wpk.3 Kometen

Im Sonnensystem gibt es Objekte, die unfassbar weite Flugstrecken zurücklegen und dabei dem Einfluß der Gravitation vieler Planeten ausgesetzt sind: die Kometen.

Während der Bewegung eines Kometens ändert sich ständig die Entfernung zwischen Komet, Planet und Sonne. Die Folge davon ist, dass sich die Beschleunigung des Kometen ständig ändert. In diesem Kapitel können Sie lernen, wie man eine Bewegung mit einer sich ständig ändernden Beschleunigung modellieren kann.

Zuerst sollen Sie einige Kometen des Sonnensystems und deren Eigenschaften kennenlernen.

In einem Modelluniversum soll es nur einen einzigen Planeten und einen einzigen Kometen geben, der anfangs ruht und sich in sehr großer Entfernung vom Planeten befindet.

Da zwischen dem Kometen und dem Planeten die Gravitationskraft wirkt, wird der Planet in Richtung des Planeten bescheunigt. Der Komet fällt also aus großer Entfernung im freien Fall auf den Planeten.

Die Gravitationskraft, die zwischen der Erde und dem Kometen wirkt, ändert sich in Abhängigkeit von der Entfernung \(r\):

\[ F_{G} = G \cdot \cfrac{m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Komet}}{r^2}\]

Für die Beschleunigung \(a_{\text{Komet}}\), die der Komet wegen der Gravitationskraft \(F_{G}\) erfährt, gilt: \(F_G = m_{\text{Komet}} \cdot a_{\text{Komet}}\) und damit:

\[ a_{\text{Komet}} = \frac{F_G}{m_{\text{Komet}}}\]

Für \(F_G\) kann das Gravitationsgesetz eingesetzt werden:

\[ a_{\text{Komet}} = \frac{G \cdot \cfrac{m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Komet}}{r^2}}{m_{\text{Komet}}} = \frac{G \cdot m_{\text{Erde}} \cdot m_\text{Komet}}{m_{\text{Komet}} \cdot r^2} = G \cdot m_{\text{Erde}} \cdot \frac{1}{r^2}\]

Die Beschleunigung des Kometen ist von der Masse des Kometen unabhängig und da die Masse der Erde und die Gravitationskonstante sich nicht verändern, ist die Beschleunigung des Kometen allein von der Entfernung des Kometen zur Erde abhängig. Setzt man \(G \cdot m_{\text{Erde}} = k\) gilt:

Setzt man für die Gravitationskonstante und die Masse der Erde die Werte aus der Formelsammlung ein, folgt:

\[ a = \frac{6,674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{m}^3}{\text{kg} \, \text{s}^2} \cdot 5,972 \cdot 10^{24} \, \text{kg}}{\text{r}^2} = 3,9857128 \cdot 10^{14} \tfrac{\text{m}^3}{\text{s}^2} \cdot \frac{1}{\text{r}^2} \]

Um diese Formel zu testen, kann für \(r\) der Erdradius in Nordeuropa (6371 km) eingesetzt werden.

\[ a = 3,9857128 \cdot 10^{14} \tfrac{\text{m}^3}{\text{s}^2} \cdot \frac{1}{(6371000 \, \text{m})^2} = 9,81 \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\]

Das Ergebnis entspricht den Erwartungen, denn der Wert für die Fallbeschleunigung ist der bekannte Wert für Nordeuropa.

Der Faktor \(3,9857128 \cdot 10^{14} \tfrac{\text{m}^3}{\text{s}^2}\) vor dem Ausdruck \(\frac{1}{r^2}\) ist eine ziemlich große Zahl, die zu den realen Größenverhältnisse im Sonnensystem passt, wo die Planeten hunderte Millionen Kilometer von der Sonne entfernt sind. In der Realität würde es Monate oder Jahre dauern, bis ein Komet die Erde erreicht und in dieser Zeit würde der Komet Millionen von Kilometern zurücklegen.

In einer Computersimulation soll die Reise des Kometen in wenigen Sekunden beobachtet werden können, weswegen der virtuelle Komet (also der Kreis auf dem Bildschirm) während seiner Reise nur wenige Pixel zurücklegt.

Diese Zeitraffung und Raumschrumpfung bauen wir in die Simulation ein, indem das Produkt aus der Gravitationskonstanten und der Masse der Erde angepasst wird. Folgender Faktor liefert auf wenigen Pixeln Bildschirmentfernung und einigen Sekunden Flugzeit gut beobachtbare Simulationen:

\[ \text{Gravitationsfaktor} = 450 \, 000 \frac{\text{Pixel}^3}{\text{Zeitintervall}^2}\]

Damit setzen wir für die Beschleunigung des Modellkometen in unserem virtuellen Raum der Simulation:

Da sich die Beschleunigung des Kometen mit dem Abstand des Kometen von der Erde ändert, kann die Formel \(s = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\) für den insgesamt zurückgelegten Weg nicht mehr verwendet werden, denn diese Formel setzt eine konstante Beschleunigung für den gesamten Flug voraus.

Die Entfernung des Kometen zur Erde ändert sich in jedem auch noch so kurzen Zeitintervall, also verändert sich auch die Beschleunigung des Kometen ständig. Um die Realität zu simulieren, müsste der PC diese ständige Änderung rechnerisch nachvollziehen. Dafür müsste der Computer pro Sekunde unendlich viele Rechenschritte durchführen. Das ist technisch nicht möglich. Moderne CPUs schaffen zwar einige Milliarde Rechenoperationen pro Sekunde, aber das sind eben nicht unendlich viele.

Damit sind Computersimulationen grundsätzlich Annäherungen an die Realität. Eine möglichst genaue Simulation, der sich ständig verändernden Beschleunigung des Kometen, könnte erreicht werden, indem die Zeit verlangsamt wird, um mehr Rechenoperationen pro simulierter Sekunde durchführen zu können. Wenn ein Komet in der Realität z.B. 10 Jahre benötigen würde, um die Erde zu erreichen, dann müsste ein PC z.B. 1000 Jahre rechnen, um die Bewegung des Kometen genauer zu simulieren, denn er kann ja nur endlich viele Rechenschritte pro Sekunde durchführen, der Komet ändert seine Beschleunigung, Geschwindigkeit und Ort aber kontinuierlich.

Das Ziel unserer Simulation soll es sein, dass wir die Bewegung des Kometen "beobachten" können. Also wird alles sehr viel schneller ablaufen müssen, als in der Realität. Mit den endlich vielen Rechenschritten des Computers pro Sekunde bedeutet das aber, dass die Simulation um so unrealistischer wird, je größer die Zeitschritte in der Simulation sind.

Die Güte der Simulationen wurde in den letzten Jahrzehnten durch optimierte Algorithmen und schnellere Rechenzentren ständig verbessert. Beispielsweise gibt es Simulationen, welche die Kollision unserer Heimatgalaxie der Milchstrasse und unserer Nachbargalaxie der Andromedagalaxie angenähert berechnen, die in 4 Milliarden Jahren stattfinden soll: Animation der Verschmelzung von Milchstrasse und Andromedagalaxie.

Die Simulation, mit der wir hier arbeiten, ist darauf ausgelegt, dass pro Sekunde 60 Rechnungen vom Computer durchgeführt werden. Pro Sekunde wird also 60 Mal die Beschleunigung neu berechnet und daraus bestimmt wird, wo sich der Komet auf dem Bildschirm befindet. Die Simulation schafft somit 60 Bilder pro Sekunde (60 Frames Per Second = 60 FPS). Ein Rechenschritt in unserer Simulation entspricht in der Realität einer Zeit von vielen Stunden und einer Strecke von vielen Kilometern. Das bedeutet, dass der Komet in unserer Simulation die meiste Zeit mit einer konstanten Geschwindigkeit unterwegs wäre und währenddessen auf den nächsten Rechenschritt wartet.

Schritt 1:

Die Gravitationskraft ändert sich abhängig von der Entfernung zwischen Erde und Komet. Also muss die Entfernung zwischen dem Mittelpunkt der Erde und dem Kometen vom Computer berechnet werden: \(r = \text{ort}_{\text{erde}} - \text{ort}_{\text{komet}}\).

Schritt 2:

Abhängig von der gerade berechneten Entfernung wird die Beschleunigung \(a = 450 \, 000 \cdot \frac{1}{r^2}\) des Kometen berechnet.

Schritt 3:

Die Beschleunigung hat eine Änderung der Geschwindigkeit zur Folge. Während eines Zeitschritts bis zur nächsten Berechnung ist die Beschleunigung konstant. Für die Änderung der Geschwindigkeit gilt dann: \(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) und damit \(\Delta v = a \cdot \Delta t\). Während eines Zeitschritts ändert sich die Geschwindigkeit wie folgt: \(v_2 = v_1 + \Delta v = v_1 + a \cdot \Delta t\). Die Änderung der Geschwindigkeit wird zur bisherigen Geschwindigkeit addiert.

Schritt 4:

Während eines Zeitschritts ändert sich der zurückgelegte Weg bei einer konstanten Beschleunigung wie folgt: mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_1\) legt der Komet den Weg \(s_1 = v_1 \cdot \Delta t\) zurück. Während des Beschleunigungsvorgangs legt er zusätzlich die Strecke \(s_B = \tfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\) zurück.

Schritt 5:

Die neue Position wird berechnet, indem zur alten Position der im Zeitschritt \(\Delta t\) zurückgelegte Weg addiert wird.

Schritt 6:

Schließlich wird die neue Geschwindigkeit zur alten Geschwindigkeit gemacht: \(v_1 = v_2\).

Damit kann die Bewegung des Kometen, dessen Beschleunigung sich ständig ändert, simuliert werden.

• Laden Sie das Programm Komet fällt mit veränderlicher Beschleunigung und machen Sie sich mit dem Aufbau und der Funktionsweise vertraut.