrecht zu ihrer Bewegungsrichtung orientiert ist, auf Kreisbahnen. Der Radius der Kreisbahn ist von der Ionenmasse, der Ionenladung und der Stärke und Orientierung des Magnetfelds abhängig.

Mit Hilfe der linken und rechten Handregeln kann man die Bewegung von Ionen in einem zu ihrer Bewegungsrichtung senkrecht stehenden Magnetfeld vorhersagen. Im folgenden Experiment soll untersucht werden wie sich die Veränderung von Ionenladung, -masse und -geschwindigkeit quantitativ auf die Lorentzkraft auswirken (wie sich der Betrag der Lorentzkraft ändert).

Klicken Sie auf den Tab "Durchführung" und führen Sie das interaktive Experiment im Tab "Interaktives Experiment" wie beschrieben durch.

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Für den Zusammenhang zwischen der Lorentzkraft \(F_\rm{L}\), der magnetischen Flussdichte \(B\), der Ionenladung \(Q\) und der Ionengeschwindigkeit \(v\) gilt, falls sich die Ionen senkrecht zur Magnetfeldrichtung bewegen:

\[ F_\text{L} = Q \cdot v \cdot B\]

Wenn auf einen Körper eine Kraft wirkt, die immer senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung orientiert ist, dann wirkt diese Kraft als eine Zentripetalkraft \(F_\text{ZP}\), die den Körper auf eine Kreisbahn zwingt. Für den Zusammenhang zwischen dem Betrag der Zentripetalkraft \(F_\text{ZP}\) und dem Radius \(r\) der daraus resultierenden Kreisbahn gilt:

\[ F_\text{ZP} = \frac{m \cdot v^2}{r}\]

Wenn sich ein geladener Körper durch ein Magnetfeld bewegt, wirkt nach der Linken-/Rechten-Hand-Regel die Lorentzkraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung. Deswegen kann die Lorentzkraft als eine Zentripetalkraft aufgefasst werden, die den geladenen Körper auf eine Kreisbahn zwingt.

Die Formel für die Lorentzkraft, die auf eine senkrecht zum Magnetfeld bewegte Ladung wirkt (\(F_\text{L} = Q \cdot v \cdot B\)), kann mit der Formel für die Zentripetalkraft (\(F_\text{ZP} = \frac{m \cdot v^2}{r}\)) gleichgesetzt werden:

\[ \begin{align} F_\text{L} &= F_\text{ZP} \\ Q \cdot v \cdot B &= \frac{m \cdot v^2}{r} \\ r &= \frac{m \cdot v^2}{Q \cdot v \cdot B} \\ r &= \frac{m \cdot v}{Q \cdot B} \end{align}\]

Ein Körper der Masse \(m\), der eine elektrische Ladung \(Q\) trägt und sich mit der Geschwindigkeit \(v\) senkrecht zu einem Magnetfeld der Stärke \(B\) bewegt, fliegt auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\), für den gilt:

\[ r = \frac{m \cdot v}{Q \cdot B}\]

Auf Elektronen innerhalb eines stromdurchflossenen elektrischen Leiters, der sich so in einem Magnetfeld befindet, dass sich die Elektronen senkrecht zum Magnetfeld bewegen, wirkt die Lorentzkraft.

Zwischen den Elektronen im Leiter und den Protonen der Metallatome wirkt die anziehende elektromagnetische Wechselwirkung. Das bedeutet, dass wenn auf die Elektronen die Lorentzkraft wirkt, die Protonen gleichfalls mit ausgelenkt werden, so dass der gesamte Leiter eine resultierende Kraft erfährt. Hängt man in das Magnetfeld eines Hufeisenmagneten eine Leiterschleife, kann man eine Kraftwirkung beobachten sobald Elektronen durch die Leiterschleife fließen. In der folgenden Simulation können Sie dieses Verhalten studieren.

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Bei einem stromdurchflossenen Leiter, der senkrecht zu einem Magnetfeld orientiert ist, besimmt man die Richtung der Lorentzkraft mit der Drei-Finger-Regel der linken Hand:

Linke-Hand-Regel

Liegt der stromdurchflossene Leiter nicht senkrecht zum Magnetfeld, kann man mit den Methoden der Trigonometrie bzw. Vektorrechnung die wirksame Leiterlänge berechnen, die senkrecht zum Magnetfeld wäre und daraus die resultierende Lorentzkraft bestimmen.

Befestigt man eine Leiterschleife an einer Feder, dann kann man die wirkende Lorentzkraft experimentell messen und einen Zusammenhang zwischen den Größen Lorentzkraft \(F_\text{L}\), Stromstärke \(I\), magnetische Flussdichte \(B\) und Länge \(s\) des Leiters der senkrecht zum Magnetfeld orientiert ist und vollständig im Magnetfeld liegt bestimmen. Die quantitative Messung der Lorentzkraft können Sie in der folgenden Simulation nachvollziehen.

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Auf Elektronen, die sich in einem elektrischen Leiter mit der Stromstärke \(I\) durch ein Leiterstück der Länge \(s\) senkrecht zum Magnetfeld der magnetischen Flussdichte \(B\) bewegen, wirkt die Lorentzkraft \(F_L\) mit dem Betrag

\[ F_L = B \cdot I \cdot s\]

Mit Hilfe des Zusammenhangs \(F_L = B \cdot I \cdot s\) kann ein Maß für die magnetische Flussdichte \(B\) definiert werden.

Wirkt auf einen elektrischen Leiter der Länge \(s = 1 \, m\), der von einem elektrischen Strom der Stärke \(I = 1 \, A\) durchflossen wird und der senkrecht zu einem Magnetfeld orientiert ist, die Lorentzkraft mit der Stärke \(F_L = 1 \, N\), dann hat das magnetische Feld die Stärke \(B = 1 \, \text{Tesla} = 1 \, T\).

\[ B = \frac{F_L}{I \cdot s} \,\,\,\,\, [B] = 1 \, T = 1 \, \frac{N}{A \, m}\]

Die Formel \(F_L = q \cdot v \cdot B\) für die Lorentzkraft auf ein bewegtes Elektron im Magnetfeld und die Formel \(F_L = B \cdot I \cdot s\) für die Lorentzkraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld sind äquivalent. Das soll im folgenden gezeigt werden.

Wir gehen von der Formel \(F_L = B \cdot I \cdot s\) aus.

Für den Elektronenstrom in einem Leiter kann man vereinfacht annehmen, dass sich die \(N\) Elektronen (jeweils mit der Ladung \(q\)) mit der Durchschnittsgeschwindigkeit \(v\) durch den Leiter bewegen. Es gilt:

\[ I = \frac{Q}{t} = \frac{N \cdot q}{t}\]

In der Zeit \(t\) legt ein Elektron der Ladung \(q\) mit der Durchschnittsgeschwindigkeit \(v\) die Strecke \(s\) zurück. Es gilt:

\[ s = v \cdot t \text{ , also } \, t = \frac{s}{v}\]

Daraus folgt:

\[ I = \frac{Q}{t} = \frac{N \cdot q \cdot v}{s}\]

Aus der Formel für die Lorentzkraft eines stromdurchflossenen Leiters gilt:

\[ F_L = B \cdot I \cdot s = B \cdot \frac{N \cdot q \cdot v}{s} \cdot s = B \cdot N \cdot q \cdot v\]

Für ein einzelnes Elektron gilt dann:

\[ F_L = B \cdot q \cdot v\]

Damit ist die Äquivalenz der Formeln gezeigt worden.