4.3 Elektronenwellen

Am Ende des 19. Jahrhunderts gab es Uneinigkeit in der Physik über die Natur der Elektrizität. Man konnte beobachten, wie Funken übersprangen und beim Übersprung von Funken zwischen geladenen Kugeln wurden elektromagnetische Wellen ausgesandt. Manche waren daher der Meinung, dass die Elektrizität, die in den Leitungen fließt, "wellenartig" ist.

Im Jahr 1897 gelang es Joseph Thomson mit einer neuartigen Vakuumpumpe eine Glasröhre nahezu luftleer zu pumpen. Als er in dieser Glasröhre Elektrizität freisetzte, konnte er zeigen, dass der elektrische Strahl mit elektrischen Feldern abgelenkt werden konnte. Die elektrischen Felder üben eine Kraft auf die Elektrizität aus. Die Elektrizität musste etwas anderes sein als Licht, denn Licht konnte man nicht mit elektrischen Feldern ablenken. Thomson folgerte, dass die Elektrizität aus einzelnen Teilchen besteht und gab ihnen den Namen "Elektronen". 1906 bekam Thomson für seine Entdeckung den Nobelpreis.

Ebenfalls im Jahr 1897 fand John Townsend Hinweise, dass die Elektrizität immer in Portionen von \(1 \cdot 10^{-19} \, \text{C}\) auftritt. Millikan konnte im Jahr 1910 den Wert der elektrischen Elementarladung auf \(1,63 \cdot 10^{-19} \, \text{C}\) verbessern und gleichzeitig nachweisen, dass die elektrische Elementarladung immer in Vielfachen dieses Werts gemessen wird. Auf folgenden Seiten von Leifi-Physik können Sie das nachlesen:

• Geschichte der Bestimmung der Elementarladung
• MILLIKAN-Versuch

Bei Experimenten mit Licht mussten die Physiker*innen miterleben, dass das Modell "Licht ist eine elektromagnetische Welle" nur manche Experimente erfolgreich modelliert. Neue Experimente wie der Photoeffekt oder der Compton-Effekt konnten besser mit dem Modell "Licht besteht aus Lichtquanten" modelliert werden. Louis de Broglie beschäftigte sich mit den neuen Lichttheorien und wagte im Jahr 1924 in seiner Dissertation "Recherche sur la theorie des quanta" eine kühne Hypothese:

• Nach der neuen Theorie besteht Licht mit der Frequenz \(f\) aus Energiequanten der Größe \(E = h \cdot f\),
• Elektronen haben eine Masse \(m\), also kann ihnen nach Albert Einstein eine Energie \(E = m \cdot c^2\) zugeordnet werden,
• Dann müsste einem Elektron der Energie \(E\) eine Frequenz \(f = \frac{E}{h}\) zugeordnet werden können.

So wie bei manchen Experimenten mit Licht ein "wellenartiges" Modell zur Erklärung der Phänomene geeignet ist (Interferenzexperimente) und bei anderen ein "teilchenartiges" Modell (Photoeffekt, Comptoneffekt), müsste es Experimente mit Elektronen geben, bei denen Phänomene beobachtet werden können, die man nur mit einem "wellenartigen" Modell erklären kann, z.B. Interferenphänomene, obwohl Millikan nachgeweisen hat, dass Elektrizität immer quantisiert in Vielfachen der Elementarladung gemessen wird.

Physiker*innen machten sich an die Arbeit Experimente mit Elektronen zu entwickeln, die nur mit einem Wellenmodell erklärt werden können. Mit dem "Davisson-Germer-Experiment" von 1927 und dem "Elektronenbeugungsexperiment" von George Thomson 1927 fand man solche Experimente. Thomson erhielt 1929 für seine Leistung den Nobelpreis für Physik und Davisson im Jahr 1937.

Nachdem die Hypothese von Louis de Broglie durch Experimente bestätigt wurde, bekam de Broglie im Jahr 1929 den Nobelpreis für Physik.

Im folgenden wird Ihnen das Elektronenbeugungsexperiment von George Thomson aus dem Jahr 1927 vorgestellt. Thomson führte ein Experiment durch, bei welchem ein Elektronenstrahl von einer Beschleunigungsspannung \(U_B\) beschleunigt wird und nach der Lochanode auf einen Kristall trifft. Auf dem dahinter liegenden abgerundeten Schirm ist eine Leuchtschicht aufgebracht, die bei Wechselwirkung mit Elektronen Licht aussendet.

Eine ähnliche Versuchsanordnung kennen Sie bereits. Wenn man Röntgenstrahlung auf einen Kristall schickt, werden die Wellenzüge der Röntgenstrahlung an den Kristallatomen reflektiert und interferieren miteinander ("Bragg-Reflexion"). Bei dem Experiment zur Bragg-Interferenz treffen die Röntgenstrahlen auf einen monokristallinen Einkristall. Das ist ein Kristall, dessen gesamtes Kristallgitter in guter Näherung regelmäßig angeordnet ist. Wenn Röntgenlicht mit einer bestimmten Wellenlänge auf den Kristall trifft, beobachtet man unter einem bestimmten Winkel ein Maximum.

Im Experiment mit der Elektronenbeugungsröhre treffen die Elektronen auf einen polykristallinen Graphitkristall. Diesen kann man sich so vorstellen, dass das Graphit zu einem Pulver zerstossen wurde. Jedes Pulverkorn ist ein Mini-Graphit-Kristall. Presst man diese Mini-Kristalle, so dass wieder ein fester Stoff entsteht, sind die Mini-Kristalle in beliebig viele Raumrichtungen orientiert. Für manche der Mini-Kristalle trifft die Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz zu, so dass auf dem Schirm unter einem bestimmten Winkel ein Maximum zu beobachten ist. Die sehr vielen Mini-Kristallen erzeugen gemeinsam ein zusammengesetztes Interferenzbild.

Mit Hilfe des folgenden Gedankenexperiments können Sie nachvollziehen, wie das Interferenzbild aussieht, das von einem polykristallinen Kristall erzeugt wird:

Mathematische Modellierung der Bragg-Reflexion am polykristallinen Kristallgitter

Angenommen, Elektronen erzeugen beim Durchgang durch den polykristallinen Kristall ein Interferenzmuster, dann müsste die Lage und die Form des Schirmbilds dem Interferenzbild ähneln, das erzeugt wird, wenn man Röntgenstrahlung mit einer bestimmten Wellenlänge \(\lambda\) durch den polykristallinen Kristall schickt.

Im folgenden nehmen wir also an, dass Elektronen "wellenartig" sind und modellieren die Bragg-Reflexion entsprechend. Die Elektronenwellen werden am Gitter gebeugt und treffen unter einem bestimmten Winkel relativ zur Richtung des eingestrahlten Elektronenstrahls auf den Schirm. Dieser Winkel entspricht dem doppelten Glanzwinkel \(\delta\) der Bragg-Reflektion.

Aus der Zeichnung folgt für den Zusammenhang zwischen dem Winkel \(\delta\), dem Abstand \(a\) zwischen Kristall und Schirm und dem Radius \(r\) eines Interferenzkreises:

\[ sin(2 \cdot \delta) = \frac{\text{GK}}{\text{H}} = \frac{r}{a}\]

Die Rechnung soll einfach bleiben, deswegen verwenden wir für kleine Winkelweiten die Näherung \(sin(2 \cdot \delta) \approx 2 \cdot sin(\delta)\) und es gilt:

\[ 2 \cdot sin(\delta) = \frac{r}{a}\]

Für die Bragg-Reflexion am Gitter gilt:

\[ n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot sin(\delta)\]

also:

\[ 2 \cdot sin(\delta) = \frac{n \cdot \lambda}{d}\]

Setzt man beide Gleichungen gleich, folgt:

\[ \begin{align} \frac{r}{a} &= \frac{n \cdot \lambda}{d} \\ \lambda &= \frac{d \cdot r}{n \cdot a} \end{align} \]

Wenn Elektronen "wellenartig" sind und den Elektronen eine bestimmte Wellenlänge zugeordnet werden könnte, dann müsste man die Wellenlänge \(\lambda_e\) der Elektronen mit Hilfe der Elektronenstrahlröhre wie folgt bestimmen können:

mit \(d\) = Abstand zweier Gitterebenen im Kristall, \(r\) = Radius eines beobachteten Interferenzkreises auf dem Schirm, \(n\) = n-tes Maximum, das auf dem Schirm beobachtet wird, \(a\) = Abstand zwischen Kristall und Schirm.

Kristalle besitzen nicht nur eine Gitterebene. Die Atomanordnung ist in verschiedene Richtungen regelmäßig angeordnet. Man kann also mehr als nur einen Gitterabstand angeben:

Aus diesem Grund beobachtet man mehrere voneinander unabhängige Interferenzmuster. Wir betrachten exemplarisch zwei verschiedene Interferenzmuster:

• Gitterabstand \(d_1\) liefert \(\lambda_e = \frac{d_1 \cdot r}{n \cdot a}\)
• Gitterabstand \(d_2\) liefert: \(\lambda_e = \frac{d_2 \cdot r}{n \cdot a}\).

Schickt man einen Elektronenstrahl durch einen polykristallinen Kristall auf einen Leuchtschirm, dann beobachtet man ein Interferenzbild! Das Experiment können Sie in der folgenden Simulation nachvollziehen. In der Simulation können Sie den Netzebenenabstand \(d\) im Kristall verändern, der in \(10^{-10} \, \text{m}\) angegeben ist. Das würde in einem Realexperiment nur dadurch möglich sein, dass man den Kristall austauscht.

Nach den Überlegungen von Albert Einstein, die er in seiner speziellen Relativitätstheorie entwickelt hatte, kann mit der Formel \(E = m \cdot c^2\) eine Masse als Energie und eine Energie als Masse aufgefasst werden. Ein Lichtquant, das sich mit der Lichtgeschwindigkeit \(c\) bewegt, besitzt eine Energie \(E_\text{Lichtquant} = h \cdot f\). Daher kann einem Lichtquant eine Masse \(m = \frac{E_\text{Lichtquant}}{c^2}\) zugeordnet werden. Ein ruhendes Elektron besitzt eine Masse \(m_\text{Elektron} = 9,10938\cdot10^{-31} \, \text{kg}\). Dem ruhenden Elektron kann daher eine Energie \(E = m_\text{Elektron} \cdot c^2\) zugeordnet werden.

Anmerkung: Die Masse eines Körpers hängt zum einen von den Massen seiner Bestandteile (Atome, Moleküle) ab und zum anderen von den kinetischen und potenziellen Energien, die diese haben, auch wenn der Körper als Ganzes ruht. So verliert ein Körper Masse, wenn er aus einzelnen Bestandteilen zusammengesetzt wird (z.B. Kondensieren von Wasserdampf zu Wasser), denn es wird Bindungsenergie an die Umgebung abgegeben und diese Bindungsenergie entspricht nach \(E = m \cdot c^2\) einer Masse. Wenn ein Körper erwärmt wird (Kochtopf mit Wasser auf Herd), dann vergrößert sich seine Masse, da dem Körper Energie zugeführt wird und sich dadurch seine Gesamtenergie vergrößert. Auch diese Veränderung kann mit \(E = m \cdot c^2\) berechnet werden. Die Veränderungen der Masse und der Energie eines Körpers lassen sich nicht trennen, sobald sich die Masse eines Körpers ändert, verändert sich seine Energie und umgekehrt: Masse und Energie sind äquivalent zueinander. Die ursprüngliche klassische Bedeutung der Masse als ein Maß für die Menge der Materie ist in der modernen Physik nicht mehr gültig.

Aus der Formel von Albert Einstein \(E = m \cdot c^2\) und der Formel von Max Planck \(E = h \cdot \frac{c}{\lambda}\) folgt:

\[ \begin{align} m_\text{Lichtquant} \cdot c^2 &= h \cdot \frac{c}{\lambda} \\ m_\text{Lichtquant} &= \frac{h \cdot c}{c^2 \cdot \lambda} = \frac{h}{c \cdot \lambda} \end{align}\]

Nachdem einem Lichtquant eine Masse zugeordnet werden, kann man auch den Impuls \(p_\text{Lichtquant} = m_\text{Lichtquant} \cdot c\) eines Lichtquants berechnen:

\[ \begin{align} m_\text{Lichtquant} &= \frac{h}{c \cdot \lambda} \\ m_\text{Lichtquant} \cdot c &= \frac{h}{\lambda} \\ p_\text{Lichtquant} &= \frac{h}{\lambda} \end{align}\]

Aus der Äquivalenz von Energie und Masse über die Einstein-Formel \(E = m \cdot c^2\) folgt, dass einem Lichtquant, das sich mit der Lichtgeschwindigkeit \(c\) bewegt ein Impuls \(p_\text{Lichtquant} = \frac{h}{\lambda}\) zugeordnet werden kann.

Anmerkung: Nach dem Impulserhaltungssatz muss in einem abgeschlossenen System der Gesamtimpuls konstant sein (Erklärung auf Leifi-Physik Impulserhaltung). Die Auswirkung des Impulses von Lichtquanten kann man z.B. daran sehen, dass Kometenschweife immer von der Sonne abgewandt gerichtet sind, denn die von der Sonne auf den Kometen treffenden Lichtquanten werden von den freifliegenden Staubteilchen des Kometen absorbiert. Wenn die Lichtquanten keinen Impuls besäßen, könnte die Lichtenergie nur dazu genutzt werden, die Bestandteile des Staubteilchens schneller um eine Ruhelage schwingen zu lassen, wodurch die Temperatur des Kometenstaubs erhöht würde. Aufgrund des neben der Energie zusätzlich übertragenen Impulses erfahren die Staubteilchen zusätzlich eine Geschwindigkeitsänderung in die von der Sonne abgewandten Richtung, so dass sie etwas langsamer fliegen als der Komet und sich deswegen ein Schweif bildet.

De Broglie kam auf die Idee, die Formel \(p = \frac{h}{\lambda}\) auf ein Elektron zu übertragen und einem Elektron der Masse \(m_e\), der Geschwindigkeit \(v_e\) und dem Impuls \(p_e = m_e \cdot v_e\) eine Wellenlänge \(\lambda_e\) zuzuordnen:

Mit Hilfe dieser Formel kann die Wellenlänge \(\lambda_e\) eines Elektrons berechnet werden, das z.B. mit einer üblichen Beschleunigungsspannung \(U_\text{B} = 200 \, \text{V}\) beschleunigt wird. Im elektrischen Feld der Spannung \(U_B\) gewinnt das Elektron die kinetische Energie \(E_\text{kin} = \tfrac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2\). Es gilt:

\[ e \cdot U_B = \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2\]

Ein Elektron der Masse \(m_e\) und der Geschwindigkeit \(v_e\) hat den Impuls \(p_e = m_e \cdot v\). Löst man diese Formel nach \(v\) auf (\(v = \frac{p_e}{m_e}\)) und setzt \(v\) in die Formel für die kinetische Energie ein, folgt:

\[ \begin{align} e \cdot U_B &= \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 \\ e \cdot U_B &= \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot \left( \frac{p_e}{m_e} \right) ^2 \\ e \cdot U_B &= \frac{1}{2} \cdot m_e \cdot \frac{p_e^2}{m_e^2} \\ e \cdot U_B &= \frac{p_e^2}{2 \cdot m_e} \end{align} \]

Setzt man in die Gleichung für den Impuls \(p_e = \frac{h}{\lambda_e}\) ein, folgt:

\[ \begin{align} e \cdot U_B &= \frac{\tfrac{h^2}{\lambda_e^2}}{2 \cdot m_e} \\ e \cdot U_B &= \frac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot \lambda_e^2} \\ \end{align} \]

Löst man diese Formel nach \(\lambda_e\) auf, folgt die Formel für die Wellenlänge eines Elektrons, das mit einer Spannung von 200 V beschleunigt wurde:

\[ \begin{align} e \cdot U_B &= \frac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot \lambda_e^2} \\ \lambda_e^2 &= \frac{h^2}{2 \cdot m_e \cdot e \cdot U_B} \\ \end{align} \]

Setzt man die Werte aus der Formelsammlung in diese Formel ein, kann man die Wellenlänge von Elektronen abschätzen:

\[ \lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2 \cdot m_e \cdot e \cdot U_B}} = \frac{6,626 \cdot 10^{-34} \, \text{Js}}{\sqrt{2 \cdot 9,109 \cdot 10^{-31} \, \text{kg} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \, \text{C} \cdot 200 \, \text{V}}} = 8,673 \cdot 10^{-11} \, \text{m} \]

Diese Wellenlänge ist in der Größenordnung von Röntgenstrahlung. Die Interferenzmuster in den Realexperimenten von Thomson und Davisson-Germer haben diese vorhergesagten Wellenlängen für Elektronen bestätigt.