eA P3.1 Federkonstante

Das Schwingungsverhalten einer Feder bei einer angebrachten Masse hängt von der Federkonstante der Feder ab. Im ersten Experiment sollen Sie die Federkonstante der beiden Federn mit der statischen Methode bestimmen.

Für die Auslenkung einer Feder gilt \(F = D \cdot s\). In Worten: zieht man mit der Kraft \(F\) an der Feder und wird diese daraufhin um den Weg \(s\) ausgelenkt, besitzt die Feder die Federkonstante \(D\).

Im folgenden Experiment wird die Kraft über angehängte Massen bewirkt. Für die Gravitationskraft \(F\) auf eine Masse \(m\) gilt: \(F = m \cdot g\).

Für die Federkonstante folgt dann:

\[ D = \frac{F}{s} = \frac{m \cdot g}{s}\]

E1: Bauen Sie den Grundaufbau mit der Bodenplatte, zwei vertikalen und einer horizontalen Stange auf. Befestigen Sie in der vereinbarten Weise zwei unterschiedliche Federn an der horizontalen Stange. Dokumentieren Sie den Versuchsaufbau mit einem Foto.

Befestigen Sie an den Federn Massen und messen Sie mindestens 3 unterschiedliche Auslenkungen. Berechnen Sie auf der Basis Ihrer Messwerte die Federkonstante \(D\).

Dabei ist die Masse der kleinen Feder \(m_\text{Feder} = 3 \, \text{g}\) und die Masse der großen Feder \(m_\text{Feder} = 15 \, \text{g}\). Die Masse der Massestücke ist jeweils 50 g.

Lenkt man die an die Feder angehängte Masse aus ihrer Ruhelage aus, beginnt das Feder-Masse-Pendel zu schwingen. Für die rückstellende Kraft gilt \(F = D \cdot s\). Diese Kraft beschleunigt die Masse mit \(F = m \cdot a\) entgegengesetzt zur Richtung der Auslenkung.

Während der Pendelbewegung gilt also für die nach unten ausgelenkte Feder:

\[ D \cdot s = - m \cdot a \]

Die Beschleunigung \(a\) ist die Änderung der Geschwindigkeit \(v\): \(a = \frac{dv}{dt} = v'\). Die Geschwindigkeit \(v\) ist die Änderung des Weges \(s\): \(v = \frac{ds}{dt} = s'\). Die Beschleunigung ist also die Änderung der Änderung des Weges:

\[ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d \frac{ds}{dt}}{dt} = s''\]

Damit gilt:

\[ D \cdot s = - m \cdot s''\]

Oder umformuliert:

\[ s'' = - \frac{D}{m} \cdot s\]

Eine Lösung für diese Differenzialgleichung ist die Schwingungsfunktion:

\[ s(t) = A \cdot sin(\omega \cdot t)\]

Leitet man diese Gleichung zweimal nach der Zeit \(t\) ab, folgt:

\[ \begin{align} s' &= A \cdot \omega \cdot cos(\omega \cdot t) \\ s'' &= -A \cdot \omega^2 \cdot sin(\omega \cdot t) \\ s'' &= - \omega^2 \cdot A \cdot sin(\omega \cdot t) \\ s'' &= - \omega^2 \cdot s \end{align}\]

Ein Vergleich von \(s'' = - \frac{D}{m} \cdot s\) und \(s'' = - \omega^2 \cdot s\) liefert:

\[ \omega^2 = \frac{D}{m}\]

Mit \(\omega = \frac{2 \pi}{T}\) folgt:

\[ \frac{4 \pi^2}{T^2} = \frac{D}{m}\]

und damit:

\[ D = \frac{4 \pi^2 \cdot m}{T^2}\]

E2: Bauen Sie den Grundaufbau mit der Bodenplatte, zwei vertikalen und einer horizontalen Stange auf. Befestigen Sie in der vereinbarten Weise zwei unterschiedliche Federn an der horizontalen Stange. Dokumentieren Sie den Versuchsaufbau mit einem Foto.

Befestigen Sie an einer der Federn eine Masse \(m\). An der kleinen Feder dürfen maximal 2 Massestücle befestigt werden. Lenken Sie die Masse aus Ihrer Ruhelage aus und lassen Sie das Feder-Masse-Pendel schwingen. Messen Sie die Periodendauer \(T\) der Schwingung, indem Sie z.B. 20 Schwingungen beobachten und die Gesamtzeit für die 20 Perioden messen. Die Periodendauer \(T\) ist dann die Gesamtzeit geteilt durch die Anzahl der Perioden.

Berechnen Sie aus der Gesamtmasse \(m_\text{ges} = m_\text{Feder} + m_\text{Masse}\) dann die Federkonstante mit Hilfe der Formel:

\[ D = \frac{4 \pi^2 \cdot m}{T^2}\]

Dabei ist die Masse der kleinen Feder \(m_\text{Feder} = 3 \, \text{g}\) und die Masse der großen Feder \(m_\text{Feder} = 15 \, \text{g}\). Die Masse der Massestücke ist jeweils 50 g.

E3: Vergleichen Sie für jede Feder die beiden bestimmten Federkonstanten und diskutieren Sie Gründe für eine mögliche Abweichung. Dokumentieren Sie Ihre Diskussion.

Erstellen Sie mit einem Textverarbeitungsprogramm Ihrer Wahl das Praktikumsprotokoll.

Benennen Sie die Datei in der Form: kursnummer-suw-p01-nachname1-nachname2-...-protokoll.odt/docx/....

Lassen Sie das Dokument in der vereinbarten Weise ihrer Lehrkraft zukommen. Falls Sie das Protokoll per Hand schreiben wollen, fügen Sie das eingescannte/fotografierte Protokoll in die Datei ein.