4.5 Plancksches Wirkungsquantum

Im letzten Kapitel haben Sie gelernt, dass Licht aus Photonen besteht. Beim Photoeffekt und beim Doppelspaltversuch mit einzelnen Photonen haben Sie gelernt, dass Photonen bei der Wechselwirkung mit Materie immer eine bestimmte Energiemenge auf die Materie übertragen und dann aufhören zu existieren. In den allermeisten Fällen überträgt ein Photon seine Energie auf ein Elektron. Diesen Fall wollen wir im folgenden ausschließlich betrachten.

• Den Vorgang, dass ein Photon seine Energie auf ein Elektron überträgt, nennen wir: ein Elektron absorbiert ein Photon.

• Den Vorgang, dass ein Elektron Energie an die Umgebung als ein Photon abgibt, nennen wir: ein Elektron emittiert ein Photon.

Allgemein nennen wir diese beiden Vorgänge: ein Elektron und ein Photon wechselwirken.

Elektronen und Photonen sind Quantenobjekte. Ja nachdem welches Experiment man durchführt, muss man ein geeignetes Modell zur Beschreibung des Experiments auswählen. Ein einziges Modell, mit welchem man viele verschiedene Experimente mit Quantenobjekten modellieren kann, werden Sie erst später kennenlernen.

Wenn uns in Experimenten die Wechselwirkung zwischen Elektronen und Photonen interessiert, wählen wir für die Modellierung der Wechselwirkung das Teilchenmodell.

Wenn wir hier von einem Teilchenmodell sprechen, stellen Sie sich bitte auf keinen Fall Teilchen wie z.B. eine Art Erbse vor. Eine Erbse hat einen bestimmten Durchmesser und wenn Sie eine Erbse aufschneiden, finden Sie die grüne Erbsenmasse im Inneren der Erbse. Einem Elektron konnte bislang in keiner Messung ein Durchmesser zugeordnet werden. Als ein punktförmiges Objekt ohne Durchmesser können Sie ein Elektron auch nicht aufschneiden und hineinschauen. Es gibt nichts, was im Elektron drin wäre. Am besten stellen Sie sich das Elektron überhaupt nicht anschaulich vor. Trotzdem werden wir in Abbildungen und in den folgenden Simulationen das Elektron mit einem Kreis abbilden, in dem ein "Minussymbol" abgebildet ist. Diese Darstellung ist ein Symbol für ein Elektron, aber kein Bild eines Elektrons.

Wenn ein Elektron ein Photon absorbiert, wird die Energie des Elektrons größer. Versuche in der Elektronenstrahlröhre haben gezeigt, dass einem Elektron eine Masse \(m_e\) und eine Geschwindkeit \(v_e\) zugeordnet werden kann. Wenn die Energie eines Elektrons zunimmt, dann wird seine kinetische Energie \(E_\text{kin} = \tfrac{1}{2} \, m \cdot v^2\) größer.

Wenn ein Elektron ein Photon emittiert, verliert das Elektron kinetische Energie und wird langsamer. Das vom Elektron emittierte Photon bewegt sich im Vakuum mit der immer gleichen Lichtgeschwindigkeit \(c\). Da ein Photon nach der Absorption durch ein Elektron verschwunden ist, macht es keinen Sinn einem Photon eine Ruhemasse zuzuordnen. Wenn ein Photon sich mit der immer gleichen Geschwindigkeit bewegt und keine Ruhemasse hat, macht es keinen Sinn einem Photon eine kinetische Energie zuzuordnen. Nach Max Planck wird die Energie eines Photons mit der Formel \(E = h \cdot f\) angegeben. Im Wellenmodell haben wir mit der Frequenz \(f\) angegeben, wie oft pro Sekunde das elektrische und magnetische Feld der elektromagnetischen Welle hin und her pulsiert. Im Teilchenmodell stellen wir uns das Photon als ein Energiequant vor - es ist völlig unklar, was die Frequenz \(f\) bei einem Energiequant beschreiben soll. Eine geeignete Modellierung der Frequenz folgt später, ich bitte um etwas Geduld.

Wechselwirkung im Teilchenmodell:

• wenn ein Elektron ein Photon absorbiert, gewinnt das Elektron kinetische Energie und das Photon hört auf zu existieren.
• wenn ein Elektron ein Photon emittiert, verliert das Elektron kinetische Energie und dem Photon wird diese Energie als \(E = h \cdot f\) zugeordnet.

In diesem Kapitel werden Sie ein Experiment kennenlernen, mit denen die Konstante \(h\) bestimmt werden kann. Zu Ehren des Physikers Max Planck, der diese Konstante erstmals in seinen Formeln verwendet hatte, wird \(h\) das Plancksche Wirkungsquantum genannt.

Eine LED emittiert Photonen, weil Elektronen mit Bindungsstellen im Halbleiterkristall rekombinieren, dabei ein niedrigeres Energieniveau einnehmen und die Energiedifferenz als Photon mit \(E_\text{Photon} = h \cdot f\) aussenden. Die Farbe des von der LED ausgesandten Lichts ist also davon abhängig, wie groß die Energiedifferenz zwischen einem gebundenen und einem freien Elektron im Halbleiter ist. Diese Energiedifferenz ist vom Halbleitermaterial abhängig.

Wenn eine LED in Durchlassrichtung gepolt ist und man eine Spannung \(U\) anlegt, kann man beobachten, dass die LED ab einer Schwellspannung \(U_S\) zu leuchten beginnt. Ab der Schwellspannung \(U_S\) wird die Raumladungszone beim pn-Übergang geschlossen und Elektronen können mit Bindungsstellen rekombinieren. Bei einer angelegten Spannung \(U_S\) hat ein freies Elektron die Energie:

\[ E_{\text{el}} = e \cdot U_S\]

Diese Energie emittiert es als Photon, wenn es eine Bindung mit einem Gitteratom eingeht. Wenn man die Wellenlänge \(\lambda\) und damit die Frequenz \(f = \frac{c}{\lambda}\) des Lichts der LED mit Hilfe z.B. der objektiven oder subjektiven Methode mit einem Gitter bestimmt und die Schwellspannung \(U_S\) misst, ab der Licht emittiert wird, kann aus den gemessenen Daten die plancksche Konstante \(h\) berechnet werden:

\[ \begin{align} E_{\text{el}} &= E_{\text{Photon}} \\ e \cdot U_S &= h \cdot f \\ h &= \frac{e \cdot U_S}{f} \end{align} \]

Im Praktikum können Sie mit diesem Experiment in guter Näherung den Literaturwert für das Plancksche Wirkungsquantum \(h\) bestätigen.